< Return to Video

אינטגרציה בחלקים (חלק 6 של האינטגרל הלא מסוים)

  • 0:00 - 0:01
    שלום שוב
  • 0:01 - 0:02
    שלום שוב
  • 0:02 - 0:06
    עכשיו אני פשוט עומד לעשות הרבה תרגילים
  • 0:06 - 0:09
    באינטגרציה בחלקים, כמה שאצליח להספיק ב10 דקות
  • 0:09 - 0:10
    בלי לבלבל אתכם.
  • 0:10 - 0:11
    תנו לי רק לכתוב נוסחא לאינטגרציה בחלקים,
  • 0:11 - 0:14
    ואם אי פעם תשכחו אותה - אני מתכוון, זה לא כואב
  • 0:14 - 0:16
    לשנן אותה, אבל אם תשכחו אותה - אפשר פשוט
  • 0:16 - 0:18
    לגזור את זה מחוק המכפלה
  • 0:18 - 0:19
    של הנגזרת
  • 0:19 - 0:27
    אבל זה פשוט אומר שאם יש לנו אינטגרל של (f(x
  • 0:27 - 0:32
    כפול (g'(x - אם אתם רואים את זה בתוך אינטגרל
  • 0:32 - 0:35
    פונקציה ואז הנגזרת של פונקציה אחרת
  • 0:35 - 0:39
    ואני חושב שאחרי אימון, אינטגרציה בחלקים
  • 0:39 - 0:40
    היא סוג של אומנות.
  • 0:40 - 0:45
    זה לא שיטתי - זה (g'(x
  • 0:45 - 0:52
    זה שווה ל (f(x)*g(x - זה פשוט ההפך מחוק המכפלה -
  • 0:52 - 0:56
    פחות האינטגרל של הנגזרת של הפונקציה הראשונה
  • 0:56 - 1:02
    (f'(x, כפול הפונקציה השניה.
  • 1:02 - 1:04
    וקל לזכור את זה, כי יש סימטריות
  • 1:04 - 1:05
    בנוסחא הזו.
  • 1:05 - 1:08
    בנוסחא הזו.
  • 1:08 - 1:09
    אז בואו נראה אם אנחנו יכולים להשתמש בזה.
  • 1:09 - 1:12
    ובאמת, ברגע שאתם יודעים שאתם צריכים להשתמש
  • 1:12 - 1:15
    באינטגרציה בחלקים, אני חושב שתמצאו שזו לא שיטה קשה במיוחד.
  • 1:15 - 1:18
    החלק הקשה הוא לזהות שאתם צריכים להשתמש
  • 1:18 - 1:19
    באינטגרציה בחלקים.
  • 1:19 - 1:23
    מנקודת המבט שלי, זה המוצא האחרון.
  • 1:23 - 1:25
    ברגע שיהיה לכם מספיק אימון, אתם תזהו, ובכן,
  • 1:25 - 1:27
    אם יש e^x בפנים, או אם יש פונקציה טריגונומטרית,
  • 1:27 - 1:32
    ואני לא יכול להשתמש בכלל השרשרת ההפוך
  • 1:32 - 1:37
    או באינטגרציה של הפרש, אז אינטגרציה בחלקים זו כנראה
  • 1:37 - 1:40
    האופציה הכי טובה שלי, בהנחה שאני רואה את זה במבחן
  • 1:40 - 1:40
    ולא בחיים האמיתיים.
  • 1:40 - 1:42
    בחיים האמיתיים, זה עשוי להיות אינטגרל לא פתיר,
  • 1:42 - 1:45
    ותיאלצו להשתמש במחשב או בטכניקה אחרת.
  • 1:45 - 1:47
    אבל אם אתם רואים את זה במבחן, אתם יודעים שזה אינטגרל
  • 1:47 - 1:48
    פתיר, ואתם לא יכולים לפתור אותו בדרך אחרת,
  • 1:48 - 1:51
    זה כנראה באמת אינטגרציה בחלקים.
  • 1:51 - 1:53
    אבל בואו נפתור כמה בעיות.
  • 1:53 - 2:00
    נגיד שאני רוצה לקחת אינטגרל של
  • 2:00 - 2:04
    x^2*e^x dx
  • 2:04 - 2:06
    אז אם אני רואה את זה מופיע פתאום, ואני לא יודע
  • 2:06 - 2:09
    שזה הצגה של אינטגרציה בחלקים, אני...
  • 2:09 - 2:11
    קודם כל - ברור שזה לא פולינומיאלי, אז אני לא יכול
  • 2:11 - 2:14
    לעשות אינטגרציה פשוטה של פולינום.
  • 2:14 - 2:18
    ואז אני אנסה לראות, אם יש נגזרת
  • 2:18 - 2:23
    של משהו, של פונקציה אחת, איזושהי פונקציה מורכבת
  • 2:23 - 2:25
    כדי שאוכל להשתמש בכלל השרשרת ההפוך.
  • 2:25 - 2:28
    הנגזרת של x כאן היא 1, אז אין לי מה לעשות כאן.
  • 2:28 - 2:30
    אז אשתמש בכלל השרשרת.
  • 2:30 - 2:34
    ואיך שאני רואה את כלל השרשרת
  • 2:34 - 2:35
    זה שאני רוצה לפשט את זה.
  • 2:35 - 2:38
    אז כשאני נכנס לביטוי הזה כאן,
  • 2:38 - 2:40
    אני צריך לבחור את ה(f(x שלי.
  • 2:40 - 2:43
    אני צריך לבחור אותו כנראה כאחת מבין
  • 2:43 - 2:48
    שתי הפונקציות, כך ש(f'(x יהיה פשוט יותר.
  • 2:48 - 2:54
    ואני צריך לבחור את (g'(x, אז אנחש שזה או
  • 2:54 - 2:58
    x^2 שהולך להיות ה(g'(x, או ש e^x
  • 2:58 - 3:01
    יהיה ה(g'(x, ואני רוצה לבחור כך
  • 3:01 - 3:03
    שכשאקח את האינטגרל של הביטוי, הוא יהיה
  • 3:03 - 3:04
    פשוט יותר.
  • 3:04 - 3:06
    או לפחות, לא יותר מסובך.
  • 3:06 - 3:08
    אני יודע שאם אני לוקח את הנגזרת של x^2
  • 3:08 - 3:09
    זה מפשט את הביטוי.
  • 3:09 - 3:12
    ואני גם יודע ש... שוב, זה אחד מהרעיונות המדהימים ביותר,
  • 3:12 - 3:16
    (לדעתי) - העובדה שהאינטגרל של e^x
  • 3:16 - 3:19
    הוא פשוט e^x.
  • 3:19 - 3:24
    אז זה כנראה רעיון טוב לומר ש(f(x
  • 3:24 - 3:27
    זה כנראה... רק אחליף צבע... זה כנראה רעיון טוב
  • 3:27 - 3:31
    לבחור את (f(x כx^2, כי אחר כך אני
  • 3:31 - 3:32
    הולך לגזור את זה, והנגזרת של זה
  • 3:32 - 3:36
    מפשטת את הביטוי, וזה כנראה רעיון טוב לבחור את (g'(x
  • 3:36 - 3:40
    בתור e^x, כי אחר כל אני הולך לקחת את
  • 3:40 - 3:42
    האינטגרל של זה, והאינטגרל של e^x
  • 3:42 - 3:43
    הוא e^x.
  • 3:43 - 3:45
    זה לא הולך להפוך ליותר מסובך.
  • 3:45 - 3:52
    אז אם אנחנו מניחים שבחרתי נכון, מה אמרנו?
  • 3:52 - 3:57
    אז כאן אנחנו פשוט מכפילים את שתי הפונקציות האמיתיות, כן?
  • 3:57 - 4:00
    וכשאני אומר פונקציות אמיתיות, אני מתכוון
  • 4:00 - 4:01
    לא נגזרת של אף אחת מהן.
  • 4:01 - 4:04
    אז (f(x זה x^2/
  • 4:04 - 4:07
    אני אשתדל להיות קונסיסטנטי עם הצבעים.
  • 4:07 - 4:10
    אני אשתדל להיות קונסיסטנטי עם הצבעים.
  • 4:10 - 4:13
    אז אנחנו אומרים ש(g(x - ואל תתבלבלו - אנחנו אומרים
  • 4:13 - 4:17
    ש(g'(x - אכתוב את זה כאן בפינה - אנחנו אומרים
  • 4:17 - 4:22
    ש(g'(x שווה לe^x.
  • 4:22 - 4:26
    וכמובן שאם g'(x)=e^x אז (g(x
  • 4:26 - 4:31
    גם הוא שווה ל e^x.
  • 4:31 - 4:33
    אז (g(x - אני לא רוצה שתחשבו שאני איכשהו
  • 4:33 - 4:34
    שם כאן את (g'(x.
  • 4:34 - 4:37
    אני לקחתי את האינטגרל של זה,
  • 4:37 - 4:38
    שהוא במקרה בדיוק אותה פונקציה.
  • 4:38 - 4:42
    שהוא במקרה בדיוק אותה פונקציה.
  • 4:42 - 4:48
    ואז מכאן, אנחנו מפחיתים את האינטגרל, אנחנו לוקחים את
  • 4:48 - 4:57
    הנגזרת של x^2, מקבלים 2x, וזה כפול
  • 4:57 - 5:00
    האינטגרל של (g'(x.
  • 5:00 - 5:03
    ובכן, (g'(x זה e^x, אתם לוקחים
  • 5:03 - 5:06
    את האינטגרל של זה, וזה עדיין e^x.
  • 5:06 - 5:09
    למעשה אני כנראה צריך לפחות להשאיר את הצבעים
  • 5:09 - 5:12
    קצת מתאימים, כדי שתבינו מה אני עושה.
  • 5:12 - 5:15
    קצת מתאימים, כדי שתבינו מה אני עושה.
  • 5:15 - 5:17
    הדוגמא של שימוש בe^x עשויה להיות קצת מסובכת,
  • 5:17 - 5:18
    מכיוון שקשה לזהות מתי לקחתי את
  • 5:18 - 5:19
    הנגזרת ומתי לא.
  • 5:19 - 5:21
    ואתם יכולים לחזור לנוסחא המקורית
  • 5:21 - 5:22
    אם אתם מתבלבלים.
  • 5:22 - 5:29
    אם אתם מתבלבלים.
  • 5:29 - 5:32
    אז זה נראה כאילו קצת פישטתי את זה.
  • 5:32 - 5:37
    האינטגרל הזה נראה יותר קל לפתרון מהאינטגרל הקודם.
  • 5:37 - 5:40
    אבל שוב, כשאני רואה את זה, אני אומר לעצמי
  • 5:40 - 5:41
    "איך אני פותר את זה?"
  • 5:41 - 5:45
    אני לא יכול להשתמש באינטגרציה ע"י הפרש, כי אין
  • 5:45 - 5:48
    פונקציה ואת הנגזרת שלה
  • 5:48 - 5:50
    יושבות זה ליד זו,
  • 5:50 - 5:53
    אז אולי אני צריך להשתמש שוב באינטגרציה בחלקים.
  • 5:53 - 5:54
    אז בואו נעשה זאת.
Title:
אינטגרציה בחלקים (חלק 6 של האינטגרל הלא מסוים)
Description:

דוגמא לשימוש באינטגרציה בחלקים
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:33
amitgalor18 added a translation

Hebrew subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.