Similarity Postulates
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0:01 - 0:06假設有一個三角形ABC 就像是這樣的
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0:06 - 0:10一個三角形 ABC
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0:10 - 0:13我只考慮它最基本的信息
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0:13 - 0:15有這麽一些條件
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0:15 - 0:17用來決定是否另一個三角形
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0:17 - 0:20與三角形ABC相似
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0:20 - 0:23我們已經知道 如果這個三角形全部的角
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0:23 - 0:26所對應的角度
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0:26 - 0:28都與三角形ABC相同的話
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0:28 - 0:30那麽 它們就是全等三角形
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0:30 - 0:34比如說 如果這個角是30度 這個角是90度
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0:34 - 0:37那麽顯然這裡的角就是60度
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0:37 - 0:40還有一個三角形 角度看起來也是這樣
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0:40 - 0:42雖然角度一樣 但顯然這個三角形比較小
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0:42 - 0:46但相應的角度都相等 所以這個角是30度
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0:46 - 0:50這個角是90度 這個角是60度
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0:50 - 0:56我們知道在這樣的情況下 三角形XYZ就和
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0:56 - 0:57三角形ABC相似
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0:57 - 0:59我們可以得到這個結論
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0:59 - 1:02是因爲兩個三角形對應的角度都相等
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1:02 - 1:10可以得出結論 三角形ABC和三角形XYZ相似
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1:10 - 1:11你必須使這兩個三角形的字母順序正確
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1:11 - 1:13以保證正確的角相對應
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1:13 - 1:16角Y對應90度角 角X對應
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1:16 - 1:1930度角 角A是30度角
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1:19 - 1:20所以A和X是相對應的兩個字母
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1:20 - 1:23角B和角Y都是90度 所以也對應
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1:23 - 1:25最後是角Z的這一組
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1:25 - 1:27所以 如果三組角都相等
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1:27 - 1:29但是你真的需要三組角嗎
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1:29 - 1:31如果我們只知道兩組角對應相等
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1:31 - 1:32可以嗎
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1:32 - 1:33嗯 當然可以了
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1:33 - 1:36因爲已知三角形中兩個角的度數 就一定知道第三個
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1:36 - 1:41舉個例子 有另一個三角形
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1:41 - 1:44和這個三角形相似 也是這個形狀的一個三角形
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1:44 - 1:47如果我告訴你這兩個三角形只有兩組角
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1:47 - 1:48對應相等
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1:48 - 1:51所以假設 假設這個角和
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1:51 - 1:55這個角相等 那裏的角和
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1:55 - 1:56那個角相等
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1:56 - 1:59這足以說明這兩個三角形相似嗎
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2:00 - 2:03當然 因爲在一個三角形中 如果你已知其中兩個角
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2:03 - 2:06就可以知道剩下的那個角度
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2:06 - 2:08這個角是30度 這個角是90度
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2:08 - 2:11則剩下的角是60度
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2:11 - 2:14不管在什麽情況下 無論已知的兩個角度是多少
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2:14 - 2:17從180度裏減去他們的角度 就是剩下的角
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2:17 - 2:20簡單來說 爲了證明相似 你不需要
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2:20 - 2:23證明三組對應角
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2:23 - 2:24都相等
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2:25 - 2:27你只需要兩組 證明兩組角對應相等
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2:27 - 2:31所以這就是我們證明相似的第一個方法
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2:31 - 2:33我們簡稱它爲角角相等
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2:33 - 2:36如果你可以證明兩組對應角相等
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2:36 - 2:39那麽這兩個三角形相似
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2:39 - 2:43舉個例子 我們假定一些數字 如果你證明
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2:43 - 2:47這個角是30度 並且知道在這個三角形中
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2:47 - 2:49這個角是90度的話
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2:49 - 2:52那麽這個三角形則相似於
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2:52 - 2:53那個三角形
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2:53 - 2:56並且你可以很方便地驗證第三個角的度數
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2:56 - 2:57辦法非常簡單
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2:57 - 3:00第三個角是60度 所以三個角
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3:00 - 3:01都是相等的
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3:01 - 3:04這就是相似的一個證明方法
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3:04 - 3:06關於相似 另一個特征就是
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3:06 - 3:11對應邊的長度比都相等
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3:11 - 3:16舉個例子 假設我們有另一個三角形
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3:16 - 3:18再畫一個三角形
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3:18 - 3:27我把這個它叫做三角形XYZ
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3:27 - 3:30假設我們已知AB邊和XY邊的長度比
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3:30 - 3:34即已知AB比XY的值
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3:34 - 3:38就是這條邊和這條邊的比值
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3:38 - 3:40請注意 我並沒有說它們是相等的 我只是說
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3:40 - 3:42它們是成比例的 我們現在關注的是比例
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3:42 - 3:45就是假設AB比XY
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3:45 - 3:50等於BC比YZ
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3:50 - 3:57同時也等於AC這一組
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3:57 - 4:05即等於AC比XZ
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4:05 - 4:07那麽 這是另一種辦法
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4:07 - 4:09可以證明兩三角形相似
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4:09 - 4:11所以如果三條邊與各自對應邊的
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4:11 - 4:15比值都相等
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4:15 - 4:17我們就可以得到兩三角形相似的結論
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4:17 - 4:21我們把它稱爲邊邊邊對應成比例
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4:21 - 4:23你不想把它和
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4:23 - 4:25邊邊邊對應相等則全等的理論混淆
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4:25 - 4:28所以這就是證明相似的基本公設
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4:29 - 4:31相似公設或公理
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4:31 - 4:32我們通過假設得到它們
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4:32 - 4:34我們將通過它們來解決問題
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4:34 - 4:35來證明其他東西
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4:35 - 4:38當我們討論全等時 邊邊邊意思是
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4:38 - 4:40對應邊長度都相等
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4:40 - 4:43邊邊邊 對於相似來說
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4:43 - 4:48指的是對應邊長成比例
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4:48 - 4:54舉個例子 如果在這裡的這條邊
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4:54 - 4:57假如說這條邊是10 不 讓我換個大一點的數
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4:57 - 5:02這條邊長是60 那麽這條邊是30
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5:02 - 5:06這條邊是30√3
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5:06 - 5:08我只是想讓這些數字恰好成倍
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5:08 - 5:10我們很快就能算出
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5:10 - 5:13這兩個30度 60度 90度角三角形的邊長比
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5:13 - 5:19我們假設三角形三邊長分別爲6 3 3√3
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5:19 - 5:24請注意 AB比XY 即30√3
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5:24 - 5:27除以3√3等於10
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5:27 - 5:29BC比XY呢
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5:29 - 5:3230除以3等於10
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5:32 - 5:34那麽60除以6呢
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5:34 - 5:38就是AC比XZ
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5:38 - 5:39顯然也是10
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5:39 - 5:42所以從小三角形的三邊
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5:42 - 5:44到大三角形對應的三邊 我們只需要
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5:44 - 5:46給小三角形邊長乘以10即可
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5:46 - 5:47所以 他們並非對應相等
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5:47 - 5:49或者說相似不要求
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5:49 - 5:51邊邊邊對應相等
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5:51 - 5:53我們只需要將邊長按一定比例擴大
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5:53 - 5:54相同的比例變化
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5:54 - 5:56或者換一種方式思考
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5:56 - 6:00對應邊長之比相同
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6:00 - 6:04現在 假設我們有
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6:04 - 6:08另一個三角形
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6:08 - 6:10我這樣畫它
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6:10 - 6:12這裡有我們的結論 我不應該畫在這裡
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6:12 - 6:15讓我再畫一個三角形ABC
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6:15 - 6:23三角形ABC中 這是角A角B和角C
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6:23 - 6:26假設我們知道
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6:26 - 6:30從這條邊入手 當我們有另一個三角形
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6:30 - 6:31當我們看到另一個相似的三角形
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6:31 - 6:34我們知道XY
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6:34 - 6:39XY等於AB乘以某個常數
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6:39 - 6:43所以 我可以寫在這裡 XY等於
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6:43 - 6:46某個常數乘以AB
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6:46 - 6:49咱們把XY邊畫得長一點
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6:49 - 6:51使得那個常數大於1
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6:51 - 6:54常數可以是一個很小的值 我們只是這樣假設
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6:54 - 6:57所以我們令XY較大
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6:57 - 7:00假設這裡是X那邊是Y
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7:00 - 7:08假設我們知道XY比AB等於
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7:08 - 7:09某個常數
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7:09 - 7:11如果你給這個等式左右同時乘以AB
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7:11 - 7:15你就能通過AB再次得到XY
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7:15 - 7:19所以 假設AB等於5 XY等於10
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7:19 - 7:21則常數就是2
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7:21 - 7:232就是邊長擴大的比例
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7:23 - 7:26假設我們同時已知
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7:26 - 7:32角ABC和角XYZ相等
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7:32 - 7:34還缺一個要點
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7:34 - 7:39讓我再畫一個邊 這是Z點
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7:39 - 7:45假設我們已知角ABC等於角XYZ
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7:45 - 7:47假設我們知道
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7:47 - 7:51BC邊和YZ邊的比值也等於這個常數
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7:51 - 7:58BC邊和YZ邊的比值也等於同一個數
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7:58 - 8:01假設一組邊長是5和10 另一組是3和6
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8:01 - 8:04小三角形的邊長擴大二倍得到大三角形
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8:04 - 8:10這個三角形XYZ將滿足相似
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8:10 - 8:12這是唯一的一個三角形 如果
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8:12 - 8:16XY和AB對應邊之間的比例
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8:16 - 8:20與YZ和BC對應邊之間的比例相等
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8:20 - 8:22並且其夾角也相等
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8:22 - 8:25則我們只能得到有且僅有的三角形
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8:25 - 8:28我們只能得到唯一的三角形
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8:28 - 8:30有且僅有一個
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8:30 - 8:32這條邊
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8:32 - 8:33和這一條邊
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8:33 - 8:35也會有同樣的比例
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8:35 - 8:41我們把這個稱爲兩邊對應成比例且夾角相等
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8:41 - 8:46我們再次想起了學過的SSS和SAS全等
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8:46 - 8:47但這裡的有所不同
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8:47 - 8:50這裡的SAS是這樣的
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8:50 - 8:53如果一組對應邊
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8:53 - 8:55兩條邊長之比
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8:55 - 8:57與另一組對應邊兩條邊長
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8:57 - 8:58之比相等
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8:58 - 9:02也就是說 在這兩個三角形中 AB和XY
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9:02 - 9:04和另一組對應邊
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9:04 - 9:07BC和YZ邊比值相等
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9:07 - 9:10其夾角也相等
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9:10 - 9:12則兩個三角形相似
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9:12 - 9:15對於全等的SAS定理要求兩組對應邊
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9:15 - 9:16邊長相等
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9:16 - 9:17而這裡 我們只要求兩組對應邊
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9:17 - 9:21比例相等即可
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9:21 - 9:24現在我們試著應用一下SAS
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9:24 - 9:27讓我來畫一下 舉幾個例子
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9:27 - 9:33假設有一個三角形三邊長分別爲3 2 4
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9:33 - 9:36有另一個三角形
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9:36 - 9:42兩個邊的長度分別爲9和6
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9:42 - 9:45我們還知道兩三角形兩條邊的夾角相等
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9:45 - 9:48也就是說這個角等於這個角
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9:48 - 9:51SAS定理告訴我們
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9:51 - 9:55這一定是一組相似三角形
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9:55 - 9:57對此我們相當確信 因爲
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9:57 - 10:00根據這些條件我們只能畫出唯一的一個三角形
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10:00 - 10:02這個三角形的三邊都將
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10:02 - 10:04以相同倍數擴大
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10:04 - 10:08所以實際上我們只剩下這一條長邊了
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10:08 - 10:10我們來把它以三倍擴大
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10:10 - 10:13這就是唯一可能出現的三角形
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10:13 - 10:15如果你使這條邊擴大三倍
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10:15 - 10:19這條邊也擴大三倍 並且其夾角
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10:19 - 10:22保持不變 這就是我們唯一可以畫出的三角形
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10:22 - 10:24我們知道它們是相似的
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10:24 - 10:27每條邊都擴大了三倍
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10:27 - 10:31所以我們畫出的這個三角形就是我們所說的相似形
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10:31 - 10:32這就是在相似中的SAS
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10:32 - 10:34我們不要求對應這條邊等於這條邊
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10:34 - 10:36這條邊等於那一條邊
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10:36 - 10:40我們只需要它們同時擴大相同的倍數
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10:40 - 10:43假設我們有這麽一個三角形
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10:43 - 10:48它看起來是這樣的 這條邊是9 這條邊是4
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10:48 - 10:51它們的夾角相等
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10:51 - 10:54你不會說它們相似因爲這條邊
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10:54 - 10:56擴大了三倍
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10:56 - 10:58而這條邊只擴大了兩倍
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10:58 - 11:01所以 你不能說
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11:01 - 11:03它們一定相似
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11:03 - 11:08如果有一個三角形一條邊長是9
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11:09 - 11:12一條邊長是6 但是無法確定
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11:12 - 11:14這兩個角是否相等
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11:14 - 11:16同樣 你也不能確定
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11:16 - 11:18你不知道這兩個三角形
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11:18 - 11:21是否一定相似
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11:21 - 11:24因爲你不知道夾角是否一定相等
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11:24 - 11:26你可能會想到會不會還有其他證明相似的辦法
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11:26 - 11:32當我們學習全等時 我們討論過AAS
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11:32 - 11:33但是想想看
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11:33 - 11:35我們已經證明了兩組對應角相等
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11:35 - 11:37則一定相似
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11:37 - 11:39所以爲什麽還需要一組對應邊
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11:39 - 11:40的比值呢
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11:40 - 11:42我們甚至還想到
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11:42 - 11:45全等證明中的ASA
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11:45 - 11:47同樣想想看 已經有了兩組對應角 這已經足夠了
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11:47 - 11:49所以我們不需要討論額外的那一條邊
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11:49 - 11:51在相似中 我們甚至根本無需這條規則
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11:51 - 11:54所以這些就是我們的相似定理
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11:54 - 11:57我想提醒大家 邊邊邊的規律在這裡是不同的
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11:57 - 11:59不同於全等中的邊邊邊定理
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11:59 - 12:01相似只要求對應邊成比例
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12:01 - 12:03不需要完全相等
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12:03 - 12:07這裡的邊角邊也與
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12:07 - 12:08全等中的邊角邊不同
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12:08 - 12:10它們有一定的聯係 但在相似中我們討論的是
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12:10 - 12:13邊與邊之間的比例 不要求確切相等
- Title:
- Similarity Postulates
- Description:
-
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 12:14
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for Similarity Postulates |