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問題は，「20 と 40 の最大公約数は何ですか?」
と聞いています．
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これを言う他の方法は，「gcd(20,40)?」です．
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「最大公約数」とはとても風変りな言葉ですが，それは単に
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20 と 40 の両方を割ることができる一番大きな数は
何ですか? と聞いているだけです．
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この問題は簡単そうですね．
なぜなら 20 は 40 を割り切るからです．
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40 は 20 で余りなしで割れると言うこともできます．
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ですから，20 と 40の因数（約数）のうち最大の数は，
実は 20 です．
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20=20×1, そして 40=20×2 です．
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この状況では，紙を取り出す必要もありません．
単に 20 と答えを書けばいいです．
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ではもう少し他の問題を解きましょう．
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問題は「10 と 7 の最大公約数は何か?」と聞いています．
これは紙を使って考えましょう．
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10 と 7 の最大公約数です．これを書いておきます．
10 があって．．．
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10 と 7 の GCD (最大公約数)は何かについて考えます．
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この問題を解くには2つの方法があります．
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1つ目の方法は，全ての因数，素因数ではなくて，普通の因数全部を文字通り並べる方法です．これらの数のそれぞれの普通の因数を並べます．
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そしてどれが最大か，いや，単に最大ではなくて，両方の数が共通して持っている因数のうちで最大のものはどれかをみつけます．
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たとえば，そうですね，10 があります．
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10 は 1×10 または 2×5 です．
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1, 2, 5, 10 これらは皆 10 の因数です．これらが全てです．これらは10の<i>約数</i>と言うことができます．
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ときどきこれは「最大共因数」とも呼ばれます．
(訳注: 日本語では「最大公約数」の方が普通だと思います)
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7，この因数の全てはなんでしょうか? そうですね 7 は 素数です．ですから 2 つしか因数はありません．1 とそれ自身です．
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では何が最大共因数ですか? ここには 1 つしか共通の因数はありません: 1 です．
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1 がたった1つの共通の因数です．
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10 と 7 の最大共因数は 1 に等しいです．
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これを書いておきましょう: 1．
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他の問題もやってみましょう．
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21 と 30 の最大公約数は何でしょうか?
これは他の言い方では．．．
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21 と 30 は 2 つの数で，ここで私達が考えるのは．．．
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最大公約数をみつけたいと思います．21と 30 の
「最大共因数」と書くこともできます．
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これをみつけるには2つの方法があります．
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1つは先程の方法のように，文字通り全ての約数をみつける方法です．これを素早くやってみましょう．
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21 の全ての因数は何になるでしょうか? そうですね ．
1 と 21，3 と 7，これで全てだと思います．
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30 は 1 と 30，2 と 15， そして 3 と．．．
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実はもう書く場所がありません．こうやって
書いてみますね．そうすればもう少し場所ができます．
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1 と 30， 2 と 15， 3 と 10，そして 5 と 6．
これは全部 30 の因数です．
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では，共通の因数は何でしょうか? そうですね，
1 は共因数です．3 も共因数です．
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しかし<i>最大の</i>共因数は何でしょうか? あるいは最大公約数は? それは 3 ですね．ここに 3 と書いておきましょう．
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これまで，他の方法があると何度か言ってきていますので，その他の方法もお見せしましょう．
それは素因数分解を含む方法です．
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21 の素因数分解を考えると，そうですね．
それは 3 で割れます．3×7 です．
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30 の素因数分解は，そうですね．
それは 3×10 で，10 は 2×5 です．
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では，21と30の両方からとってくることができて，可能な限り大きな数を作るための<i>最大の</i>因数は何でしょうか?
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素因数分解を見ると，ここにあるもので共通しているものは
3 だけです．
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21 と 30 の最大の共因数，あるいは最大公約数は，3 です．
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もしここにあるものに共通するものが <i>何もない</i> ならば，
最大の公約数は 1 ですと言うこともできます．
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ではもう1つ面白い問題をやってみましょう．この感覚をつかんで欲しいと思います．
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これらの 2 つの数は 21 と 30 ではないとしましょう．21 ではない数の最大公約数を考えることにしましょう．ここでは 105 と 30 にしましょう．
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もし素因数分解をしたら，今度はもう少しはっきりするのではないでしょうか．
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実際に，「ヘイ，105 の全ての因数は何だい?」
という質問に答えるのはちょっと大変です．
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しかしもし素因数分解をしたら，そうですね，
やってみましょう
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105 の素因数分解は，小さいものから書くと，3×5×7 です．
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30 の素因数分解は，もうわかっていますね．
それは2×3×5 です．
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これらの数が両方とも持っている素数は何でしょうか?
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この2つの数は両方とも 3 を1つと 5 を1つ持っています．
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ですから最大の共通の因数，または最大公約数は
これらの数のかけ算になります．
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この場合，105 と 30 のGCD は3×5=15です．
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どちらの方法でもできます．昔ながらの方法ではそれぞれの数の因数を全部書き出して，両方にある因数の最大のものをみつけます．
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あるいは2つの数のコアになっている共通の基盤をみつけ出す，それは素因数分解のことですが，そこから共通する素数の組で最大になるものをみつける方法です．
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そしてそれらの積，かけ算が最大の公約数です．それが両方の数を割ることのできる最大の数です．
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