Similarity Postulates

Şuna benzeyen ABC üçgenimiz olsun.

En az bilgiyi vermek istiyorum.

Diğer bir üçgenin

ABC ye benzer olduğunu kanıtlayacak

birkaç varsayımda bulunmak istiyorum.

Bildiğimiz gibi, eğer üçgenin açıları

ABC de karşılık gelen açılara eş ise

üçgenler benzerdir.

-

Örneğin burası 30 derece, burası 90 derece ve

bu açı da 60 derece olsun.

Buna benzeyen bir üçgenimiz daha olsun.

Açıkça daha küçük bir üçgen ancak

açıları denk geliyor yani bu 30,

bu 90 bu da 60 derece.

Bu durumda XYZ nin ABC ye benzer olacağını biliyoruz.

-

-

Bunu karşılıklı açıları eş olduğundan biliyoruz.

Böylece ABC'nin XYZ'ye benzer olduğunu biliriz.

Açıların karşılığını şaşırmamak için sıralamayı doğru yapmalıyız.

-

Y 90 dereceye, X 30 dereceye ve

A 30 dereceye denk geliyor.

Demek ki ilk açılarımız A ve X.

Daha sonra 90 derece olan B ve Y,

ardından da Z.

Şu ana kadar üç açıyı da biliyoruz.

Ancak üç açıya ihtiyacımız var mı?

-

Eğer sadece iki açıyı bilsek yeterli midir?

Tabi ki.

Çünkü üçgenin iki açısını bilirsek üçüncüsünü de biliriz.

Örneğin, şuna benzer bir üçgenimiz olsun.

-

Sadece iki açısının ABC'yle eş olduğunu söylesem

-

Mesele bu açı, şuradaki açıya eş ve

bu açı da buna eş olsun.

-

Bu iki üçgenin benzer olduğunu söylemek için yeterli mi?

Evet, çünkü iki açıyı biliyorsak

üçüncünün ne olduğunu bulabiliriz.

Bunun 30 bunun 90 derece olduğunu biliyoruz.

Demek ki bu açı 60 derece olmalı.

Bu iki açının toplamını

180den çıkardığımızda üçüncü açıyı verir.

Yani benzerlik olduğunu söylemek için

üç açının da eş olduğunu bilmemize gerek yoktur.

-

Sadece iki açının eşliği yeterlidir.

O zaman bu ilk benzerlik bağıntımız olsun.

Buna Açı-Açı deriz.

Eğer karşılık gelen iki açının eşliği varsa

bu üçgenler benzerdir.

Örneğin bunlara sayı verirsek,

eğer bu 30 olsaydı ve

burası da 90 olsaydı,

bu üçgenin buradaki üçgene benzer olduğunu bilirdik.

-

Ve buradan üçüncü açıyı da rahatlıkla bulabiliriz.

-

Bu açı 60 derecedir ve bütün açıları eştir.

-

Bu benzerliğin bir kısıtlamasıdır.

Benzerlik hakkında diğer bildiğimiz,

karşılıklı kenarlar arasındaki oranın sabit olduğudur.

Örnek olarak bir üçgenimiz daha olsun.

Bir üçgen daha çizelim.

Bu üçgene XYZ diyelim.

Diyelim ki, AB ve XY arasındaki oranı biliyoruz.

AB bölü XY

Yani bu kenarla bu kenar arasındaki oran.

Ancak bunların eş olduklarını söylemiyoruz,

sadece oranlarına bakıyoruz.

AB bölü XY'nin

BC bölü YZ'ye eşit olduğunu

bunun da AC bölü XZye eşit olduğunu söyleyelim.

-

Bu benzerliği belirtmek için başka bir yoldur.

Bu benzerlik demektir.

Eğer karşılık gelen üç kenar varsa

ve bu kenarlar arasındaki oran sabitse

benzer üçgenler olduklarını biliriz.

Buna Kenar-Kenar-Kenar benzerliği deriz.

Bunu kenar-kenar-kenar eşitliğiyle karıştırmamak gerekir.

-

Bunlar bütün benzerlik bağıntılarımız.

Benzerlik bağıntısı ya da teoremi.

Bunların üstünden işlem yapıp

üçgenler hakkında bazı şeyleri kanıtlayacağız.

-

Kenar-kenar-kenar eşliğinden bahsettiğimizde

karşılık gelen kenarlar eşit demektir.

Kenar-kenar-kenar benzerliğinde ise

karşılıklı kenarlar arasındaki oran aynıdır.

Mesele burada, bu üçgende

bu kenara 10 dersek ya da daha büyük olsun

60 diyelim, burası da 30 olsun,

bu kenara da 30 kök 3 diyelim.

Bu sayıları size bazı tipik oranları göstermek için verdim.

-

Örneğin 30, 60, 90 üçgeni gibi.

Diyelim ki bu 6, 3 ve 3 kök 3 olsun.

AB bölü XY 30 kök üç bölü 3 kök 3,

yani 10 olacak.

BC bölü YZ nedir?

30 bölü 3 ten 10

Peki 60 bölü 6 nedir?

Yani AC bölü XZ,

bu da 10 olur.

Yani genelde bu kenarlarla

karşılığı gelen bu kenarlara gitmek için

kenarları 10 ile çarpmalıyız.

Kenarlar eş değildir,

ya da kenar-kenar-kenar eşliği yoktur.

-

Sadece her kenarı aynı katsayı ile genişletiyoruz.

-

Başka türlü düşünürsek,

Karşılıklı gelen kenarlar arasındaki oran aynıdır.

Şimdi, bakalım,

bir üçgen daha çizelim.

-

Bunu burada bırakmayalım ki listemizi görelim.

Başa bir ABC üçgeni çizelim.

Bu ABC üçgeni olsun.

Diyelim ki,

bu kenarla ilgili şunu biliyoruz.

Bu kenarla XY arasında bağlantı kuralım.

-

Diyelim ki XY eşittir AB çarpı bir katsayı.

Yazarsak, XY eşittir "k" çarpı AB.

-

Gerek olmamasına rağmen,

katsayı 1'den küçük de olabilir,

yine de XY'yi daha büyük çizelim.

XY'yi uzatalım.

Burası X, burası Y olsun.

XY bölü AB bir sayıya eşit.

-

Ya da iki tarafı AB ile çarparsak,

XY'nin AB'nin katı olduğunu görürüz.

Eğer AB 5, XY 10 olursa,

katsayımız 2 olurdu.

Yani 2 ile genişleterek kenarı oluşturduk.

Ayrıca bir nokta daha çizip,

ABC açısının XYZ ye eş olduğunu söyleyelim.

-

Bu kenarı da çizelim, burası Z olsun.

Biliyoruz ki ABC açısı XYZ'ye eşit.

-

Ayrıca, BC ve YZ arasındaki oran da bu olsun.

BC ve YZ arasındaki oran aynı katsayıya eşit.

Örneğin, burası 5 ve 10, bunlar da 3 ve 6 olsun.

Katsayı kenarları iki katına çıkarıyor.

XYZ üçgeni ABC'ye benzer olacak mı?

Eğer düşünürsek,

XY, AB'nin bir katıysa ve

YZ' de BC'nin aynı katıysa,

ve aralarındaki açı eşitse,

sadece bir üçgen çizilebilir.

Burada sadece bir üçgen çizebiliriz,

iki nokta arasında sınırlıyız.

-

Bu kenar da dolayısıyla aynı orana sahip olacak.

-

Buna da Kenar-Açı-Kenar benzerliği deriz.

KKK ve KAK bağıntılarını eşlikde de gördük.

Ancak burada durum farklı.

Kenar-Açı-Kenarda,

iki üçgende karşılıklı kenarlar arasında

sabit bir oran varsa;

-

-

AB ve XY karşılık gelen kenarlar,

-

diğeri de BC ve YZ;

ve aralarındaki açı eşitse

benzer olduklarını söyleriz.

Aynı bağıntıyı eşlikte söylediğimizde ise,

kenarların eş olması gerekir.

Burada bahsettiğimiz şey,

kenarlar arasındaki oranın aynı olması.

Mesela KAK için örnek yapalım.

Birkaç örnek çizelim.

Kenarları 3,2,4 olan bir üçgen olsun.

Burada da başka bir üçgen olsun.

Kenarlarının 9 ve 6 olduğunu biliyoruz.

Ayrıca bu açının bununla eş olduğunu biliyoruz.

Yani bu açı buna eşit.

KAK bağıntısı benzerlikte bize

bu üçgenlerin kesinlikle benzer olacağını söyler.

Bu yüzden kalan kenarı çizebiliriz

çünkü aslında çizebileceğimiz sadece bir üçgen vardır.

Böylece üçgenin kenarları aynı katsayı ile büyütülmüş olur.

-

Yani çizebiliceğimiz tek uzun kenar vardır,

o da bu uzun kenarın üç katı olacaktır.

Bu kenarı birleştirerek sadece bir üçgen çizilebilir.

Çünkü bu kenar bunun 3 katı,

bu kenar bunun 3 katıdır ve

aralarındaki açı eşittir.

Böylece bunun benzer olacağını,

aralarındaki oranın 3 olacağını biliriz.

Yani çizeceğimiz üçgen benzer üçgen olmak zorunda.

Yani bu KAK.

Kenarların birbirlerine eş olduklarını söylemiyorum.

-

Sadece aynı katsayı ile çarpıldıklarını söylüyorum.

Şöyle bir üçgenimiz daha olsun.

Mesela, burası 9, burası 4

ve aralarındaki açı eşit olsun.

Bunlara benzer diyemeyiz,

çünkü bu kenar 3 ile genişletilmiş,

bu kenar ise 2 ile.

Her zaman benzer olmayabilirler.

-

Aynı şekilde, burası 9 olan,

burası 6 olan bir üçgenimiz olsun

ancak aralarındaki açının eşitliğini bilmiyoruz.

Bu üçgenlerin benzer olduğunu söyleyemeyiz.

Benzer olmak zorunda değiller.

-

Çünkü aradaki açının aynı olup olmadığını bilmiyoruz.

Daha çok bağıntı olduğunu söyleyebilirsiniz.

Mesela Açı-Açı-Kenar gibi.

-

Zaten iki açının benzerliği göstermeye yeterli olduğunu biliyoruz,

-

bu yüzden açı-açı-kenara yada

kenarlar arasındaki orana ihtiyacımız yok.

Endişelenmeye gerek yok.

Ayrıca eşlikte Açı-Kenar-Açı bağıntısı vardı,

ancak tekrar iki açının yeterli olduğunu biliyoruz,

o kenarı katmamıza gerek yok.

Buna da ihtiyacımız yok.

Bunlar bizim benzerlik bağıntılarımız.

Buradaki Kenar-Kenar-Kenar ile

eşlikteki Kenar-kenar-kenarın farklı olduğunu hatırlatırım.

Burada kenarlar arasındaki orandan bahsediyoruz.

Kenarların eşitliğinden değil.

Benzerlikteki KAK da

eşliktekinden farklıdır.

Bir açıdan benzerdir ama

burada orandan bahsediyoruz, esas uzunluktan değil.