İki Parametreli Denklemler için Konum Vektör Değerli Fonksiyon Oluşturmak

İki Parametreli Denklemler için Konum Vektör Değerli Fonksiyon Oluşturmak

-

Bir önceki videoda, bir simidin parametrik denklemlerini konuşmaya başlamıştık.

-

Bunu görsellemek için çok zaman harcamıştık, çünkü görsellemek çok önemli.

-

-

Bunun zor tarafı görsellemek.

Bir simidin parametrik denklemini bulmak için, bir noktayı herhangi bir çember üzerinde döndürüyoruz.

-

-

-

z y düzleminde bir çember seçtim.

Çemberin etrafında ne kadar gittiğini s ile belirtmiştim, s 0 ile 2 Pi arasında değer alıyordu. Bu çemberi kendi etrafında çeviriyoruz.

-

-

Veya daha iyi belirtmek istersek, çemberi z ekseni etrafında çeviriyoruz. Çember z ekseninden b uzaklıkta olacak.

-

-

Üstten baktığımız zaman böyle göründüğünü düşünmüştük.

İkinci parametremiz t, çemberin z ekseni etrafında ne kadar döndüğünü belirtiyor.

-

-

Bunlar iki parametremizin tanımıydı.

Sonra da olup biteni gözümüzde canlandırmaya çalıştık.

Parametrik denklemlerin tanım kümesi şöyle olacak.

-

s 0 ile 2 Pi arasında değerler alıyor, t 0 olduğunda, z y düzleminden çıkmamış durumdayız.

-

s 0'dan 2 Pi'ye böyle gidiyor.

t 2 Pi'ye gittiğinde ise, çemberimizi z ekseni etrafında döndürmüş oluruz.

-

-

s t tanım kümesindeki bu doğru, üç boyuttaki şu çembere denk gelir.

-

Umarım artık görselleyebiliyoruz.

Şimdi de bu parametrik denklemleri oluşturacak konum vektör değerli fonksiyon bulmaya çalışalım.

-

-

Önce z'ye bulalım, çünkü bunu bulmak kolay.

-

Bu görüntüye bakalım.

z fonksiyonumuz ne olacak?

x, y ve z değerlerimiz s ve t cinsinden olmak zorunda.

-

Yapmamız gereken bu.

Uzaydaki herhangi bir konumu s ve t değerleri seçerek bulabiliriz.

-

Bunu burada görmüştük.

Birkaç nokta için bunu göstereyim.

-

Bu nokta şuradaki noktaya denk gelir.

-

Bir tane daha seçelim.

Bu nokta, şu noktaya denk gelir.

-

Birkaç tane daha yapabilirim.

Seçeyim.

Şuradaki noktada s hala 0.

Bu dış kısımda olacak.

Bir nokta daha alayım da şu kareyi tanımlamış olayım.

t'yi döndürmediğim ama çemberin dörtte birini gittiğim şu nokta ise, bu noktaya denk gelir.

-

-

Her s ve t değerini x y z uzayında bir noktayla eşleştiriyoruz.

-

z, x ve y, s ve t cinsinden fonksiyonlar olacak.

-

İlk olarak z'yi bulalım.

Bu gayet kolay olacak.

z'yi s ve t cinsinden nasıl yazarım?

Herhangi bir çemberde s'nin yarıçap ve x y düzlemi arasındaki açı olduğunu unutmayın.

-

Bunu çizebilirim.

-

-

Bunun bir yarıçap olduğunu düşünelim.

Bu açıya s demiştik.

Çemberi çizelim ve biraz trigonometri kullanalım.

-

-

Bu açı s.

Yarıçapın a olduğunu biliyoruz, çemberin yarıçapını böyle tanımlamıştık.

-

z de x y düzleminin üstündeki uzaklık olacak.

Şu uzaklık olacak.

Bunu trigonometrik oranlarla elde edebilirim.

Dik üçgenlerdeki trigonometrik oranlarla ilgili, SOHCAHTOA videolarını izleyebilirsiniz.

-

Bunu bulmak için sinüs oranını kullanırsınız.

Sinüs, karşı bölü hipotenüstür, yani sinüs s eşittir z bölü a.

-

-

İki tarafı a ile çarparsanız, a çarpı sinüs s eşittir z elde edersiniz.

Bu, bize x y düzlemine olan uzaklığı verir.

Basit trigonometri.

z yalnızca s cinsinden bir fonksiyon olacak.

a çarpı sinüs s.

Çok da zor değilmiş.

Şimdi de x ve y'yi bulmaya çalışalım.

z'nin ne olduğu önemli değil.

z ekseni etrafında ne kadar döndürdüğümüz önemli değil.

Çember üzerinde ne kadar döndürdüğümüz önemli.

s 0 ise, x y düzlemindeyiz ve z de 0 olacak.

-

s Pi bölü 2 olursa, simidin üstüne çıkmış oluruz.

-

x y düzleminin de a üstünde olacağız, yani z a olacak.

-

Umarım, bu size mantıklı gelir.

Şimdi çevirdiğimiz zaman ne elde ettiğimize bakalım.

Simidimiz üstten böyle görünüyordu.

-

Bu çemberlerin her biri orijinden veya z ekseninden b uzaklıkta,

-

Her zaman b uzaklıkta.

Bu çemberin merkezinde b uzaklıkta olacağız.

-

Bu da b uzaklıkta olacak.

Noktamızın x y düzlemindeki izdüşümünü alırsak, başlangıç noktasına olan uzaklığını düşünmemiz gerekecek.

-

-

-

Bu çizime dönelim.

-

En açıklayıcı bu olacaktır.

Bu, z y düzleminde bir çember, ama herhangi bir çember de olabilir.

-

Bu z ekseniyse, bu uzaklık her zaman b olur.

-

Bunu kesin olarak biliyoruz.

Peki, bu uzaklık ne olur?

-

Merkeze b uzaklıktayız ve bir s açımız olacak. Bu s açısına göre, x y düzlemine olan izdüşümü bulacağız.

-

-

-

-

x y konumu da diyebilirsiniz.

-

Gözünüzde canlandırabildiğinizi düşünüyorum.

z, a çarpı sinüs s ise, bu uzaklık a kosinüs s olacak.

-

-

-

s şu açı.

Bu uzaklık a kosinüs s olacak.

Başlangıç noktasına olan uzaklık ise, b artı a kosinüs s olacak.

-

-

s şurada olduğunda, sonuç negatif çıkacak, çünkü uzaklığımız b'den az.

-

-

Bu noktada olacağız.

Bu üstten görüntülere baktığımızda, nerede olursak olalım, bu b.

-

Diyelim ki biraz döndürdük.

x y düzlemine bakarsak, bu uzaklık her zaman b artı a kosinüs s olacak.

-

Her nokta için bu uzaklık böyle bulunur.

Konumu s ve t cinsinden yazıyoruz.

Döndürdükçe, şuradaki noktadayız diyelim, x y düzlemindeki uzaklığın b artı a kosinüs s olduğunu söylemiştik.

-

-

Bunun x ve y koordinatları nelerdir?

Unutmayın, bu üstten bakış.

-

z ekseni üstünde oturup x y düzlemine bakıyoruz.

-

Simide üstten bakıyoruz.

x ve y değerlerimizi nasıl bulacağız?

Buraya bir dik üçgen daha çizersiniz.

Bir dik üçgen.

Bu açı t olur.

Bu uzunluk, bu çarpı açının sinüsü olarak bulunur.

-

x koordinatı, şu t açısının sinüsü çarpı şu yarıçap olacak.

-

-

-

Çarpı b artı a kosinüs s.

-

Uzaklık, çemberin üzerinde ne kadar döndüğümüze bağlı, öyle değil mi?

-

Buradayken, çok daha uzaktayız.

Burada ise, b uzaklıktayız, sadece x y düzlemine bakarsak.

-

Şurada ise, b eksi a uzaklıktayız.

-

x'i s ve t cinsinden bir fonksiyon olarak yazabildik.

Burada tanımladığımız şekliyle, pozitif x ekseni bu yönde olur.

-

Pozitif x bu yönde olur, negatif x ise şu yönde.

İşaretleri değiştirebilirdim, ama bunun pozitif x, bunun da negatif x olması aslında mantıklı.

-

-

Sağ ele veya sol ele göre tanımlanmış bir koordinat sistemine göre değişir, umarım mantıklı geliyordur.

-

Peki, b artı a kosinüs s nedir?

-

Bunu buradan bulmuştuk.

-

Bu, x y yönündeki uzaklığımızdı, yüksekliği düşünmeden elde ettiğimiz uzaklıktı.

-

-

x koordinatını bulmak isterseniz, bunu sinüs t ile çarparsınız, y koordinatı ise şu olacak.

-

-

-

s ve t cinsinden y ise, kosinüs t çarpı bu yarıçap olacak.

-

b artı a kosinüs s.

Bu üçgeni düşünürseniz, umarım mantıklı gelir.

-

y koordinatını bulmak için, SOHCAHTOA kullanıp, kosinüs t eşittir komşu, yani y, bölü hipotenüs, b artı a kosinüs s deriz.

-

-

-

-

Denklemin iki tarafını bununla çarparız, y eşittir kosinüs t çarpı bu.

-

-

Bulduklarımızı kesip yapıştırayım.

-

Parametrik denklemlerimizi bulmuş olacağız.

-

Böyle bırakabiliriz, ama konum vektör değerli fonksiyon olarak ifade etmek istersek, şöyle tanımlayabiliriz.

-

-

-

Konum vektör değerli fonksiyonumuza r diyelim.

s ve t parametreleri cinsinden bir fonksiyon olacak.

-

-

Önce x kısmını yapayım.

b artı a kosinüs s çarpı sinüs t, bu x yönünde olacak, yani çarpı i.

-

Tanımıma göre, pozitif x bu yönde olacak.

-

Yani i birim vektörü böyle olacak.

Tanımıma göre, bu yönde gideceğim.

Artı y değerimiz, bu da b artı a kosinüs s çarpı kosinüs t, y birim vektörü yönünde.

-

j birim vektörü de böyle olacak.

j birim vektörü.

Son olarak z'yi katarız,en kolay kısım da bu.

-

Artı a sinüs s çarpı k birim vektörü, z yönündeki birim vektör.

-

Çarpı k birim vektörü.

Bu tanım kümesindeki herhangi bir s t ikilisini bu konum vektör değerli fonksiyona koyarsanız, simit üzerindeki bir noktayı veren konum vektörünü elde edersiniz.

-

-

-

Neler olduğunu anladığınızdan emin olalım.

-

s ve t'nin Pi bölü 2 olduğu bu noktayı alıp fonksiyonda yerine koyun.

-

-

Buraya Pi bölü 2 koyun.

-

r nedir?

b artı a çarpı kosinüs Pi bölü 2.

Kosinüs Pi bölü 2 eşittir 0, öyle değil mi?

Kosinüs 90 derece.

b, buranın tamamı 0, çarpı sinüs Pi bölü 2.

-

Sinüs Pi bölü 2 eşittir 1.

b çarpı i artı, yine kosinüs Pi bölü 2 0, bu terim de b, çarpı kosinüs Pi bölü 2 eşittir 0, yani 0 j.

-

-

Artı 0 j olacak.

Son olarak da, sinüs Pi bölü 2 eşittir 1.

-

Yani a çarpı k.

-

j yönünde bileşen yok.

Bu, b çarpı i artı a çarpı k'ye eşit olacak.

Bunun gösterdiği noktanın konum vektörü, b çarpı i artı a çarpı k olacak.

-

-

b çarpı i bizi buraya getirir, a çarpı k da şuraya ulaştırır.

-

Yani konum vektörü budur.

-

Tahmin ettiğimiz gibi.

Bu nokta, şu noktaya denk gelir.

-

Kolay hesaplanabilen noktalar seçtik, ama tüm s t değerleri bu tanım kümesini bu yüzeye dönüştürecek.

-

-

Transformasyonum böyle.

s'nin hangi değerleri aldığını belirtmemiz gerekiyor.

-

s 2 Pi ile 0 arasında, t de 2 Pi ile 0 arasında diyebiliriz.

-

2 Pi'de başlangıç noktamızı tekrar etmiş oluyoruz, şu eşit işaretlerinin birini silebiliriz belki. Bu, yüzey alanını değiştirmeyecektir.

-

-

-

Umarım bu video bu yüzeylerin parametrik denklemlerinin nasıl bulunduğu hakkında size bir fikir vermiştir. Yüzey integralleri bulmaya başladığımızda bu çok önemli olacak.

-

-

-

Bunun en zor kısmı ise, görsellemek.

-

-