-
Wir haben ein Dreieck ABC.
-
Wir haben ein Dreieck ABC.
-
Das sieht etwa so aus.
-
Das sieht etwa so aus.
-
Was brauchen wir mindestens an Informationen,
-
welche Postulate können wir aufstellen,
-
um festzustelllen, ob ein anderes Dreieck ähnlich wie ABC ist.
-
um festzustelllen, ob ein anderes Dreieck ähnlich wie ABC ist.
-
Wir wissen bereits, dass, wenn alle drei entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) mit ABC sind
-
Wir wissen bereits, dass, wenn alle drei entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) mit ABC sind
-
Wir wissen bereits, dass, wenn alle drei entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) mit ABC sind,
-
dass wir dann ein kongruentes Dreieck haben.
-
Wenn das hier zum Beispiel 30 Grad sind,
-
und dies 90 Grad, und dieser Winkel hier 60 Grad,
-
und dies 90 Grad, und dieser Winkel hier 60 Grad,
-
und wir ein anderes Dreieck haben, das so ähnlich aussieht,
-
ist es ein kleineres Dreieck,
-
aber hat entsprechende (korrespondierende) Winkel.
-
Das hier ist 30 Grad, das 90 Grad und das 60 Grad.
-
Das hier ist 30 Grad, das 90 Grad und das 60 Grad.
-
Wir wissen, dass XYZ in diesem Fall ähnlich zu ABC ist.
-
Das wissen wir, weil die entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) sind.
-
Das wissen wir, weil die entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) sind.
-
Das wissen wir, weil die entsprechenden Winkel kongruent (übereinstimmend) sind.
-
Wir brauchen auch die richtige Reihenfolge, um sicherzustellen,
-
dass wir die richtigen korrespondierenden Winkel haben.
-
Y korrespondiert mit dem 90 Grad Winkel.
-
X korrespondiert mit dem 30 Grad Winkel.
-
A korrespondiert mit dem 30 Grad Winkel.
-
A und X sind die erstesn,
-
B und Y die zweiten,
-
Und C und Z die letzten.
-
Das wissen wir also, wenn wir 3 Winkel haben.
-
Aber brauchen wir 3 Winkel?
-
Wenn wir nur 2 Winkel hätten, wurde das nicht reichen?
-
Ja, denn wenn wir 2 Winkel eines Dreiecks kennen, kenn wir auch den 3. Winkel.
-
Ja, denn wenn wir 2 Winkel eines Dreiecks kennen, kenn wir auch den 3. Winkel.
-
Wenn ich also ein weiteres Dreieck habe, das so aussieht,
-
Wenn ich also ein weiteres Dreieck habe, das so aussieht,
-
und ich Dir sage, dass nur 2 der Winkel kongruent sind.
-
und ich Dir sage, dass nur 2 der Winkel kongruent sind.
-
Dieser Winkel hier sei kongruent zu diesem,
-
und dieser Winkel zu diesem.
-
Wäre das genug, um zu sagen, dass die Dreiecke ähnlich sind?
-
Ja, sicher.
-
Weil es ein Dreieck ist, kennst Du den dritten Winkel, wenn Du 2 Winkel kennst.
-
Weil es ein Dreieck ist, kennst Du den dritten Winkel, wenn Du 2 Winkel kennst.
-
Wenn dieser Winkel 30 Grad hat und dieser 90 Grad, dann weißt Du, dass dieser 60 Grad haben muss.
-
Wenn dieser Winkel 30 Grad hat und dieser 90 Grad, dann weißt Du, dass dieser 60 Grad haben muss.
-
Was auch immer die beiden Winkel sind, Du musst sie von 180 Grad abziehen, und Du erhältst den dritten Winkel.
-
Was auch immer die beiden Winkel sind, Du musst sie von 180 Grad abziehen, und Du erhältst den dritten Winkel.
-
Um also Ähnlichkeit zu zeigen, brauchst Du nicht 3 korrespondierende Winkel zu zeigen
-
Um also Ähnlichkeit zu zeigen, brauchst Du nicht 3 korrespondierende Winkel zu zeigen,
-
Du brauchst lediglich 2.
-
Das ist unser 1. Postulat für die Ähnlichkeit.
-
Wir nennen es "Winkel-Winkel".
-
Wenn Du zeigen kannst, dass zwei korrespondierende Winkel kongruent sind,
-
dann haben wir ähnliche Dreiecke.
-
Lass uns das mit Zahlen probieren.
-
Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind
-
Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind
-
Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind
-
Wenn das 30 Grad sind, und das 90 Grad, und beide Dreiecke ähnlich sind
-
dann kannst Du leicht den 3. Winkel berechnen: 60 Grad!
-
Dann kannst Du leicht den 3. Winkel berechnen: 60 Grad!
-
Dann kannst Du leicht den 3. Winkel berechnen: 60 Grad!
-
Alle drei Winkel sind sind gleich.
-
Das ist eine der Bedingungen für Gleichheit.
-
Wir wissen noch etwas über Ähnlichkeit: das Verhältnis aller Seiten ist dasselbe.
-
Wir wissen noch etwas über Ähnlichkeit: das Verhältnis aller Seiten ist dasselbe.
-
Wir wissen noch etwas über Ähnlichkeit: das Verhältnis aller Seiten ist dasselbe.
-
Beispiel: Wir haben ein weiteres Dreieck hier.
-
Beispiel: Wir haben ein weiteres Dreieck hier.
-
Ich nenne es X,Y,Z
-
Wir haben hier das Verhältnis zwischen AB und XY
-
also AB geteilt durch XY
-
also diese Seite zu dieser Seite.
-
Wir sagen nciht, dass sie kongruent sind. Wir schauen uns nur ihr Verhältnis an.
-
Wir sagen nciht, dass sie kongruent sind. Wir schauen uns nur ihr Verhältnis an.
-
AB zu XY ist gleich BC zu YZ.
-
Das ist gleich BC zu YZ.
-
Und das ist gleich AC zu XZ.
-
Das ist also ein Weg, dass wir sagen können:
-
"Hey, das ist Ähnlichkeit"
-
Wenn also bei allen 3 korrespondierenden Seiten
-
das Verhältnis der jeweiligen Seiten dasselbe ist, dann haben wir ähnliche Dreiecke.
-
das Verhältnis der jeweiligen Seiten dasselbe ist, dann haben wir ähnliche Dreiecke.
-
das Verhältnis der jeweiligen Seiten dasselbe ist, dann haben wir ähnliche Dreiecke.
-
Das nennen wir Seite-Seite-Seite-Ähnlichkeit.
-
Und verwechsle das bitte nicht mit Seite-Seite-Seite Kongruenz.
-
Und verwechsle das bitte nicht mit Seite-Seite-Seite Kongruenz.
-
Das also sind unsere gesamen Postulate, oder Axiome, die wir annehmen,
-
Das also sind unsere gesamen Postulate, oder Axiome, die wir annehmen,
-
und damit können wir andere Probleme lösen oder Dinge beweisen.
-
und damit können wir andere Probleme lösen oder Dinge beweisen
-
Bei Seite-Seite-Seite Kongruenz sind alle korrespondierenden Seiten kongruent.
-
Bei Seite-Seite-Seite Kongruenz sind alle korrespondierenden Seiten kongruent.
-
Bei Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist das Verhältnis der korrespondierenden Seiten gleich.
-
Bei Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist das Verhältnis der korrespondierenden Seiten gleich.
-
Bei Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist das Verhältnis der korrespondierenden Seiten gleich.
-
Beispiel: Dies hier sei 10,
-
nein, lieber eine höhere Zahl
-
nein, lieber eine höhere Zahl
-
Dies hier sei 60 und dies 30.
-
und das hier sei 30 mal die Quadratwurzel aus 3.
-
Ich habe mir das ausgedacht, weil wir gleich lernen werden,
-
dass typische Verhältnisse bei Dreiecken 30-60-90 sind.
-
dass typische Verhältnisse bei Dreiecken 30-60-90 sind.
-
Dies hier sei 6,3 und 3 mal die Quadratwurzel aus 3.
-
Dies hier sei 6,3 und 3 mal die Quadratwurzel aus 3.
-
AB geteilt durch XY: 30 mal die Quadratwurzel von 3 geteilt durch 3 mal die Quadratwurzel von 3. Das ist 10.
-
AB geteilt durch XY: 30 mal die Quadratwurzel von 3 geteilt durch 3 mal die Quadratwurzel von 3. Das ist 10.
-
Was ist BC geteilt durch XY?
-
30 geteilt durch 3 ist 10.
-
Und was ist 60 geteilt durch 6 oder AC durch XZ?
-
Nun, das ist 10.
-
Generell also: um von einer Seite zur korrespondierenden Seite zu kommen, multiplizieren wir immer mit 10.
-
Generell also: um von einer Seite zur korrespondierenden Seite zu kommen, multiplizieren wir immer mit 10.
-
Generell also: um von einer Seite zur korrespondierenden Seite zu kommen, multiplizieren wir immer mit 10.
-
Sie sind nicht kongruent. Die Seiten sind bezüglich der Ähnlichkeit gleich.
-
Sie sind nicht kongruent. Die Seiten sind bezüglich der Ähnlichkeit gleich.
-
Sie sind nicht kongruent. Die Seiten sind bezüglich der Ähnlichkeit gleich.
-
Wir skalieren sie hoch mit der gleichen Menge.
-
Wir skalieren sie hoch mit der gleichen Menge.
-
Das Verhältnis zwischen den korrespondierenden Seiten ist gleich.
-
Das Verhältnis zwischen den korrespondierenden Seiten ist gleich.
-
Nächstes Beispiel.
-
Ich zeichene ein weiteres Dreieck.
-
Ich zeichene ein weiteres Dreieck.
-
Lasst uns die Liste hier behalten
-
Lasst uns ein weiteres Dreieck ABC zeichen.
-
Lasst uns ein weiteres Dreieck ABC zeichen.
-
Lasst uns ein weiteres Dreieck ABC zeichen.
-
XY ist AB multipliziert mit einer Konstanten.
-
XY ist AB multipliziert mit einer Konstanten.
-
XY ist AB multipliziert mit einer Konstanten.
-
Lass mich XY etwas größer zeichnen.
-
Lass mich XY etwas größer zeichnen.
-
Die Konstante könnte auch kleiner als 1 sein.
-
Dann wäre das ein kleinerer Wert.
-
Lass mich das mal machen.
-
Ich mache XY etwas größer.
-
Das hier sei X und das Y.
-
XY geteilt durch AB ist also eine Konstante.
-
XY geteilt durch AB ist also eine Konstante.
-
Wenn Du beide Seiten mit AB multiplizierst
-
erhältst Du XY in einer hochskalierten Version von AB.
-
Falls AB 5 ist und XY ist 10, dann wäre unsere Konstante 2.
-
Du hast es mit dem Faktor 2 hochskaliert.
-
Angenommen, wir wissen auch, dass die Winkel ABC kongruent zu den Winkeln XYZ sind.
-
Angenommen, wir wissen auch, dass die Winkel ABC kongruent zu den Winkeln XYZ sind.
-
Ich füge hier einen weiteren Punkt zu.
-
Lass mich eine weitere Seite hier zeichen.
-
Das ist Z.
-
Die Winkel ABC sind kongruent zu XYZ,
-
das Verhältnis zwischen BC und YZ ist konstant.
-
das Verhältnis zwischen BC und YZ ist konstant.
-
Das Verhältnis zwischen BC und YZ ist gleich der derselben Konstante.
-
Das Verhältnis zwischen BC und YZ ist gleich der derselben Konstante.
-
Im Beispiel, wo das 5 und 10, ist das vielleicht 3 und 6.
-
Mit der Konstanten verdoppeln wir die Länge der Seite.
-
Mit der Konstanten verdoppeln wir die Länge der Seite.
-
Ist das Dreick XYZ also ähnlich?
-
XY ist das gleiche Vielfache von AB wie YZ ein Vielfaches von BC ist.
-
XY ist das gleiche Vielfache von AB wie YZ ein Vielfaches von BC ist.
-
Die Winkel sind gleich. Also gibt es nur ein Dreieck, das wir hier zeichnen können.
-
Die Winkel sind gleich. Also gibt es nur ein Dreieck, das wir hier zeichnen können.
-
Wir sind begrenzt auf das eine Dreieck hier,
-
mit der Länge dieser Seite
-
und der Länge dieser Seite.
-
Wir brauchen das gleiche Verhältnis wie dort.
-
Wir können dies also Seite-Winkel-Seite Ähnlichkeit nennen.
-
Wir können dies also Seite-Winkel-Seite Ähnlichkeit nennen.
-
Wir sahen SSS SWS auch in unseren Kongruenz-Postulaten
-
aber wir sagen hier etwas anderes.
-
aber wir sagen hier etwas anderes.
-
SWS: Wenn das Verhältnis der korrespondierenden Seiten des wahren Dreiecks gleich sind
-
SWS: Wenn das Verhältnis der korrespondierenden Seiten des wahren Dreiecks gleich sind,
-
also AB und XY auf einer korrespondierenden Seite
-
und eine andere zweite korrespondierende Seite
-
also zwischen BC und YZ gleich ist
-
und der Winkel kongruent ist, dann nennen wir das ähnlich.
-
Bei SWS Kongruenz müssen die Seiten kongruent sein.
-
Bei SWS Kongruenz müssen die Seiten kongruent sein.
-
Hier sagen wir lediglich, dass das Verhältnis der korrespondierenden Seiten dasselbe ist.
-
Hier sagen wir lediglich, dass das Verhältnis der korrespondierenden Seiten dasselbe ist.
-
Lass mich noch ein paar Beispiele zeigen.
-
Lass mich noch ein paar Beispiele zeigen.
-
Das Dreieck hier hat die Längen 3,2,4.
-
Wir haben ein weiteres Dreieck mit den Längen 9 und 6,
-
Wir haben ein weiteres Dreieck mit den Längen 9 und 6,
-
und die Winkel sind kongruent.
-
Damit sind diese Winkel gleich.
-
SWS in der Ähnlichkeitswelt sagt uns,
-
dass diese Dreiecke definitv ähnlich Dreiecke sind.
-
dass diese Dreiecke definitv ähnlich Dreiecke sind.
-
Unter diesen Bedingungen können wir nur ein einziges Dreieck zeichnen.
-
Unter diesen Bedingungen können wir nur ein einziges Dreieck zeichnen.
-
Es ist das Dreieck, bei dem alle Seiten mit dem gleichen Betrag hochskaliert werden.
-
Es ist das Dreieck, bei dem alle Seiten mit dem gleichen Betrag hochskaliert werden.
-
Es gibt nur eine lange Seite, die wir noch zeichen können.
-
Es gibt nur eine lange Seite, die wir noch zeichen können.
-
Diese muss mit drei skaliert werden.
-
Das ist das einzig mögliche Dreieck.
-
Wenn Du diese Seite nimmst, sagst Du:
-
"Das ist 3 mal diese Seite, das ist 3 mal diese Seite, und der Winkel ist kongruent
-
"Das ist 3 mal diese Seite, das ist 3 mal diese Seite, und der Winkel ist kongruent
-
dann gibt es nur ein Dreieck, das wir zeichnen können.
-
Wir wissen auch, dass wir ein ähnliches Dreieck haben, wenn alles mit dem Faktor 3 skaliert wird.
-
Wir wissen auch, dass wir ein ähnliches Dreieck haben, wenn alles mit dem Faktor 3 skaliert wird.
-
Das eine Dreieck, das wir zeichnen können
-
muss also das eine ähnliche Dreieck sein.
-
Darum geht es, wenn wir über SWS reden.
-
Wir sagen nicht, dass diese Seite kongruent mit der anderen Seite ist
-
oder diese Seite mit dieser kongruent ist.
-
Wir sagen, dass sie mit dem gleichen Faktor skaliert sind.
-
Wir sagen, dass sie mit dem gleichen Faktor skaliert sind.
-
Wenn wir ein anderes Dreieck hätten, das wie dieses ausschaut.
-
Vielleicht ist das 9, das 4 und die Winkel sind kongruent
-
Vielleicht ist das 9, das 4 und die Winkel sind kongruent,
-
dann kannst Du NICHT sagen, daß diese ähnlich sind, wenn diese Seite ist mit 3 skaliert, diese aber mit dem Faktor 2.
-
dann kannst Du NICHT sagen, daß diese ähnlich sind, wenn diese Seite ist mit 3 skaliert, diese aber mit dem Faktor 2.
-
Hier kannst Du also nicht sagen, dass sie zwingend ähnlich sind.
-
Hier kannst Du also nicht sagen, dass sie zwingend ähnlich sind.
-
Wenn Du ein Dreieck hast mit der Länge 9 und 6
-
aber Du weißt nicht, ob die Winkel gleich sind
-
aber Du weißt nicht, ob die Winkel gleich sind,
-
dann hast Du nicht genügend Bedingungen.
-
Du weisst nicht, ob diese zwei Dreiecke notwendig ähnlich sind,
-
denn Du weisst nicht, ob der mittlere Winkel der gleiche ist.
-
denn Du weisst nicht, ob der mittlere Winkel der gleiche ist.
-
Du könntest jetzt sagen, dass wir doch noch ein paar andere Postulate hatten.
-
Du könntest jetzt sagen, dass wir doch noch ein paar andere Postulate hatten.
-
Es gab noch WWS, als wir über Kongruenz sprachen.
-
Wir haben schon gezeigt dass zwei gleiche Winkel ausreichen, um Ähnlichkeit zu zeigen.
-
Wir haben schon gezeigt dass zwei gleiche Winkel ausreichen, um Ähnlichkeit zu zeigen.
-
Wir haben schon gezeigt dass zwei gleiche Winkel ausreichen, um Ähnlichkeit zu zeigen.
-
Warum kümmern wir uns dann noch um Winkel, Winkel und eine Seite bzw. das Verhältnis zwischen Seiten?
-
Warum kümmern wir uns dann noch um Winkel, Winkel und eine Seite bzw. das Verhältnis zwischen Seiten?
-
Warum kümmern wir uns dann noch um Winkel, Winkel und eine Seite bzw. das Verhältnis zwischen Seiten?
-
Wir hatten auch Winkel-Seite-Winkel bei der Kongruenz.
-
Auch hier wissen wir, dass zwei Winkel genug sind.
-
Wir brauchen also nicht noch die Seite dazuzunehmen.
-
Wir brauchen das hier nicht.
-
Das also sind unsere Ähnlichkeits-Postulate.
-
Bitte erinnere Dich: Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist etwas anderes als Seite-Seite-Seite Kongruenz.
-
Bitte erinnere Dich: Seite-Seite-Seite Ähnlichkeit ist etwas anderes als Seite-Seite-Seite Kongruenz.
-
Wir sprechen über das Verhältnis zwischen korrespondierenden Seiten.
-
Wir sagen nicht, dass sie tatsächlich kongruent sind.
-
Und hier: Seite-Winkel-Seite: Das ist etwas anderes als Seite-Winkel-Seite bei Kongruenz.
-
Und hier: Seite-Winkel-Seite: Das ist etwas anderes als Seite-Winkel-Seite bei Kongruenz.
-
Es hängt irgendwie zusammen. Aber hier sprechen wir über das Verhältnis der Seiten,
-
Es hängt irgendwie zusammen. Aber hier sprechen wir über das Verhältnis der Seiten,
-
nicht über ihre tatsächlichen Maße.
-
nicht über ihre tatsächlichen Maße.
Khan Academy
