Similarity Postulates

สมมุติว่าผมมีสามเหลี่ยม A, B, C, สมมุติว่ามันเป็นแบบนี้

ผมอยากคิดถึงข้อมูลที่น้อยที่สุด

ที่ผมต้องมี กับสมมติฐานสองสามข้อ

ที่เราใช้ระบุได้ว่าสามเหลี่ยมอื่นๆ

คล้ายกับสามเหลี่ยม A-B-C หรือไม่

เรารู้อยู่แล้วว่า, ถ้า, ถ้ามุมสามมุม,

มุมสามมุมที่ตรงกันเท่ากันทุกประการ

กับมุมสามมุมของ ABC, เราก็รู้

ว่าเรากำลังยุ่งกับสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่างเช่น, ถ้านี่คือ 30 องศา, มุมนี้คือ 90 องศา

และมุมนี่ตรงนี้คือ 60 องศา

และเรามีสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่งเป็นแบบนี้,

มันดูเป็นแบบนี้, มันเป็นสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าอย่างชัดเจน,

แต่มันมีมุมที่ตรงกัน, นี่ก็คือ 30 องศา,

นี่คือ 90 องศา และนี่คือ 60 องศา

เรารู้ว่า X-Y-Z นี่กรณีนี้จะคล้ายกัน

กับ A-B-C

เราจึงรู้ได้, เรารู้จาก

อันนี้เพราะมุมที่ตรงกันนั้น เท่ากันทุกประการ

เราก็รู้ว่าสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับสามเหลี่ยม XYZ

และคุณต้องใส่ลำดับให้ถูกต้อง เพื่อให้แน่ใจ

ว่าคุณมีมุมที่ตรงกันจริงๆ

Y ตรงกับมุม 90 องศา, X ตรงกับ

มุม 30 องศา, A ตรงกับมุม 30 องศา

แล้ว A กับ X คือสองตัวแรก

B กับ Y, ซึ่งเท่ากับ 90 องศา, เป็นมุมคู่ที่สอง

แล้ว Z คือตัวสุดท้าย

นั่นคือสิ่งที่เรารู้อยู่แล้ว, ถ้าคุณมีมุมสามมุม

แต่คุณต้องใช้มุมสามมุมหรือเปล่า?

ถ้าเรารู้แค่มุมสองมุม,

มันจะพอไหม?

ใช่, แน่นอน

เพราะถ้าคุณรู้มุมสองมุมสำหรับสามเหลี่ยม, คุณจะรู้มุมที่สาม

ตัวอย่างเช่น, ถ้าผมมีสามเหลี่ยมอีกอัน, ถ้าผมมีสามเหลี่ยม

ที่เป็นแบบนี้, ผมหมายถึงว่า เป็นหรือวาดได้แบบนี้

และถ้าผมบอกคุณว่า มีมุมตรงกันสองมุมเท่านั้น

ที่เท่ากันทุกประการ

บางที, บางทีมุมนี่ตรงนี้ เท่ากันทุกประการ

กับมุมนี้ และมุมนั่นตรงนั้น เท่ากันทุกประการ

กับมุมนั้น

มันพอไหมที่จะบอกว่าสามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกัน?

ใช่, แน่นอน เพราะในสามเหลี่ยม, ถ้าคุณรู้มุมสองมุม

แล้วคุณจะรู้ว่ามุมสุดท้ายต้องเป็นเท่าใด

คุณรู้ว่านี่คือ 30 และคุณรู้ว่านั่นคือ 90

แล้วคุณจะรู้ว่ามุมนี้ต้องเท่ากับ 60 องศา

ไม่ว่าคุณ, ไม่ว่าสองมุมนั้นคืออะไร, หักพวกมัน

ออกจาก 180 แล้ว นั่นจะเท่ากับมุมนี้

ดังนั้น, โดยทั่วไปแล้ว, เวลาแสดงความคล้าย, คุณไม่ต้อง

แสดงมุมทั้งสามมุม, มุมที่ตรงกันสามมุม

ว่าเท่ากันทุกประการ

คุณแค่ต้องใช้สอง, แสดงแค่สอง

นี่จะเป็น, สมมติฐานเรื่องความคล้าย,
ความคล้ายอันแรกของเรา

เราจะเรียกมันว่า มุม-มุม

ถ้าคุณแสดงสำหรับสองมุม ได้ว่า มุมที่ตรงกันเท่ากันทุกประการ

แล้วเราจะได้สามเหลี่ยมคล้าย

ตัวอย่างเช่น, แค่ใส่ตัวเลขตรงนี้, ถ้าคุณแสดง,

ถ้านี่คือ 30 องศา และเรารู้ว่าบนสามเหลี่ยมนี้

นี่คือ 90 องศาตรงนี้

เรารู้ว่าสามเหลี่ยมนี่ตรงนี้ คล้ายกับ

อันนั่นตรงนั้น

แล้วคุณก็ไปยังมุมที่สามได้โดยตรง,

ด้วยวิธีที่ตรงไปตรงมา

คุณบอกว่ามุมที่สาม คือ 60 องศา ดังนั้นมุมสามมุม

เท่ากันหมด

นั่นคือเงื่อนไขอย่างหนึ่งของความคล้าย

ทีนี้อีกอย่างหนึ่งที่เรา, เรารู้เกี่ยวกับความคล้าย

คือว่าอัตราส่วนระหว่างด้านทั้งหมดต้องเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น, ถ้าเรามีสามเหลี่ยมอีกอันตรงนี้

ขอผมวาดสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง

ผมจะเรียกสามเหลี่ยมนี้ว่า, ผมจะเรียกสามเหลี่ยมนี้ว่า X, Y และ Z

และสมมุติว่า เรารู้ว่าอัตราส่วนระหว่าง A B

กับ X Y, เรารู้ว่า AB ส่วน XY,

อัตราส่วนระหว่างด้านนี้กับด้านนี้

สังเกตดู, เราไม่ได้บอกว่าพวกมัน
เท่ากันทุกประการ, เราแค่บอกว่า

พวกมันมีอัตราส่วน, เรากำลังดูอัตราส่วนอยู่

เรากำลังบอกว่า AB ส่วน XY, สมมุติว่า

มันเท่ากับ BC, BC ส่วน YZ

นั่นจะเท่ากับ BC ส่วน YZ และนั่นเท่ากับ AC,

นั่นเท่ากับ AC ส่วน XZ

ดังนั้นเหมือนเดิม, นี่ก็คือ, นี่คือหนึ่งในวิธีที่เราบอกว่า

เฮ้! นี่คือความคล้าย

ดังนั้นถ้าคุณมีด้านที่ตรงข้ามสามคู่,

อัตราส่วนระหว่างด้านที่ตรงกันสามคู่ จะเท่ากัน

แล้วเราก็จะรู้ว่า เรากำลังพูดถึงสามเหลี่ยมคล้าย

นี่ก็คือสิ่งที่เราเรียกว่าความคล้าย แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน

และคุณต้องไม่สับสนกับ

ความเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน

นี่ก็คือสมมติฐานของความคล้ายทั้งหมด

สมมติฐานหรือสัจพจน์ของความคล้าย

หรือสิ่งที่เราจะตั้งไว้

แล้วเราจะใช้มันแก้ปัญหา

และพิสูจน์สิ่งต่างๆ ต่อไป

ด้าน-ด้าน-ด้าน, เวลาเราพูดถึง
ความเท่ากันทุกประการ, มันหมายถึง

ว่าด้านที่ตรงกันยาวเท่ากันทุกประการ

ด้าน-ด้าน-ด้าน สำหรับความคล้ายนั้น, เรากำลังบอก

ว่าอัตราส่วนระหว่างด้านที่ตรงกันข้าม จะเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น, ถ้านี่ตรงนี้, ถ้านี่ตรงนี้,

สมมุติว่าเจ้านี่ตรงนี้คือ 10 -- ขอผม, ไม่สิ,

คิดเลขมากๆ หน่อย -- สมมุติว่านี่คือ 60, เจ้านี่ตรงนี้คือ 30

แล้วนี่ตรงนี้คือ 30 สแควร์รูทของ 3

ผมตั้งเลขพวกนี้ขึ้นมาเพราะมีสาเหตุ, คุณ, คุณ,

สิ่งที่เราจะเรียนต่อไป ว่าอัตราส่วนทั่วไปสำหรับ

ด้านของสามเหลี่ยมมุม 30, 60, 90 คืออะไร

แล้วสมมุติว่า, อันนี่ตรงนี้คือ 6, 3 และ 3 สแควร์รูทของ 3

สังเกตดู, AB ส่วน XY, AB ส่วน XY, 30 สแควร์รูทของ 3

ส่วน 3 สแควร์รูทของ 3 นี้ จะเท่ากับ 10, นี่จะเท่ากับ 10

แล้ว BC ส่วน XY คืออะไร?

30 หารด้วย 3 เป็น 10

แล้ว 60 หารด้วย 6 เป็นเท่าใด?

หรือ, AC ส่วน XZ, AC ส่วน XZ,

ทีนี้ นั่นจะเป็น 10

ดังนั้นกล่าวโดยทั่วไป จากด้านที่คู่กันตรงนี้

ไปยังด้านที่ตรงกันตรงนั้น, เราคูณ

ด้วย 10 ทุกด้านเสมอ

ตรงนี้, เราไม่ได้บอกว่าพวกมันเท่ากันทุกประการ หรือ,

เราไม่ได้บอกว่าด้าน

สำหรับด้าน-ด้าน-ด้าน ของความคล้าย

เราบอกว่า เราแค่ขยายพวกมันขึ้น

ด้วยปริมาณเท่าๆ กัน

หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า,

อัตราส่วนระหว่างด้านที่ตรงกัน นั้นเท่ากัน

ทีนี้, เกิดอะไรขึ้น, ถ้าเกิดเรามี,

ถ้าเรามี, ลองเริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมอีกอันตรงนี้

ขอผมวาดมันแบบนี้นะ

ผมจะไม่ทิ้งมันไว้ตรงนี้ เราจะได้มีรายการไว้

ขอผมวาดสามเหลี่ยม ABC อีกอันหนึ่ง

ลองวาดสามเหลี่ยม ABC อีกอันหนึ่ง, นั่นก็คือ A, B และ C

และสมมุติว่าเรารู้, สมมุติว่าเรารู้

ว่าด้านนี้ไปยัง, เวลาเราไปยังสามเหลี่ยมอีกด้านหนึ่ง,

เวลาเราไปยังสามเหลี่ยมอีกรูปนั้น,

เรารู้ว่า XY, เรารู้

ว่า XY คือ AB คูณด้วยค่าคงที่ค่าหนึ่ง

ดังนั้น, A, ผมก็เขียนมันตรงนี้ได้, XY เท่ากับ

ค่าคงที่ค่าหนึ่งคูณ AB

ที่จริงขอผมเขียน XY ใหญ่หน่อย มันจะได้
ที่จริง, มันไม่จำเป็นต้องใหญ่กว่า,

ค่าคงที่น้อยกว่า 1 ได้, โดย

มันจะมีค่าเล็กกว่า, แต่ขอผมทำแบบนั้นแล้วกัน

ขอผมวาด XY ให้ดูใหญ่กว่าหน่อย

สมมุติว่านี่คือ X และนั่นคือ Y

แล้วสมมุติว่าเรารู้, ว่า XY, XY ส่วน AB, ส่วน AB เท่ากับ

ค่าคงที่

หรือถ้าคุณคูณทั้งสองข้างด้วย AB,

คุณจะได้ XY เป็นเส้นขยายของ AB

แล้ว, คุณก็รู้, บางทีนี่คือ, บางคือ AB ยาว 5, XY ยาว 10

แล้วค่าคงที่ของเราจะเป็น 2

เราขยายมันด้วยอัตราเป็น 2

และสมมุติว่า เรายังรู้ว่า, เรายังรู้

ว่ามุม ABC เท่ากันทุกประการกับมุม XYZ

และผมยังมีอีกจุดหนึ่งตรงนี้

ขอผมวาดอีกด้านนะ, ตรงนี้, นี่ก็คือ Z

สมมุติว่า เรายังรู้ว่ามุม ABC เท่ากันทุกประการกับมุม XYZ

ทีนี้ สมมุติเรารู้ว่า อัตราส่วน

ระหว่าง BC กับ YZ เท่ากับค่าคงที่นี้ด้วย

อัตราส่วนระหว่าง BC กับ YZ ยังเท่ากับค่าคงที่เดียวกัน

ดังนั้นในตัวอย่างที่นี่ยาว 5 กับ 10, บางทีนี่ยาว 3 กับ 6

ค่าคงทีของเรา เหมือนกับทำให้ด้านยาวเป็น 2 เท่า

นี่ก็คือสามเหลี่ยมนี้, สามเหลี่ยม XYZ จะคล้ายหรือเปล่า

ทีนี้ถ้าคุณคิดว่ามันมีอันเดียว, ถ้าคุณบอก

ว่านี่คือเป็นจำนวนเท่า, ถ้า X, ถ้า XY เป็น, เป็น

จำนวนเท่าของ AB อย่างที่ YZ เป็นจำนวนเท่าของ BC

และนี่, มุมนี้ที่อยู่ระหว่างด้านเท่ากันทุกประการ,

มันมีสามเหลี่ยมแค่อันเดียวที่เราจะสร้างได้จากตรงนี้

เราจึง, เราจึงถูกบังคับให้สร้างสามเหลี่ยมได้แบบเดียวตรงนี้เท่านั้น,

และนั่น, เราได้บังคับ

ความยาวของด้านนี้ไปด้วย

และความยาวของด้านนี้ จะต้อง

มีอัตราย่อขยายเดียวกับตรงนั้น

เราจึงเรียกมันว่า ความคล้ายแบบ ด้าน-มุม-ด้าน, ด้าน-มุม-ด้าน

เหมือนเดิม, เราเห็น ดดด หรือ ดมด
ในสมมติฐานเรื่องความเท่ากันทุกประการ

แต่เรากำลังพูดถึงของอีกอย่างตรงนี้

เรากำลังบอกว่าใน, ใน ดมด,

ถ้าอัตราส่วนระหว่างด้านที่ตรงกันกับด้าน

ที่ตรงกัน, ด้านที่ตรง

ถ้าอัตราส่วนระหว่างด้านที่ตรงกันของ

สามเหลี่ยมสามชุดเท่ากัน

ตรงนี้ AB กับ XY เป็นด้านที่ตรงกัน,

แล้วด้านที่ตรงกันอีกคู่,

นั่นก็คือด้านที่สองนั่น, นั่นก็คือระหว่าง BC กับ YZ

และมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากันทุกประการ

แล้วเราก็บอกว่า มันคล้ายกัน

สำหรับ ดมด, ในเรื่องการเท่ากันทุกประการ, เราบอกว่า ด้านต้อง

เท่ากันทุกประการจริง

ตรงนี้, เราบอกแค่ว่า อัตราส่วนระหว่าง

ด้านที่ตรงกัน ต้องเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น, ดมด ลองใช้มันดู,

ถ้าผมมี, ขอผมวาดหน่อย, วาดตัวอย่างตรงนี้

สมมุติว่าผมมีสามเหลี่ยมตรงนี้ ที่มีด้าน 3, 2, 4

และสมมุติว่าเรามีสามเหลี่ยมอีกอันตรงนี้,

เรามีสามเหลี่ยมอีกรูปตรงนี้ ที่มีความยาว, ที่ยาว 9, 6

เรายังรู้ว่ามุมระหว่างด้าน เท่ากันทุกประการ

นั่นคือ, มุมนั้นเท่ากับมุมนั้น

สิ่งที่ ดมด ใน ใน ในโลกของความคล้าย บอกคุณว่า

สามเหลี่ยมเหล่านี้จะต้องเป็นสามเหลี่ยมคล้ายกันแน่นอน

เพราะราได้บังคับมัน เนื่องจาก

เราสามเหลี่ยมตรงนี้ได้เพียงแบบเดียว

มันคือสามเหลี่ยม โดยที่ด้านทั้งหมดจะ

ขยายด้วยปริมาณเท่ากัน

ตรงนี้มันมีด้านยาวด้านเดียว ที่เราวาดได้

และนั่นจะต้องขยายตามด้วย 3 เช่นเดียวกัน

มันมีแค่, นี่ นี่ นีคือ
สามเหลี่ยมเดียวที่เป็นไปได้,

ถ้าคุณบังคับด้านนี้, ถ้าคุณบอกว่า, ดูสิ, นี่คือ 3 คูณ

ด้านนี้, นี่คือ 3 คูณด้านนั้น และมุมระหว่างพวกมัน

เท่ากันทุกประการ, มันมีสามเหลี่ยมเดียว
ที่เราวาดได้ ที่เราสร้างได้

และเรารู้ว่ามัน, มันเป็นสามเหลี่ยมคล้าย

โดยทุกอย่างขยายขึ้นด้วยอัตราส่วน 3

โดยสามเหลี่ยมเดียวที่เราวาดได้,
ต้องเป็นสามเหลี่ยมคล้ายหนึ่งเดียว

นี่ก็คือสิ่งที่เราพูดถึง คือ, ดมด

เราไม่ได้บอกว่า ด้านนี้ต้อง
เท่ากันทุกประการกับด้านนนั้น หรือ

ด้านั้นเท่ากับทุกประการกับด้านนั้น

เราบอกว่า พวกมันขยายขึ้นด้วยอัตราเดียวกัน

ถ้าเรามีสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง, ถ้าเรามีสามเหลี่ยมอีกรูป

ที่เป็นแบบนี้, บางทีนี่คือ 9, นี่คือ 4

และมุมระหว่างพวกมันนั้นเท่ากันทุกประการ

คุณบอกไม่ได้ว่า พวกมันคลก้ายกัน เพราะด้านนี้

ขยายด้วยอัตราเท่ากับ 3

ด้านนี้ขยายตัวด้วยอัตราแค่ 2

เวลาเราเขียนตรงนี้, คุณจึงบอกไม่ได้

ว่านี่จำเป็นต้องคล้ายกัน

และเช่นเดียวกัน, ถ้าเรามีสามเหลี่ยม ที่มีด้านยาว 9 ตรงนี้

และยาว 6 ตรงนี้ แต่คุณไม่รู้, คุณไม่รู้

ว่ามุมสองมุมนี้เท่ากัน

เหมือนเดิม, คุณไม่มีเงื่อนไขพอ

และคุณไม่รู้ว่าสามเหลี่ยมสองรูปเหล่านั้น

จำเป็นต้องคล้ายกัน

เนื่องจากคุณไม่รู้เรื่องพวกนั้น, ว่ามุมกลางเท่ากัน

คุณก็บอกว่า ยังมีสมมติฐานอื่นๆ

ที่เามี, เรามี, เรามี มมด
ตอนที่เราคิดเรื่องความเท่ากันทุกประการ

แต่ถ้าคุณคิดดู,

เราได้แสดงไปว่ามุมสองมุมเอง

ก็พอแล้วที่จะแสดงความคล้าย

แล้วจะคิดเรื่อง มุม มุม กับด้าน หรือ

อัตราส่วระหว่างด้านไปทำไม

ทำไมต้องกังวลเรื่องนั้น

และเรายังมี มุม-ด้าน-มุม ในความเท่ากันทุกประการ

แต่เหมือนเดิม, เรารู้ว่ามุมสองมุมเท่ากัน ก็พอแล้ว

เราจึงไม่ต้องใส่ด้านเพิ่มเข้ามา

เราจึงไม่ต้องใช้เจ้านี่ตรงนี้

สิ่งเหล่านี้จึงเป็นสมมติฐานความคล้ายของเรา

และผมอยากเตือนคุณอีกทีว่า ด้าน-ด้าน-ด้าน, อันนี้ไม่เหมือน

กับด้าน-ด้าน-ด้าน ในความเท่ากันทุกประการ

เรากำลังพูดถึงอัตราส่วนระหว่างด้านที่ตรงกัน

เราไม่ได้พูดว่าพวกด้านนั้นเท่ากันทุกประการ

และตรงนี้, ด้าน-มุม-ด้าน, มัน, มันก็ไม่เหมือนกับ

ด้าน-มุม-ด้าน สำหรับความเท่ากันทุกประการ

มันเกี่ยวข้องกัน แต่เราอยู่ตรงนี้, เรากำลังพูดถึง

อัตราส่วนระหว่างด้าน, ไม่ได้ความยาวจริง