2025 Calculating dot and cross products with unit vector notation

В прошлых сюжетах я говорил,

что скалярное или векторное произведение

равно произведению длин векторов

на косинус или синус угла между ними.

Но что, если векторы не изображены визуально?

Тогда угол между ними неизвестен.

Как в этом случае найти скалярное или векторное произведения?

Об этом я и расскажу в данном сюжете.

Сначала вернемся к известным определениям.

Скалярное произведение а на b равно

длина а на длину b на косинус угла между ними.

Это мы с вами уже уяснили.

Векторное произведение а на b равно

длина а на длину b на синус угла между ними

и на нормальный вектор, перпендикулярный им обоим.

Есть два единичных нормальных вектора,

выяснить, какой из них нам нужен

можно с помощью правила правой руки.

Но что, если у нас нет угла между векторами?

Векторы могут быть приведены в инженерной записи.

Сейчас я поясню, что же такое инженерная запись.

Это запись векторов через х, у и z компоненты.

Допустим, вектор а равен 5i…

i — это просто единичный вектор на оси х,

…минус 6j плюс 3k.

i, j и k — единичные векторы на осях х, у и z соответственно.

5 — количество векторов i на оси х,

−6 — количество векторов j на оси у,

а 3 — количество векторов k на оси z.

Можете попробовать нарисовать.

Можно нарисовать оба вектора

и найти скалярное или векторное произведение по рисунку.

Но мы не будем этого делать.

Допустим, b равно −2i + 7j + 4k.

Итак, мы работаем в трехмерном пространстве.

b равно −2i + 7j + 4k.

Инженерная запись хороша,

когда нам нужно смоделировать векторы на компьютере.

Для сложения векторов в такой записи

нужно просто сложить соответствующие части.

Но как в такой записи найти скалярное или векторное произведение?

Я не буду вдаваться в подробности, а просто покажу, как это сделать.

Скалярное произведение легко находить в такой записи.

Есть ещё один способ записать вектор — в скобках.

Получится 5, −6, 3 в скобках.

Это просто значения по осям х, у и z соответственно.

Нужно знать все способы записи векторов, чтобы не путаться в них.

b можно записать как −2, 7, 4, вектор от этого не изменится.

Не нужно пугаться, увидев непривычную запись.

Как же найти скалярное произведение а и b?

Сейчас узнаем. Это довольно-таки просто.

Нужно умножить части с i,

к ним прибавить произведение частей с j

и произведение частей с k.

Получится 5 на −2…

5 на −2 плюс −6 на 7…

−6 умножить на 7 плюс 3 умножить на 4.

Это равно… Чему это равно?

−10 − 42 + 12, то есть −52 + 12, получится −40.

Это и есть скалярное произведение.

Было бы интересно нарисовать векторы в трёхмерном пространстве,

чтобы выяснить, откуда взялся минус.

Их проекции направлены в противоположные стороны,

именно поэтому получилось отрицательное число.

Я не буду объяснять этот способ, тем более что он довольно простой.

Вы перемножаете х-компоненты,

к ним прибавляете произведение у-компонент

и произведение z-компонент.

Находить скалярное произведение

для векторов в инженерной записи легко,

и вероятность ошибки при этом достаточно мала.

Но, как вы сейчас увидите,

находить векторное произведение в такой записи не так-то легко.

Один из способов найти векторное произведение в инженерной записи —

это найти длину этих векторов,

вычислить угол между ними с помощью тригонометрии

и найти по определению. Но есть другой способ это сделать.

Он сложнее, чем для скалярного произведения,

и легче находить по определению.

Я не буду его объяснять, просто покажу.

В следующих видео я объясню эти способы,

если возникнет такая необходимость.

Векторное произведение достаточно сложно находить

для векторов в инженерной записи.

Векторное произведение а на b равняется…

Здесь используется матрица, поэтому нужно находить определитель.

Итак, проведу линию определителя.

Этот способ нахождения векторного произведения

легче просто запомнить.

Для стандартного определения объяснение такое:

мы выясняем, насколько векторы перпендикулярны друг другу,

умножаем эти величины и выясняем направление по правилу правой руки.

Для инженерной записи нужно в верхней строке матрицы записать i, j и k,

а в следующей строке — первый вектор, потому что важен порядок.

Это 5, −6, 3.

В третьей строке — второй вектор,

вектор b, то есть −2, 7, 4.

Теперь нужно найти определитель матрицы 3х3.

Как нам это сделать?

Нужно найти определитель для i,

чтобы это сделать нужно убрать этот столбец и эту строку,

найти определитель того, что осталось, это −6, 3, 7, 4, и умножить на i.

Посмотрите видео об определителе, если не помните, как его находить.

Освежите в памяти.

Нужно учесть знаки: плюс, минус, плюс,

поэтому минус определитель для j.

А чему он равен? Убираем этот столбец и эту строку.

Получаем 5, 3, −2, 4. Запишем тут.

Мы закрыли столбец и строку с j, а всё, что осталось —

это определитель для j.

Осталось прибавить определитель для k.

Хотел сделать это в одной строке, но места не хватает.

Убираем столбец и строку с k.

Осталось 5, −6, −2, 7 умножить на k. Ну а теперь вычислим.

Освобожу немного места, чтобы было, где подсчитывать, сотру это.

Будем вычислять вот здесь.

Определители матриц 2х2 вычислять просто.

Это −6 на 4 минус 7 на 3.

Но я часто делаю ошибки по невнимательности.

−24 − 21 умножить на i…

Итак, четырежды пять — это 20.

Минус 20 − (−6) умножить на j…

Так, перейду на следующую строку.

Плюс 35 − 12 умножить на k.

Это можно упростить, −24 − 21 равно −35 умножить на… На что? На i.

Чему равно 20 − (−6)? Это равно 20 + 6, то есть 26.

Но здесь есть минус, поэтому −26j.

35 − 12 равняется 23. Плюс 23k.

Это и есть векторное произведение,

нарисовав это в трёхмерном пространстве,

вы увидите, что этот вектор, −35i − 26j + 23k,

перпендикулярен двум другим.

Думаю, пора заканчивать, увидимся с вами в следующем сюжете.

Ну, надеюсь, я смогу разобраться с программой построения векторов,

будет интересно вычислять скалярное и векторное произведения

и строить векторы по результатам.

Это поможет понять смысл этих операций.

Сразу станет все яснее. Прояснится множество непонятных моментов.

Так что, до встречи в следующем видео.

Всем пока!