-
Bienvenidos de nuevo.
-
Bueno, ahora voy a hacer unos problemas de integración
-
por partes, todos los que pueda hacer en 10 minutos
-
sin confundiros.
-
Voy a escribir la fórmula de la integración por partes,
-
y si se os olvida... bueno, no es malo para la salud
-
aprendérsela, pero si es que se os olvida,
-
sólo tenéis que derivarla de la regla del producto
-
La regla dice que si tenemos una integral de f (x)
-
multiplicada por g'(x)... o sea, si dentro del símbolo de la integración
-
hay una función y la derivada de otra función
-
y yo creo que con la práctica... la integración por partes
-
es un poco un arte, en realidad,
-
no es tan sistemático. Esto es igual a f(x)
-
por g(x) (o sea, es la regla del producto a la inversa)
-
menos la integral de la derivada de la primera
-
función, f'(x), por la segunda función.
-
Y es bastante fácil acordarse, porque es simétrica
-
con la fórmula.
-
Pues a ver si podemos aplicar esto.
-
Y en realidad, una vez que ya sabes que tienes que usar la integración por
-
partes, yo creo que veréis que no es tan difícil.
-
Lo difícil es saber cuándo tienes que usar
-
la integración por partes.
-
Personalmente, es más bien mi último recurso, cuando
-
tengáis ya mucha práctica, veréis enseguida, por ejemplo,
-
si hay un e^x , o una función trigonométrica,
-
y no puedo usar la regla de la cadena a la inversa o la integración
-
por sustitución, entonces la integración por partes seguramente es
-
la mejor opción, en caso de que sea un ejercicio de un examen
-
y no un caso de la vida real.
-
En la vida real, podría ser una integral que no tiene solución
-
y haría falta un ordenador u otra técnica.
-
Pero si es un ejercicio de un examen,
-
sabes que sí tiene solución, y si no puedes
-
resolverla de otra manera, seguramente es integración por partes.
-
Pero... vamos a empezar con los problemas.
-
Imaginemos que quiero hacer la integral de x^2 e^x
-
dx
-
Si yo viera esto fuera de contexto, si no supiera que esto es
-
una presentación sobre la integración por partes, primero...
-
está claro que no es una polinómica, así que no puedo
-
simplemente calcular la primitiva.
-
Así que intentaría ver si está la derivada de algo,
-
de alguna función... de una función compuesta
-
para poder hacer la regla de la cadena a la inversa.
-
La derivada de x aquí es 1, así que no puedo hacer nada con eso.
-
Así que uso la regla de la cadena.
-
Y yo, cuando uso la regla de la cadena,
-
lo que quiero es siplificar.
-
Mirando este elemento de aquí, yo voy a
-
elegir mi f(x).
-
Voy a elegir una de estas 2 funciones como mi f(x)
-
buscando que la f'(x) que salga sea más simple.
-
Y quiero elegir mi g'(x), seguramente mi g'(x) va a ser:
-
o bien x^2 va a ser mi g'(x) o bien e^x va a ser mi g'(x),
-
y voy a elegir una pensando que cuando haga
-
la función primitiva de ésa, me salga
-
algo más simple.
-
O, por lo menos, no más complicado.
-
Yo sé que, si hago la derivada de x^2,
-
me sale algo más simple.
-
Y también sé que... y vuelvo a repetir, esta es una de...
-
para mí, una idea apasionante... que la
-
función primitiva de e^x es e^x.
-
Por eso, seguramente es buena idea poner f(x) es igual a...
-
seguramente... voy a cambiar de color... seguramente es una
-
buena idea poner f(x) es igual a x^2, porque luego
-
voy a sacar la derivada de x^2, y la derivada de x^2
-
es más simple, y seguramente es buena idea poner
-
g'(x) como e^x, porque luego voy a sacar la función
-
primitiva de e^x, y la primitiva de e^x
-
es e^x,
-
o sea que no se va a complicar.
-
Si voy por el buen camino, ¿qué dice la regla?
-
Primero se multiplican las dos funciones reales,
-
(cuando digo las funciones reales, me refiero
-
a las funciones sin derivar)
-
hemos dicho que f(x) va a ser x^2
-
Voy a intentar ser coherente con los colores
-
x^2
-
y luego g(x). CUIDADO no os confundáis: hemos dicho que
-
g'(x)... Voy a escribirlo aquí en una esquina:
-
hemos dicho que g'(x) va a ser e^x.
-
Y claro, si g'(x) es e^x, entonces g(x)
-
también es igual a e^x, ¿vale?
-
No quiero que penséis que estoy
-
poniendo g'(x) aquí, ¿eh?
-
He puesto la primitiva, pero resulta que
-
casualmente se queda igual.
-
Y ahora restamos la integral:
-
sacamos la derivada de x^2, que es 2x,
-
y multiplicamos por la primitiva de g'(x)
-
Y g'(x) es e^x, y si sacas la
-
primitiva sigue siendo e^x
-
Espera, voy a ponerlo del color que es,
-
para que os enteréis un poco de lo que intento hacer...
-
Este ejemplo con la e^x puede ser un poco complicado,
-
porque no ves cuándo he hecho la derivada
-
y cuándo no.
-
Podéis fijaros en la fórmula de arriba cuando
-
no lo tengáis claro.
-
Voy a coger este color... "dx"
-
Bueno, ya parece que lo he simplificado un poco,
-
Esta integral parece más fácil de resolver que esta integral.
-
Pero todavía, cuando la miro, digo "vale,
-
y ¿cómo resuelvo esto?"
-
No puedo aplicar la integración por sustitución porque
-
no tengo ahí una función compuesta con su derivada
-
justo al lado. Así que...
-
creo que tengo que hacer integración por partes ¡otra vez!
-
Vamos a ello.
-
Así que cogemos... voy a hacerlo por separado... pensemos que...
-
Creo que ya estáis pillándole el tranquillo
-
como antes, esto es f(x),
-
y esto es g'(x) ahora, ¿vale?
-
Estamos haciendo integración por partes
-
DENTRO de una integración por partes.
-
Esta integral va a ser igual a...
-
tenemos el signo menos delante, este
-
signo menos delante, esta integral va a ser igual a
-
f(x) por g(x). f(x) es 2x
-
Y la g(x)... ahora esto de arriba es la g'(x).
-
Recordad que estamos como haciendo un problema nuevo
-
dentro del problema principal.
-
Esto es g'(x) pero g(x) sigue siendo e^x
-
Es su primitiva.
-
Y eso menos la integral de la derivada de
-
la primera función.
-
f'(x)
-
que es 2,
-
y la primitiva de la segunda función.
-
Que es fácil :)
-
La primitiva de e^x es e^x.
-
Interesante.
-
Bueno, creo que veis ya adónde vamos
-
No es más que... voy a escribirlo entero
-
Esto es x^2, e^x
-
Para que no nos olvidemos del problema original.
-
Interesante.
-
Parece que tenemos aquí una integral que ya es
-
bastante fácil de resolver.
-
Que no se me olviden los "dx".
-
¿Cuál es la integral de... podemos sacar el 2
-
de aquí, y creo que se ve bastante claro, ¿Cuál
-
es la integral de e^x?
-
Esto es un tachón, y aquí pone "dx"
-
Así... está un poco lioso.
-
No me gusta este color...
-
Magenta.
-
Bueno, la integral de e^x, o la primitiva de
-
e^x es e^x, ¿no?
-
Vamos a escribirlo
-
Vuelvo a escribir todo lo que hemos hecho.
-
Tenemos x^2 e^x - 2x e^x y este menos,
-
que aplicando la ley distributiva se convierte en un más
-
y es más 2... he cogido este menos, lo he multiplicado por
-
este menos y me da +2. Y lugo la primitiva
-
de e^x es la misma e^x.
-
Y por supuesto, no podemos olvidarnos del "+C"
-
Vaya chorizo, ¿eh?
-
Hemos encontrado la primitiva, la integral
-
indefinida de x^2 e^x es esta cosa tan larga.
-
Seguro que tú, antes de escuchar este vídeo, nunca habrías
-
imaginado que ibas a poder hacer integrales así.
-
Puedes intentar hacer x^n por e^x.
-
Y también x^10 por e^x.
-
En realidad, lo que tienes que hacer es practicar esto muchas,
-
muchas, muchas veces, pero siempre que hagas integración
-
por partes, que el exponente de la x se haga más pequeño
-
y cada vez más pequeño hasta que llegues a algo que sea
-
muy fácil de integrar, y ya puedes resolverlo, y te saldrá
-
una expresión así de larga.
-
Puede ser tedioso, follonero, pero por lo menos tienes
-
una caja de herramientas... o una herramienta en la caja,
-
con la que puedes resolver problemas de integrales como éste.
-
Seguramente haré otro vídeo de integración por partes,
-
porque creo que este es un concepto difícil
-
de asimilar y usar con agilidad, y luego intentaré
-
hacer unos cuantos ejemplos.
-
A lo mejor no lo hago enseguida, pero en las próximas semanas,
-
con un montón de integración.
-
Y voy a mezclarlo todo para que tengáis una idea
-
de cómo decido qué herramienta de integración
-
voy a usar para un problema dado
-
cuando lo veo.
-
Nos vemos en la próxima presentación.
