การหาฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง เพื่อตั้งพาราเมทริกที่มีพารามิเตอร์สองตัว

การหาฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง เพื่อตั้งพาราเมทริกที่มีพารามิเตอร์สองตัว

-

ในวิดีโอที่แล้ว, เราเริ่มพูดถึงวิธีการตั้งพาราเมทริก

ให้ทอรัส, รูปทรงโดนัท

และพารามิเตอร์สองตัวที่เราใช้, ผมใช้เวลา

นานพยายามมองภาพมัน, เพราะมันเป็นเรื่อง

การนึกภาพทั้งนั้น

ผมว่านี่เป็นสิ่งที่ยากจริง ๆ ในนี้

แต่วิธีที่เราตั้งพาราเมทริกให้ทอรัส, ซึ่งก็คือ

ผิวของโดนัทนี้, คือบอกว่า, เฮ้, ลองเลือกจุด

แล้วหมุนมันรอบวงกลม

วงกลมไหนก็ได้

ผมเลือกวงกลมในระนาบ z-y

ว่ามันไปไกลแค่ไหนรอบวงกลมนั่น, เราจะ

ตั้งพาราเมทริกด้วย s, และ s ไปจาก 0 จนถึง 2 ไพ, แล้ว

เราจะหมุนรอบวงกลมนี้ตัวเองอีกที

หรือผมเดาว่า วิธีพูดที่ดีกว่าคือ, เราจะหมุนรอบ

วงกลมตามแกน z, และนั่นคือศูนย์กลางของ

วงกลมทั้งนั้น, เราจะอยู่ห่างไปเป็นระยะ b เสมอ

และพวกนี้คือภาพมองจากด้านบนตรงนี้

แล้วเราก็นิยามพารามิเตอร์ตัวที่สอง t, ซึ่งบอกเราว่า

วงกลมทั้งหมดหมุนรอบ

แกน z ยังไง

พวกนั้นคือการตั้งพารามิเตอร์สองตัวขึ้นมา

แล้วเราได้พยายามมองว่าเกิดอะไรขึ้น

นี่เป็นเหมือนโดเมนของการตั้งพาราเมทริก

ที่นิยามไว้

s ไปจาก 0 ถึง 2 ไพ, งั้นเมื่อ t เท่ากับ 0, เรายัง

ไม่ได้หมุนรอบระนาบ z-y

s อยู่ที่ 0, ไปจนถึง 2 ไพ ตรงนั้น

แล้วเมื่อ t ไปถึง 2 ไพ, เราก็หมุนรอบวงกลมเรา

เราเดินไปตาม, เราหมุนไปตาม

แกน z หน่อย

แล้วเส้นนี้ในโดเมน s-t ของเราจะตรง

กับวงกลมนั่นใน 3 มิติ, หรือในสเปซ x-y-z

ด้วยข้อมูลพวกนั้น, หวังว่าเราจะเห็นภาพมันดีแล้วนะ

ลองคิดกันว่าจะนิยามฟังก์ชัน

ที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง นี่เป็นการ

ตั้งพาราเมทริกนี้ยังไง

อย่างแรกลองทำ z ก่อน, เพราะนั่น

ตรงไปตรงมา

ลองดูที่มุมมองนี่ตรงนี้

z จะเป็นฟังก์ชันอะไร?

x เรา, y เรา, z เรา, ควรเป็น

ฟังก์ชันของ s กับ t

นั่นคือทั้งหมดที่มี

ตำแหน่งใด ๆ ในสเปซควรเป็นฟังก์ชันของการ

t กับ s คู่หนึ่ง

และเราเห็นนั่นตรงนั้น

จุดนี่ตรงนี้, ขอผมทำสัก

สองสามจุดนะ

จุดนี่ตรงนี้, ตรงกับ

จุดนั่น, ตรงนั้น

เราเลือกอีกจุดนึง

จุดนี่ตรงนี้, ตรงกับ

จุดนี่, ตรงโน้น

ผมทำได้อีกนะ

ขอผมเลือกหน่อย

จุดนี้ตรงนี้, s ยังเป็น 0

นั่นจะตรงกับขอบนอกนี่, ออกไปตรงนั้น

ผมจะเลือกอีกอัน, เพื่อให้นิยามสี่เหลี่ยมขึ้นมา

จุดนี่ตรงนี้, เรายังไม่ได้หมุน t เลย

แต่เราห่างไปหนึ่งในสี่รอบวงกลม, คือ

จุดนั่นตรงนั้น

ดังนั้นสำหรับ s กับ t ใด ๆ เราจะจับคู่มันกับจุด

ในสเปซ x-y-z

ดังนั้น z เรา, x เรา, y เรา ควร

เป็นฟังก์ชันของ s กับ t

แล้วอันแรกที่เราจะคิดคือ z

ผมว่านี่ค่อนข้างตรงไปตรงมา

z เป็นฟังก์ชันของ s กับ t จะเท่ากับอะไร?

ทีนี้, หากเราเอาวงกลมใด ๆ มา, จำไว้ว่า s บอกมุมร

ระหว่างรัศมีเรากับระนาบ x-y

คุณวาดมันตรงนี้ก็ได้

ขอผมใช้อีกสีนะ

ผมจะใช้สีหมดแล้ว

สมมุติว่านี่คือรัศมี, ตรงนี้

มุมนั่น, เราบอกว่า, นั่นคือ s

ดังนั้นหากเราวาดวงกลมออกมา, แบบ

นั้น, เราก็ใช้ตรีโกณมิตินิดหน่อยได้

-

มุมคือ s

เรารู้ว่ารัศมีคือ a, รัศมีของวงกลม

เรากำหนดไว้อย่างนั้น

z จะเท่ากับระยะเหนือระนาบ x-y

มันจะเป็นระยะนี่, ตรงนี้

และนั่นก็คือตรีโกณมิติตรง ๆ

มันจะเป็น a, ผมหมายถึง, เราจะใช้ SOCATOA อะไร

พวกนั้น, คุณอาจอยากทวนวิดีโอพวกนั้น

แต่ไซน์, คุณอาจมองแบบนี้

หากนี่คือ z ตรงนี้, คุณก็บอกว่า ไซน์ของ

s, SOCATOA คือด้านตรงข้าม ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก,

เท่ากับ z ส่วน a

คูณทั้งสองข้างด้วย a, คุณจะได้ a ไซน์ s เท่ากับ z

นั่นบอกเราว่าเราอยู่เหนือระนาบ x-y เท่าไหร่

แค่ตรีโกณมิติง่าย ๆ

ดังนั้น z ของ s กับ t, มันจะเป็นแค่ฟังก์ชันของ s

มันจะเท่ากับ a คูณไซน์ของ s

ไม่แย่มาก

ทีนี้ลองดูว่าเราจะหาได้ไหมว่า x กับ y จะเป็นอะไร

จำไว้, z ไม่สำคัญ

มันไม่สำคัญกว่าเราหมุนไปตามแกน z เท่าไหร่

ซึ่งที่สำัญคือ, เราหมุนรอบวงกลมไปเท่าไหร่ต่างหาก

หาก s เป้น 0, เราจะอยู่บนระนาบ x-y

z จะเป็นศูนย์

หาก s คือไพส่วน 2, บนนี้, เราจะเดิน

ตามด้านบนของโดนัท

และเราอยู่ตรงที่ a เหนือระนาบ x-y, หรือ

z จะเท่ากับ a นั่นเอง

หวังว่ามันคงสมเหตุสมผลนะ

ทีนี้ลองคิดดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหมุนไปรอบ ๆ

จำไว้, สองอันนี้คือภาพมุมบน

เรากำลังมองลงไปที่โดนัทนี่

ศูนย์กลางของวงกลมแต่ละอันนี้จะห่างออกไป b จากจุด

กำเนิด, หรือจากแกน z, นั่นคือสิ่งที่เราหมุนรอบ

มันห่างออกไป b

ดังนั้นพิกัด x เรา, หรือพิกัด x กับ y, หากเรา

ไปจากศูนย์กลางวงกลมตรงนี้, เราจะห่างออกไป b,

และนี่จะห่างออกไป b, ตรงนั้น

งั้นลองคิดดูว่าเราอยู่ตรงไหนในระนาบ x-y, หรือ

เราห่างออกไป, จากที่เราอยู่, ผมเดาว่าคุณคงนึก

ภาพออก, หากเราโปรเจคจุดเราบนระนาบ x-y

เราจะห่างจากจุดกำเนิดไปเท่าไหร่?

มันจะห่างออกไป, จำไว้, กลับไป

ภาพวาดนี่ตรงนี้

นี่เป็นการมองตรง ๆ เลย

นี่ก็แค่วงกลมนึงในระนาบ z-y, แต่มัน

อาจเป็นวงกลมไหนก็ได้

หากนี่คือแกน z, ตรงนี้, ระยะจากนี้

จะเท่ากับ b เสมอ

เรารู้อันนั้นอยู่แล้ว

แล้วระยะนี่จะเป็นเท่าไหร่?

-

เราอยู่ที่ b จากศูนย์กลาง, แล้วเราก็ไป

เป็นมุม s, และขึ้นอยู่กับมุม s, ระยะนี้

ผมเดาว่า, ระนาบ x-y, คุณก็รู้, หากเรานั่งอยู่บน

ระนาบ x-y, เราจะห่างจากแกน z ไป, เป็น

โปรเจกชันยังระนาบ x-y

หรือคุณอาจ, คุณก็รู้, บอกตำแหน่ง x หรือ y

ผมกำลังบอกว่ามันมีหลายวิธีที่เป็นไปได้

ผมว่าคุณคงมองภาพเห็นนะ

หาก z คือ a ไซน์ของทีต้า, ระยะนี่ตรงนี้, ระยะ

สั้นกว่าหน่อยตรงนี้, นั่นจะ

เท่ากับ a โคไซน์ s

-

s คือมุมนั่นตรงนั้น

ระยะนี่ตรงนี้จะเท่ากับ a โคไซน์ของ s

หากเราพูดถึงระยะตรง ๆ จากจุดกำเนิด

ตามระนาบ x-y, ระยะเราจะ

เท่ากับ b บวก a โคไซน์ของ s เสมอ

ตอน s อยู่ตรงนี้, แล้วมันจะกลายเป็นเลขลบ

ซึ่งเข้าใจได้, เพราะระยะ

เราจะน้อยกว่า b

เราจะอยู่ที่จุดนั่นตรงนั้น

แล้วหากคุณดูที่มุมบนตรงนี้, ไม่ว่า

ตรงไหน, นั่นก็คือ b

และสมมุติว่าเราหมุนไปหน่อย

ระยะนั่นตรงนั้น, หากคุณดูตามระนาบ x-y

นี่จะเท่ากับ b บวก a โคไซน์ของ s เสมอ

นั่นระยะถึงจุดที่กำหนด

ขึ้นอยู่กับ s และ t ของเรา

ทีนี้, เมื่อเราหมุนไป, หากเราอยู่ที่จุดนึงตรงนี้,

สมมุติว่าเราอยู่ที่จุดนึงตรงนั้น, และจุดนั้น, เราบอกไปแล้ว, ว่า

b บวก a โคไซน์ของ s, ห่างออกไปจากจุดกำเนิด, บนระนาบ xy

แล้วพิกัด x กับ y ของจุดนั่นคืออะไร?

จำไว้

นี่คือภาพมองลงมา

เรากำลังนั่งบนแกน z มองตรงลงมา

ยังระนาบ x-y ตอนนี้

เรากำลังงมองลงไปยังโดนัท

แล้ว x กับ y ของเราจะเป็นอะไร?

ทีนี้, หากคุณว่าสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันตรงนี้

คุณมีสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอัน

มุมนี่ตรงนี้คือ t

ระยะนี่ตรงนี้จะเท่ากับนี่ คูณ

ไซน์ของมุมเรา

ดังนั้นนี่ตรงนี้, ซึ่งที่สุดแล้วคือ x เรา, นี่จะ

เท่ากับพิกัด x เรา, เป็นฟังก์ชันของ s กับ t,

เท่ากับ ไซน์ของ t, t คือมุมเรา

ตรงนั้น, คูณรัศมีนี่

คูณ, เราสามารถเขียนอีกแบบ, คูณ

b บวก a โคไซน์ของ s

เพราะจำไว้, ระยะที่ห่างออกไปขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เรา

หมุนรอบวงกลม, จริงไหม?

ตอนเราอยู่ตรงนี้, เราห่างไปไกลมาก

ตรงนี้เราอยู่ห่างออกไป b, หากคุณมอง

แค่ระนาบ x-y

แล้วตรงนั้น, เราห่างไป b ลบ a, หาก

เราอยู่บนระนาบ x-y

ดังนั้นนั่นคือ x เป็นฟังก์ชันของ s กับ t

และที่จริง, วิธีที่ผมนิยามมันตรงนี้,

แกนบวก x ควรไปในทิศนี้

นี่ก็คือ x บวก, นี่คือ x ในทิศลบ

ผมกลับเครื่องหมายก็ได้, แต่หวังว่า, คุณก็รู้,

มันก็เข้าใจได้ว่านั่นคือ x เป็นบวก,

นี่คือ x เป็นลบ

ขึ้นอยู่กับว่าเราใช้กฎมือขวาหรือมือซ้าย

ในระบบพิกัด, แต่หวังว่าคุณคงเข้าใจ

เราแค่บอกว่าล โอเค, ระยะนี่ตรงนี้คือ

b บวก a โคไซน์ของ s หรือเปล่า?

เราได้มาแล้วจากนี่ตรงนี้, ตอนเรามองผ่านมุม,

รอยตัดของทอรัส

นั่นคือระยะที่เราไปได้, ในทิศของ x-y ณ

จุดใด ๆ หรือตามแนวรัศมี, โดยไม่สนใจ

เรื่องความสูง

แล้วหากเราอยากได้พิกัด x, คุณก็คูณมัน

ด้วยไซน์ของ t, วิธีที่ผมได้มาบนนี้, ส่วน

พิกัด y จะเป็นอันนี่, ตรงนี้, ตามวิธี

ที่เราตั้งสามเหลี่ยมนี่ขึ้นมา

ดังนั้น y เป็นฟังก์ชันของ s กับ t จะเท่ากับ

โคไซน์ของ t คูณรัศมี

b บวก a โคไซน์ของ s

และการตั้งพาราเมทริกเรา, คุณก็รู้, แค่เล่นกับ

สามเหลี่ยมนี้, หวังว่าคุณคงเข้าใจนะ

ผมหมายถึง, หากคุณบอกว่านี่คือพิกัด y ตรงนี้

คุณก็ใช้ SOCATOA, โคไซน์ของ t, CA ด้านสัมผัส

คือ y, ใช่, นี่คือมุมตรงนี้,

ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ส่วน b บวก a โคไซน์ของ s

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยนี่, แล้วคุณจะได้

y ของ s กับ t เท่ากับ โคไซน์ของ t คูณ

สิ่งนี่, ตรงนี้

ขอผมลอกแล้ววางผลที่ได้ทั้งหมดนะ

-

เราก็ทำการตั้งพาราเมทริกเสร็จเรียบร้อย

-

เราปล่อยมันไว้อย่างนั้นก็ได้, แต่หากเราอยาก

ได้มันเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง, เราจะ

นิยามมันแบบนี้

เลือกสีสวย ๆ หน่อย, สีชมพูก็ดีนะ

งั้นสมมุติว่าฟังก์ชันมีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่งคือ r

มันจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์สองตัว, s กับ t,

มันจะเท่ากับค่า x

ขอผมใช้สีเดิมนะ

มันจะเท่ากับ, ผมจะทำส่วนแรกก่อน

b บวก a โคไซน์ของ s คูณไซน์ของ t, และนั่นจะอยู่

ในทิศ x, เราก็บอกว่านั่นคูณ i

และในกรณีนี้, จำไว้, วิธีที่ผมกำหนด

ทิศ x เป็นบวกจะเป็นทิศนี้

ดังนั้นเวกเตอร์หน่วย i จะเป็นแบบนั้น

i จะไปในทิศนั้น, ตามที่ผมกำหนด

แล้วบวกค่า y เรา จะเป็น b บวก a โคไซน์ของ

s คูณ โคไซน์ของ t ในทิศเวกเตอร์หน่วย y

จำไว้, เวกเตอร์หน่วย j จะไปแบบนั้น

นั่นคือเวกเตอร์หน่วย j

แล้ว, สุดท้าย, เราก็โยน z ไว้, ซึ่งเป็น

อันที่ตรงไปตรงมาที่สุด

บวก a ไซน์ของ s คูณเวกเตอร์หน่วย k, ซึ่ง

คือเวกเตอร์หน่วยในทิศ z

คูณเวกเตอร์หน่วย k

ดังนั้นตอนนี้, คุณให้เลข s กับ t ใด ๆ ในโดเมน

ตรงนี้, คุณก็แค่ใส่มันลงในฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง

จรงน้, มันจะให้เวกเตอร์ตำแหน่งคุณ ที่ระบุ

จุดในทอรัสที่เหมาะสม

งั้นหากคุณเลือก, เพื่อให้แน่ใจว่าเราเข้าใจ

สิ่งที่เราทำอยู่

หากคุณเลือกจุดนั่นตรงนี้, โดย s กับ t

เท่ากับ ไพ ส่วน 2 ทั้งคู่, คุณอาจอยากลอง

ทำตามดู

เลือก ไพ ส่วน 2 ทั้งคู่

ที่จริง, ลองทำเลยดีกว่า

ในกรณีนั้น, ตอน r ของ ไพ ส่วน 2, เราจะได้อะไร?

มันจะเป็น b บวก a คูณโคไซน์ของ ไพ ส่วน 2

โคไซน์ของ ไพ ส่วน 2 เป็น 0, จริงไหม?

โคไซน์ของ 90 องศา

มันก็จะเท่ากับ b, ใช่ สิ่งนี้ตรงนี้จะเท่ากับ

0, คูณไซน์ของ ไพ ส่วน 2

ไซน์ของ ไพ ส่วน 2 ก็คือ 1

มันก็จะเท่ากับ b คูณ i บวก, อีกครั้ง, โคไซน์ของ ไพ

ส่วน 2 เป็น 0, เทอมนี่ตรงนี้เลยเป็น b

แล้วโคไซน์ของ ไพ ส่วน 2 เป็น 0, มันก็เลยเป็น 0 j

มันจะเท่ากับ บวก 0 j

แล้วสุดท้าย, ไพ ส่วน 2, ทีนี้, มันไม่มี t ตรงนี้,

ไซน์ของ ไพ ส่วน 2 เป็น 1

ดังนั้นบวก a คูณ k

-

นี่จะไม่มีทิศ j อยู่

นี่จะเท่ากับ b คูณ i บวก a คูณ k

จุดนั่นมันบรรยาย, ตามการตั้ง

พาราเมทริกนี่, หรือเวกเตอร์, คือ b คูณ i

บวก a คูณ k

งั้น b คูณ i จะพาเราออกมาตรงนี้, แล้ว a คูณ k

จะพาเรามายังบนนี้

ดังนั้นตำแหน่งที่เวกเตอร์นี้ระบุ

อยู่ตรงนี้

ตามที่เราคาดไว้

จุดนั้น, จุดนั่นตรงนั้น, ตรงกับ

จุดนั้น, แบบนั้น

แน่นอน, ผมเลือกจุดที่คำนวณง่าย, แต่ทั้งหมดนี่

ตอนคุณเลือกค่า s กับ t ทุกค่าในโดเมน

ตรงนี้, คุณจะแปลงมันเป็นพื้นผิวนี่

และนี่คือวิธีแปลง, ตรงนี้

แน่นอน, เราต้องระบุว่า s อยู่ระหว่าง,

เราเขียนมันได้หลายวิธี

s ระหว่าง 2 ไพ ถึง 0, และเราบอกเช่นกันว่า t

อยู่ระหว่าง 2 ไพ กับ 0

คุณก็รู้, คุณอาจทับจำนวนเท่าของ

2 ไพ, หรือบางทีคุณอาจเอาเครื่องหมายเท่ากับอันใดอันหนึ่ง

ออกก็ได้, แม้ว่ามันจะเปลี่ยน

พื้นที่อะไร, หากคุณคิดถึงพื้นที่ผิว

แต่หวังว่าอย่างน้อย นี่ทำให้คุณพอเข้าใจ, หรือมากกว่า

นั้น, ว่าจะตั้งพาราเมทริกให้ของพวกนี้ยังไง,

หรือสิ่งที่เรากำลังทำอยู่, เพราะมันจะสำคัญ

ตอนเราเริ่มพูดถึงอินทิกรัลพื้นผิว

และสิ่งที่ยากที่สุดในการทำของพวกนี้

คือการมองภาพนั่นเอง

-