Całkowanie przez części (część 6 z tematu Całka nieoznaczona)

Przykład zastosowania całkowania przez części

Witam ponownie.

Witam ponownie.

Pokażę teraz kilka przykładów dotyczących całkowania przez części,

tak wiele jak tylko uda się zmieścić w ciągu 10 minut,

nie mieszając za bardzo.

Zapiszę wzór na całkowanie przez części,

a jeśli gdy kiedykolwiek go zapomnisz- nie chcę przez to powiedzieć,

że trudno go zapamiętać, ale jeśli go zapomnisz-- możesz wtedy po prostu

otrzymać go z reguły

różniczkowania iloczynu funkcji.

Całkowanie przez części dotyczy sytuacji, gdy mamy całkę z f od x

razy g prim od x-- a więc gdy widzimy pod znakiem całki

jedną funkcję oraz pochodną innej funkcji.

Myślę, że dostrzeganie takich sytuacji przyjdzie z praktyką-

całkowanie przez części to pewna sztuka.

To nie jest automatyczne.

Wówczas to jest równe f od x razy g od x, w ten właśnie sposób jest to odwrócenie reguły

różniczkowania iloczynu funkcji-- minus całka z pochodnej pierwszej funkcji,

f prim od x, razy druga funkcja, g od x.

I jest to dość łatwo zapamiętać ze względu na

symetrię w tym wzorze.

Spójrzmy więc, jak możemy to wykorzystać.

Spójrzmy więc, jak możemy to wykorzystać

Myślę, że gdy już będziesz wiedzieć, że należy zastosować całkowanie przez części,

okaże się, że nie jest to takie trudne.

Trudność tkwi w tym, aby rozpoznać, kiedy należy

zastosować całkowanie przez części.

Z mojego punktu widzenia, to ostatni środek po jaki sięgam

lub gdy masz już sporo praktyki, pewnie rozpoznasz, że np.

jeśli mamy pod całką e do x albo funkcję trygonometryczną

i nie jest to pochodna funkcji złożonej ani nie można zastosować podstawienia,

wówczas całkowanie przez części jest prawdopodobnie najlepszym wyjściem,

zakładając, że widzisz ten przykład na egzaminie,

a nie w prawdziwym życiu.

W prawdziwym życiu może to być całka, której nie wyznaczymy analitycznie

i trzeba byłoby użyć komputera albo jakiejś innej techniki.

Ale jeśli widzisz coś na egzaminie, wiesz na pewno, że da się to rozwiązać analitycznie,

a gdy nie udaje ci się tego rozwiązać innym sposobem,

chodzi prawdopodobnie o całkowanie przez części.

Ale zróbmy po prostu kilka przykładów.

Powiedzmy, że chcę wyznaczyć całkę z x do kwadratu e do x dx.

Powiedzmy, że chcę wyznaczyć całkę z x do kwadratu e do x dx.

Więc gdybym zobaczył gdzieś coś takiego,

gdybym nie wiedział, że to prezentacja o całkowaniu przez części, wówczas stwierdziłbym:

po pierwsze-- z pewnością nie jest to wielomian, więc nie

wyznaczę tej całki tak jak wyznacza się funkcję pierwotną wielomianu.

Następnie spróbowałbym zobaczyć, czy mam pod znakiem całki

pochodną czegoś, jednej funkcji, pewnej funkcji złożonej

tak aby zastosować odwróconą regułę różniczkowania złożenia funkcji.

Pochodna x to 1, więc nic tu nie zdziałam.

Zastosuję więc całkowanie przez części.

A myślę o tej metodzie w ten sposób, że

dążę do uproszczenia problemu.

Gdy przejdę do tego wyrażenia tutaj, będę musiał

wybrać moją funkcję f od x.

Muszę wybrać f od x prawdopodobnie spośród tych dwóch

funkcji, tak aby f prim od x było prostszym wyrażeniem.

I muszę wybrać g prim od x, będzie to

albo x do kwadratu, albo e do x.

Chcę dokonać takiego wyboru, aby

po wyznaczeniu funkcji pierwotnej

uzyskać coś prostszego.

Albo przynajmniej nie bardziej skomplikowanego.

Wiem, że różniczkując x do kwadratu,

otrzymam coś prostszego.

Wiem też, że-- raz jeszcze, to dla mnie coś wspaniałego--

funkcja pierwotna z e do x to e do x.

funkcja pierwotna z e do x to e do x.

Więc pewnie to dobry pomysł, aby przyjąć, że f od x to--

zmienię kolory-- to dobry pomysł, aby

za f od x przyjąć x do kwadratu, bo później

wyznaczymy pochodną tego wyrażenia, a różniczkując

uprościmy to, a także dobrym pomysłem jest, aby od x

za g prim od x przyjąć e do x, ponieważ całkując to

otrzymamy e do x.

otrzymamy e do x.

Nie będzie to więc coś bardziej skomplikowanego.

Więc co się tu dzieje?

Cóż, mamy tu iloczyn dwóch funkcji rzeczywistych, tak?

Mówiąc funkcje rzeczywiste mam na myśli to, że

nie są to pochodne.

Przyjmujemy, że f od x to x do kwadratu.

Postaram się być konsekwentny w kwestii kolorów.

Wówczas to jest równe f od x razy g od x,

Powiedzieliśmy, że g prim od x--

zapiszę to tu w rogu-- powiedzieliśmy, że

g prim od x równa się e do x.

Oczywiście jeśli g prim od x równa się e do x, to g od x także

jest równe e do x.

Więc mamy g od x-- nie myśl, że to g prim od x.

Więc mamy g od x-- nie myśl, że to g prim od x.

Wyznaczyłem funkcję pierwotną, akurat tak się złożyło,

że to to samo.

Następnie odejmujemy od tego całkę, bierzemy

Następnie odejmujemy od tego całkę, bierzemy

pochodną x do kwadratu, więc mamy 2x, a później mnożymy przez

całkę z g prim od x.

Cóż, g prim od x to e do x, stąd wyznaczając

funkcję pierwotną znów otrzymamy e do x.

Pewnie powinienem być bardziej konsekwentny w sprawie

kolorów, abyś widział, co robię.

Przykład z e do x jest może nieco skomplikowany,

Przykład z e do x jest może nieco skomplikowany,

bo trudno pokazać, czy wziąłem pochodną,

czy też nie.

Ale jeśli się pogubisz, możesz zawsze powrócić

do wzoru na górze.

Wygląda na to, że trochę uprościłem.

Wygląda na to, że trochę uprościłem.

Ta całka wygląda na łatwiejszą niż ta.

Ale raz jeszcze, gdy na to patrzę, myślę sobie,

jak ja mam to rozwiązać?

Nie mogę zastosować podstawienia, ponieważ

nie mamy pod znakiem całki pewnej funkcji

i pochodnej tej funkcji.

Może więc powinniśmy ponownie zastosować całkowanie przez części?

Zróbmy tak.

Rozważmy to zagadnienie oddzielnie--

myślę, że już łapiesz, o co w tym chodzi.

W podobny sposób, niech teraz to będzie f od x,

a to g prim od x.

Robimy teraz coś w rodzaju całkowania przez części

wewnątrz całkowania przez części.

Zachodzi więc następująca równość,

ponieważ mamy minus tu z przodu,

więc ta całka będzie równa f od x

razy g od x,

gdzie f od x to 2x.

Nasze g od x to teraz g prim od x.

Pamiętajmy, zajmujemy się teraz nowym zagadnieniem

w ramach wyjściowego problemu.

Więc to jest g prim od x, ale g od x to wciąż e do x.

Wyznaczyłem funkcję pierwotną.

A następnie minus całka z

pochodnej pierwszej funkcji,

f prim od x.

A więc jest to po prostu 2.

Następnie całka z drugiej funkcji.

Cóż, to jest proste.

Całka z e do x to po prostu e do x.

Całka z e do x to po prostu e do x.

Interesujące.

Myślę, że teraz już widzisz dokąd zmierzamy.

Zapiszę całość.

Całka z x do kwadratu razy e do x dx.

Tak abyśmy nie stracili z oczu naszego wyjściowego problemu.

Interesujące.

Teraz mamy już całkę, którą

można dość prosto wyznaczyć.

Nie chcę zapomnieć o dx.

Jaka jest całka z-- moglibyśmy wyciągnąć 2 przed całkę,

wówczas będzie to już dość oczywiste--

jaka jest całka z e do x?

To jest skreślenie, miało to być dx.

No cóż, mamy trochę bałaganu.

Nie lubię tego koloru.

Magenta.

No cóż, całka z e do x albo funkcja pierwotna e do x

to e do x, zgadza się?

Zapiszę to.

Przepiszę raz jeszcze wszystko, co do tej pory zrobiliśmy.

Mamy więc x do kwadratu e do x minus 2x e do x, a następnie

minus, w połączeniu z tym minusem daje plus, więc mamy

plus 2-- po prostu wziąłem ten minus i pomnożyłem go przez

przez ten minus, w efekcie dostałem plus 2-- a następnie

całka z e do x, czyli po prostu e do x.

Na końcu oczywiście nigdy nie zapominajmy dodać stałej c.

Całkiem fajne, prawda?

Znaleźliśmy funkcję pierwotną lub inaczej mówiąc

całkę nieoznaczoną z x do kwadratu e do x- to właśnie ta fajna rzecz.

Założę się, że przed wysłuchaniem tej prezentacji

nie wyobrażałeś sobie, że poradzisz sobie z taką całką.

Mógłbyś spróbować z x do n razy e do x.

Możesz spróbować z x do 10 razy e do x.

Okazuje się, że musiałbyś wykonać to wiele, wiele,

wiele, wiele razy, ale za każdym razem gdy stosujesz całkowanie przez części,

wykładnik przy x staje się mniejszy i mniejszy,

do momentu aż otrzymasz coś, co naprawdę

łatwo scałkować- wówczas wykonasz to całkowanie

i otrzymasz długie wyrażenie tego rodzaju.

To może być nużące, to może być mrożące krew w żyłach, ale przynajmniej

masz pewien zestaw narzędzi- w każdym razie pewne narzędzie,

które pozwoli ci stawić czoła problemom tego rodzaju.

Prawdopodobnie przygotuję jeszcze jeden film o całkowaniu przez części,

ponieważ sądzę, że to jedna z trudniejszych koncepcji

do zrozumienia i przyswojenia, a następnie spróbuję

zrobić kilka przykładów.

Być może nie natychmiast, ale w ciągu najbliższych kilku tygodni,

po prostu na temat całkowania.

I zamierzam trochę to pomieszać, tak abyś, mam nadzieję,

miał szansę zobaczyć, jak dochodzę do tego, którą z metod całkowania

powinienem wykorzystać do rozwiązania danego problemu,

gdy patrzę na dane zadanie.

Do zobaczenia w następnej prezentacji.

Do zobaczenia w następnej prezentacji.