Inverse Trig Functions: Arcsin

Introduction to the inverse trig function arcsin

Представьте, подхожу я к Вам на улице

и спрашиваю: «Скажите, пожалуйста…»

(не хочу писать так жирно),

«Скажите, пожалуйста, чему равен sin π/4?»…

естественно, тут мы имеем дело с радианами

вы это либо заучите, либо нарисуйте

прямо здесь единичную окружность.

Это не самая красивая окружность,

но сама идея, думаю, вам ясна.

Мы переместились в π/4 радиан,

что также равно 45°

Нарисовали единичный радиус

Синус определим как Y-координату

на единичной окружности.

Вот здесь нам надо узнать только это значение.

И вы тотчас говорите:

«Без проблем! Этот угол – 45°»

Нарисую треугольник побольше.

Он выглядит приблизительно так

Этот угол – 45°. И этот – 45°. Этот – 90°.

И вы можете найти стороны треугольника

с углами 45-45-90. Гипотенуза равна 1.

Это – х и это – х (стороны будут равны).

Ведь это равнобедренный треугольник, так?

У него равные углы при основании.

Поэтому Вы скажете: х² + х² =1² ,

что равно просто 1.

2х² = 1.

х² = ½

х= √(1/2) = 1/√2

Могу привести это в рациональный вид,

умножив на √2/√2. Получится х = (√2)/2

Поэтому вот эта высота равна (√2)/2.

И если бы Вы хотели узнать это расстояние,

оно было бы таким же.

Но нас интересовала только высота.

Потому что значение синуса,

sinπ/4 – это вот эта высота.

Y-координата. Это (√2)/2

Все это – повторение пройденного.

Мы это проходили на уроке

по единичной окружности.

Или представьте: в другой день подхожу я к Вам

и спрашиваю: «Скажите мне, пожалуйста,

чему равен arcsin (√2)/2?»

Что такое арксинус?

но это какая-то новая тригонометрическая

функция, которую придумал Сэл.

И Вам нужно понять, что если впереди названия

функции стоит приставка «арк»

иногда это еще называют обратным синусом

Обратный синус, sin‾¹ = (√2)/2

Здесь вопрос в том, синус какого угла

я должен взять, чтобы получить значение (√2)/2.

И здесь такой же вопрос: для какого угла

я должен взять синус, чтобы получить (√2)/2.

Я мог бы переписать любое из этих выражений так:

синус чего-то равен (√2)/2.

И на этот вопрос, думаю,

Вам будет намного проще ответить.

Синус чего равен (√2)/2?

Ну, я только что вычислил, что sin π/4 = (√2)/2.

Т.е. мой знак вопроса равен π/4

Или я мог бы переписать это, как арксинус

...извините… arcsin (√2)/2 = π/4

Итак, повторим. Я задаю Вам значение и говорю:

найдите мне угол, синус которого даст это значение.

Но Вы, возможно, скажете: «Эй, Сэл»

Посмотрите сюда

Вы, возможно, скажете:

«Подождите. Да, это сработало для π/2. И для 45° тоже.

Но я могу продолжить добавлять 360° или 2π.

И все это сработает, потому что приведет меня

в ту же самую точку единичной окружности, так?»

Да, вы будете правы.

Все эти значения будут правильным ответом

Потому что если взять синус любого из этих углов

т.е если несколько раз добавить к углу по 360°,

а потом найти синус любого из получившихся углов

то синус будет равен (√2)/2.

Но в этом проблема.

В данном случае не может быть функции, скажем, f(x),

которая отображает несколько значений

π/4, или (π/4 + 2π), или (π/4 + 4π).

И для того, чтобы это было правильной функцией

для того, чтобы функция арксинуса была правильной

я должна ограничить ее диапазон.

Итак, давайте ограничим ее диапазон.

Так, к слову, какими значениями ограничена область

определения этой функции?

Если взять функцию арксинуса чего-то

К примеру, возьмем arcsin x и скажем, что он равен θ

какими значениями ограничена область определения?

Каковы правильные значения для х?

Чему может быть равен х?

Итак, если взять синус любого угла, то можно

получить значения только от -1 до 1, так?

Поэтому х будет -1≤х≤1. Это область определения.

Теперь, чтобы сделать эту функцию правильной,

я должен ограничить ее диапазон.

Область возможных значений.

Правило для арксинуса – ограничивать область

до 1-й и 4-й четверти единичной окружности.

Брать углы только из этой области,

здесь, вдоль единичной окружности.

Поэтому θ будет меньше либо равен π/2

и больше либо равен -π/2.

Теперь мы понимаем, что такое арксинус.

Давайте рассмотрим еще одну задачу.

Освобожу здесь место.

Найдем арксинус другого значения.

Допустим, я попросил бы Вас найти arcsin (-√3)/2.

Возможно, Вы это наизусть выучили.

И скажете: я знаю, что sin x, или sin θ равен (√3)/2.

И тогда задача будет решена.

Но я не помню это значение.

Поэтому нарисую единичную окружность.

Вот ось Х

Если я имею дело с арксинусом, то должен нарисовать

только 1-ю и 4-ю четверти единичной окружности.

Это ось Y.

Х и Y.

И где будет это значение?

Если синус чего-то равен (-√3)/2,

это значит, что Y-координата

на единичной окружности равна (-√3)/2.

Значит наше значение находится где-то здесь.

Это (-√3)/2. Вот где мы находимся.

А какой это дает угол?

Давайте немного подумаем.

Y-координата равна (-√3)/2. Это угол.

Это будет отрицательный угол, т.к. мы движемся

по часовой стрелке ниже оси Х.

Нарисую здесь небольшой треугольник.

Выберу цвет получше.

Вот треугольник. Нарисую его желтым цветом.

Давайте я увеличу этот треугольник.

Вот так. Это угол θ.

А чему равна длина этой стороны?

Она равна высоте Y,

думаю, ее можно так и назвать.

Она равна (√3)/2.

Конечно, со знаком «минус»,

потому что направлена вниз.

Но давайте вычислим этот угол.

Мы знаем, что это он отрицательный.

Если Вы видите значение (√3)/2, то, надеюсь,

узнаёте, что это треугольник с углами 30-60-90.

√3/2. Эта сторона равна ½.

А эта сторона, конечно же, равна 1,

потому что является радиусом единичной окружности.

В треугольнике с углами 30-60-90 угол,

противолежащий стороне (√3)/2, равен 60°

Тогда этот угол равен 30°.

Итак, мы знаем, что наш угол θ=60°.

Это по модулю.

Но угол направлен вниз, поэтому он равен -60°.

Если перевести в радианы… умножаем на на π/180°

Градусы сокращаются.

Остается -π/3 радиан.

Теперь можно записать выражение:

arcsin(-√3)/2 = -π/3 радиан.

Или можно было бы так сказать:

обратный синус, sin‾¹ (-√3)/2 = -π/3 радиан.

Чтобы подтвердить, давайте я прямо здесь

воспользуюсь калькулятором.

Я уже установила его в режим радианов.

Можете проверить.

Нажать кнопки «2nd», «Mode».

Я в режиме «Радианы».

Надеюсь, получу правильный ответ

И я хочу найти обратный синус.

кнопки «2nd» и «Синус» – sin‾¹ (√3)/2.

Он равен -1,047.

Т.е. это равно -1.04 радиан.

Итак, π/3 должно быть равно 1,04.

Посмотрим, получится ли подтвердить.

Если я напишу -π/3, что получится?

Получается то же самое значение.

Итак, мой калькулятор выдал мне точно такое же

значение, но это, может быть, не так полезно,

потому что калькулятор не покажет мне,

что это равно -π/3