Greatest common factor exercise | Factors and multiples | Pre-Algebra | Khan Academy

Μας ρωτάνε:

Ποιός είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ)
του 20 και του 40;

Και ένας άλλος τρόπος που
το σύμβολίζουμε αυτό είναι

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των 20 και 40
σε παρένθεση.

1

Και ενώ το όνομα Μέγιστος Κοινός
Διαιρέτης φαίνεται κάτι σύνθετο

στην ουσία δεν είναι τίποτε άλλο

από το μεγαλύτερο αριθμό
που διαιρεί και το 20 και το 40.

Εδώ τώρα νομίζω ότι
είναι πιο απλά τα πράγματα

αφού το 20 διαιρεί το 40

ή αλλιώς το 40 διαιρείται από το 20

1

άρα ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης

του 20 και του 40 είναι το ίδιο το 20.

Το 20 είναι ίσο με 1 φορά το 20
και το 40 είναι ίσο με 2 φορές το 20.

Σε αυτήν την περίπτωση λοιπόν
τα πράγματα είναι πιο απλά

και δεν χρειάστηκε να χρησιμοποιήσουμε
κάποιο πρόχειρο.

Απαντάμε λοιπόν, 20.

Ας κάνουμε μερικά τέτοια
παραδείγματα ακόμα.

Μας ρωτάνε: "Ποιός είναι Μέγιστος
Κοινός Διαιρέτης του 10 και του 7;"

1

Πάμε να το δούμε σε ένα πρόχειρο.

Θέλουμε λοιπόν το ΜΚΔ του 10 και του 7.

Ας το γράψουμε.

1

ΜΚΔ(10,7)

και μπορούμε να το σκεφτούμε
με δύο τρόπους.

Ο ένα τρόπος είναι να γράψουμε
απλά όλους τους διαιρέτες

1

των δύο αριθμών που έχουμε
και να βρούμε τελικά

ποιος είναι ο μεγαλύτερος
κοινός τους διαιρέτης.

Το 10 για παράδειγμα

αφού γράφεται ως 10 επί 1
και 2 επί 5

οι διαιρέτες του 10 τελικά
είναι το 1, το 2, το 5 και το 10.

1

Είναι όλοι οι αριθμοί που διαιρούν
το 10.

1

Το 7 τώρα είναι πρώτος αριθμός

1

άρα οι μοναδικοί διαιρέτες που έχει
το 1 και ο εαυτός του, το 7.

Ποιός είναι λοιπόν ο Μέγιστος
Κοινός Διαιρέτης αυτών των δύο;

Μα αφού έχουν μοναδικό κοινό
διαιρέτη το 1

1

τότε ο μέγιστος κοινός
διαιρέτης του 10 και του 7 είναι το 1.

1

Ας το γράψουμε.

1

Ας κάνουμε ένα παράδειγμα ακόμα.

Ποιός είναι ο μέγιστος κοινός
διαιρέτης του 21 και του 30;

1

Έχουμε λοιπόν το 21 και το 30

και ψάχνουμε το μέγιστο
κοινό διαιρέτη τους.

1

1

Πάμε να το κάνουμε με δύο τρόπους

και ο πρώτος τρόπος είναι
όπως κάναμε και προηγουμένως

να γράψουμε απλά όλους
τους διαιρέτες τους.

Πάμε να το κάνουμε.

Ποιοί είναι οι διαιρέτες του 21;

Είναι σίγουρα το 1 και ο εαυτός του
21, το 3 και το 7.

Νομίζω ότι αυτοί είναι όλοι
κι όλοι.

Το 30 τώρα μπορεί να γραφτεί
ως 1 επί 30, 2 επί 15 και 3...

1

1

Το 30 τώρα μπορεί να γραφτεί
ως 1 επί 30,

2 επί 15

3 επί 10

και 5 επί 6.

Αυτοί εδώ λοιπόν
είναι και οι διαιρέτες του 30.

Ποιοί είναι οι κοινοί τους
διαιρέτες;

Έχουν σίγουρα κοινό διαιρέτη το 1

αλλά έχουν κοινό διαιρέτη
και το 3.

Επομένως ποιός είναι ο μέγιστος
κοινός διαιρέτης,

ο μέγαλύτερος κοινός διαιρέτης
που έχουν;

Μα φυσικά το 3.

Γράφουμε λοιπόν 3

και πάμε να το δούμε
και με τον άλλο τρόπο

αναλύοντας τους αριθμούς μας

σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Η ανάλυση του 21 σε γινόμενο
πρώτων παραγόντων

αφού διαιρείται με το 3

είναι 3 επί 7.

Η ανάλυση σε γινόμενο
πρωτων παραγόντων του 30 είναι

3 επί 10 και το 10 είναι ίσο
με 2 επί 5.

Ποιοί είναι περισσότεροι
κοινοί διαιρέτες που μπορούμε να πάρουμε

από το 21 και το 30;

1

Μα αν δούμε τις αναλύσεις
των δύο αριθμών

ο μονος κοινός διαιρέτης που έχουν
είναι το 3

άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης
τους είναι το 3.

1

Αν τώρα στις αναλύσεις
σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

δεν υπάρχει τίποτα κοινό
τότε ο ΜΚΔ των αριθμών είναι το 1.

Ας κάνουμε τώρα ένα ακόμα
πιο ενδιαφέρον παράδειγμα

για να εμπεδώσουμε
ακόμα καλύτερα.

Ας πούμε τώρα ότι θέλουμε

το μέγιστο κοινό διαιρέτη

των 105 και 30.

Πάμε να αναλύσουμε τους αριθμούς
μας σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

1

και μάλιστα δείτε τώρα ότι
αν ψάχναμε τους διαιρέτες του 105

όπως κάναμε στον πρώτο
τρόπο μπορεί να μας δυσκολέψει λίγο.

Ενώ η ανάλυση σε γινόμενο
πρώτων παραγόντων είναι πιο απλή.

Το 105 λοιπόν διαιρείται
σίγουρα από το 5

και είναι ίσο με 5 επί 21.
Το 21 τώρα είναι ίσο με 3 επί 7

άρα η ανάλυση σε γινόμενο
πρώτων παραγόντων του 105

είναι ίση με 3 επί 5 επί 7.

1

Το γινόμενο πρώτων παραγόντων
του 30 το έχουμε ήδη βρει

και είναι ίσο με 2 επί 3 επί 5