Integration by Parts (part 6 of Indefinite Integration)

Teretulemast tagasi.

Ma kavatsen nüüd lahendada mitu ositi integreerimise

ülesannet, täpselt nii palju, kui ma kümne minuti jooksul lahendada jõuan ilma

teid segadusse ajamata.

Niisiis las ma kirjutan ositi integreerimise valemi siia,

ja kui sa selle kunagi peaksid ära unustama-- ma arvan, et seda ei ole raske

meelde jätta, aga kui sa selle kunagi unustad-- sa saad selle lihtsalt

tuletada tuletise

korrutise reeglist.

Aga see lihtsalt ütleb meile, et kui meil on integraal f kohal x

korda g prim kohal x-- nii et kui sa näed integraali märgi all

ühte funktsiooni ja lisaks veel ühe teise funktsiooni

tuletist, ja ma arvan, et harjutades-- ositi integreerimine

on tegelikult kunst.

See ei ole süstemaatiline-- see on g tuletis kohal x, mis võrdub f kohal x

korda g kohal x-- nii on korrutise reegel

ümber pööratud-- miinus integraal esimese funktsiooni tuletisest,

f tuletis kohal x, korda teine funktsioon.

Ja seda on üsnagi lihtne meelde jätta, see valem on

üsnagi sümmeetriline.

Nii et vaatame, kas me saame seda kasutada.

Ja tõesti, kui sa tead, et sa peaksid kasutama ositi integreerimise reeglit,

ma arvan, et sa leiad, et seda ei ole keerukas teha.

Keerukas osa on aru saada, millal peaks

ositi integreerimise reeglit kasutama.

Minu seisukohast, see on üsnagi viimane asi, mida proovida, aga kui

sul on palju kogemusi, siis sa võid sellest samuti aru saada, et kui

antud on e astmes x, või kui on antud trigonomeetriline funktsioon,

ja ma ei saa kasutada ümberpööratud liitfunktsiooni reeglit või integreerimist

muutujavahetusega, siis ositi integreerimine on tõenäoliselt minu parim

võimalus, eeldades, et ma näen seda ülesannet eksamil ja

mitte tegelikus elus.

Reaalses elus võib see olla lahendamatu integraal ja

sa peaksid kasutama arvutit või mõnda muud tehnikat.

Aga kui sa näed sellist ülesannet eksamil, siis sa tead, et see on lahendatav

integraal, ja kui sa ei saa lahendada seda mingil muul viisil, siis see on

tõenäoliselt ositi integreerimise ülesanne.

Aga lahendame nüüd mõned ülesanded.

Ütleme, et ma tahan võtta integraali x ruudus e astmes x dx.

Niisiis kui ma näen seda tüüpi integraali ja ma ei teadnud, et see

on ositi integreerimise esitluselt, siis ma mõtleks

esiteks-- see ei ole ilmselgelt polünoom, nii et ma ei saa kasutada

lihtsat polünoomi integreerimist.

Siis ma prooviksin näha, kas see on millegi tuletis,

ühe funktsiooni tuletis või mõne liitfunktsiooni tuletis,

nii et ma saaksin siin kasutada liitfunktsiooni reeglit.

x tuletis siin on 1, nii et ma ei saa siin midagi teha.

Nii et ma kasutan liitfunktsiooni reeglit.

Ja liitfunktsiooni reegliga on nii, et ma tahaksin

seda lihtsustada,

Nii et kui ma võtan selle osa siin, ma pean

võtma f kohal x.

Ma pean valima oma f kohal x tõenäoliselt nende kahe

funktsiooni hulgast, nii et f tuletis kohal x oleks lihtsam.

Ja ma pean valima oma g tuletis kohal x, ma arvan, et kas

x ruudus saab olema minu g tuletis kohal x, või siis on e astmes x

minu g prim kohal x, ja ma tahan valida selle nii, et

kui ma võtan sellest integraali, siis see

muutub lihtsamaks.

Või vähemalt mitte keerukamaks.

Ma tean, et kui ma võtan tuletise x ruudust,

siis see muutub lihtsamaks.

Ja ma tean samuti, et-- ja veel kord, see on üks minu,

minu jaoks vähemalt, väga rabav idee-- aga

integraal e astmes x on e astmes x.

Nii et see on tõenäoliselt hea mõte öelda, et f kohal x võrdub--

see on tõenäoliselt, las ma vahetan värve-- see on tõenäoliselt hea

mõte teha f kohal x võrdseks x ruuduga, sest hiljem ma

kavatsen võtta sellest tuletise, ja selle tuletis

lihtsustab seda, ja see on tõenäoliselt hea mõte võtta

g tuletis kohal x asemel e astmes x, sest hiljem ma kavatsen võtta

sellest integraali, ja integraal e astmes

x on e astmes x.

See ei muutu keerulisemaks.

Nii et kui me eeldame, et see, mida ma teen on õige, siis mida me ütlesimegi?

Hea küll, siin me korrutame kaks algset funktsiooni, õigus?

Nii et kui ma ütlen algsed funktsioonid, siis ma ei mõtle

nende kummagi tuletist.

Niisiis f kohal x, me ütleme, et f kohal x on x ruudus.

Las ma üritan värvidega kooskõlas püsida.

Ja me ütlesime, et g kohal x-- ma ei taha, et te nüüd segadusse satuksite-- me ütleme, et g

prim kohal x-- las ma kirjutan selle siia alumisse nurka-- me

ütleme, et g prim kohal x on võrdne e astmes x-ga.

Ja muidugi, kui g prim kohal x on võrdne e astmes x, siis g kohal x

on samuti võrdne e astmes x.

Nii et g kohal x-- ma ei taha, et te arvaksite, et ma kuidagimoodi

panen g tuletis kohal x siia.

Ma võtsin integraali, see lihtsalt juhtub sama

funktsioon olema.

Ja sellest, me lahutame integraali, me võtame

tuletise x ruudust, nii et sa saad 2x, ja siis korda

integraal g tuletis kohal x.

Hästi, g prim kohal x on e astmes x, sa võtad

integraali, see on ikkagi e astmes x.

Tegelikult ma peaksin vähemalt proovima hoida värvid

nii-öelda kooskõlas, nii et sa loodetavasti saaksid aru, mida ma teen.

Näide, mis sisaldab e astmes x võib olla veidi keerukas,

sest on raske aru saada, kas ma olen võtnud

tuletise või mitte.

Aga sa võid jälgida ülemist valemit

kui sa satud segadusse.

Niisiis näib, et ma olen seda veidi lihtsustanud.

See integraal näib olevat lihtsam lahendada, kui see integraal.

Aga veel kord, kui ma vaatan seda, siis ma mõtlen, hea küll,

kuidas ma selle lahendan?

Ma ei saa kasutada muutujavahetusega integreerimist, sest ei ole

sisemist funktsiooni ja siis mul on selle tuletis

kohe siin samas selle kõrval.

Võib-olla pean ma veelkord ositi integreerimist kasutama.

Teemegi seda.

Ütleme, et-- las ma teen seda eraldi-- eeldame, et-- ma

arvan, et sa hakkad sellest aru saama-- sama ideed

kasutades, see siin on f kohal x, et see siin on f kohal x, ja see

siin on g tuletis kohal x nüüd.

Me teeme nii-öelda ositi integreerimist teise ositi

integreerimise sees.

Nii et kui asi nii on, et see integraal hakkab

võrduma-- sest meil on miinus märk siin ees, see

miinus märk siin ees-- see integraal hakkab võrduma f

kohal x korda g kohal x, kus f kohal x on 2x.

Meie g kohal x, see on g tuletis kohal x praegu.

Mäletad, me lahendame nii-öelda uut ülesannet

algse ülesande sees.

Niisiis see on g prim kohal x, aga g kohal x on ikkagi lihtsalt e astmes x.

Ma võtsin sellest integraali.

Ja see on miinus integraal esimese

funktsiooni tuletisest.

See tuletis kohal x.

See on lihtsalt 2.

Ja siis integraal teisest funktsioonist.

Noh, see on lihtne.

Integraal e astmes x on lihtsalt e astmes x.

Huvitav.

Nüüd ma arvan, et te näete, kuhu me välja jõuame.

See on tegelikult-- las ma kirjutan terve selle asja välja.

Sest see on-- x ruudus, e astmes x.

Lihtsalt selleks, et me ei kaotaks oma algset ülesannet silmist.

Huvitav.

Nüüd ma arvan, et meil on integraal, mis on üsnagi

sirgjooneliselt lahendatav.

Ma ei taha unustada oma dx-i.

Mis on integraal-- me võiksime selle 2 siit välja võtta,

ja ma arvan, et see muutub üsnagi ilmseks-- mis on

e astmes x integraal?

See on maha tõmmatud, see siin on dx.

Just nii-- ja see on veidi segane.

Mulle ei meeldi see värv.

Punane.

Hea küll, e astmes x integraal, või siis tuletis e

astmes x on lihtsalt e astmes x, kas pole?

Niisiis kirjutame selle.

Ma kirjutan nüüd kõik, mida me seni teinud oleme.

Meil on x ruudus e astmes x miinus 2xe astmes x, ja siis

see miinus, sa võid selle lahti korrutada nii et sellest saab pluss, ja siis

on see pluss 2-- ma lihtsalt võtsin miinuse, ma korrutasin seda

selle miinusega, nii et ma sain pluss 2-- ja siis integraal

e astmes x on lihtsalt e astmes x.

Ja siis muidugi, me ei tohiks kunagi unustada pluss c.

Üsna lahe, kas pole?

Me oleme leidnud integraali, määramata

integraali x ruudus e astmes x on see suur ja lahe asi.

Ma vean kihla, et enne selle video vaatamist, sa ei oleks kunagi osanud

arvata, et sa võid lahendada seesugust integraali.

Sa võiksid tegelikult proovida x astmes n korda e astmes x.

Sa võid proovida x astmes kümme korda e astmes x.

Selgub, et sa tegelikult peaksid tegema seda sama mitu-mitu korda,

aga iga korraga, kui sa ositi integreerimist teed,

muutub x astendaja väiksemaks ja

väiksemaks ja väiksemaks, kuni sa saad midagi, mida on tõeliselt

linthe lahendada, ja siis sa võid selle lahendada ja sa saad sellise

väga pika avaldise.

See võib tunduda üksluine, see võib olla tüütu, kuid vähemalt on sul olemas

vahend-- sul on olemas tööriist,

millega sa saad lahendada selliseid integraale.

Ma teen tõenäoliselt veel ühe video ositi integreerimise kohta, lihtsalt

seetõttu, et ma arvan, et see on üks keerukamaid asju, millest

täielikult aru saada ja mugavalt kasutada, ma proovin siis

lahendada mitu ülesannet.

Võib-olla mitte lähiajal, kuid mõne järgmise nädala jooksul,

lihtsalt mitme integreerimise kohta.

Ja ma kavatsen selle teha mitmekesise, nii et loodetavasti sa saad

aru, kuidas ma üritan välja selgitada, millist integreerimise

tehnikat ma kasutan mingi ülesande lahendamiseks, kui

ma näen ülesannet.

Näeme järgmisel esitlusel.