Teoria de grupos 101: Como tocar um Cubo de Rubick como se fosse um piano — Michael Staff

Vejam a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

A matemática explica o funcionamento do universo, desde a física de partículas à engenharia e à economia. A matemática até está estreitamente relacionada com a música e o seu terreno comum tem algo a ver com o Cubo de Rubik. Michael Staff explica como a teoria dos grupos nos pode ensinar a tocar um Cubo de Rubik como se fosse um piano.

Lição de Michael Staff, animação de Shixie.

Como podemos "tocar" um cubo Rubik?

Não digo brincar com ele,
mas sim tocá-lo como um piano?

Esta pergunta não faz
muito sentido de início

mas uma área da matemática abstrata,
a teoria dos grupos, tem a resposta,

se me acompanharem.

Em matemática, um grupo
é um conjunto particular de elementos.

Pode ser um conjunto de números inteiros,

a face de um cubo de Rubik,

ou outra coisa qualquer,

desde que se cumpram quatro
regras específicas, ou axiomas.

Axioma um:

Todas as operações do grupo devem ser
restringidas apenas aos elementos do grupo.

Então, no nosso quadrado,
qualquer operação realizada,

como rodá-lo para uma direção ou outra,

irá acabar num dos elementos do grupo.

Axioma dois:

Não importa onde colocamos os
parênteses, ao fazer uma operação de grupo,

nós teremos sempre o mesmo resultado.

Isto é, rodar o nosso cubo duas vezes
à direita, e mais uma vez para a direita

é o mesmo que rodá-lo uma vez,
e depois duas vezes,

ou com números, um mais dois
é igual a dois mais um.

Axioma três:

Para cada operação, existe um elemento
no grupo chamado "identidade".

Quando ele é aplicado
a qualquer outro elemento do grupo,

nós obteremos o segundo elemento.

Tanto a girar o cubo,
como a somar números inteiros,

a nossa identidade é o zero,

nada de muito interessante.

Axioma quatro:

Todos os elementos do grupo possuem
o seu inverso, também dentro do grupo.

Quando juntamos os dois,
usando a soma do grupo,

o resultado é a identidade, zero.

Por isso podemos pensar que
eles se anulam um ao outro.

Isto é tudo muito bonito,
mas qual o objetivo de tudo isto?

Bem, quando vamos para além
destas regras básicas,

aparecem algumas propriedades
interessantes.

Por exemplo, alarguemos o nosso
quadrado ao cubo de Rubik.

Este continua a ser um grupo
que satisfaz todos os nossos axiomas.

embora agora com consideravelmente
mais elementos

e mais operações.

Podemos girar cada linha
e coluna de cada face.

Cada posição é chamada "permutação".

Quantos mais elementos existirem no grupo,
mais possíveis permutações existem.

Um cubo de Rubik tem mais
de 43 triliões de permutações,

por isso tentar resolvê-lo aleatoriamente
não irá funcionar muito bem.

Contudo, usando a teoria dos grupos
podemos analisar o cubo

e determinar uma sequência de
permutações que resultarão na solução.

E, de facto, é exatamente o que a maioria
dos solucionadores fazem,

utilizando mesmo a notação da teoria
dos grupos para indicar rotações.

E não serve apenas para resolver puzzles.

A teoria de grupos também está
profundamente enraizada na música.

Uma forma de visualizar um acorde
é escrevendo as doze notas musicais

e desenhar um quadrado dentro delas.

Podemos começar em qualquer nota,
mas usaremos dó, uma vez que está em cima.

O acorde que resulta chama-se
um acorde de sétima diminuída.

Este acorde é um grupo em que
os seus elementos são estas quatro notas.

A operação que podemos fazer nele
é deslocar a nota de baixo para cima.

Em música, isto chama-se uma inversão,

e é equivalente à adição de há pouco.

Cada inversão muda o som do acorde,

mas ele nunca deixa de ser
um dó de sétima diminuída.

Por outras palavras, o primeiro axioma
está satisfeito.

Os compositores usam inversões para
manipular uma sequência de acordes

e evitar uma progressão
com um som estranho.

No mundo da música,
uma inversão parece-se com isto.

Mas também podemos sobrepô-la
no nosso quadrado e conseguir isto.

Se tivéssemos de cobrir um cubo
de Rubik com notas

de forma a que cada face do cubo
já resolvida fosse um acorde harmonioso,

podíamos representar a solução
como um acorde progressivo

que gradualmente se move
da dissonância até à harmonia

e tocar o cubo de Rubik,
se esse for o vosso tipo de coisa.