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Bienvenidos nuevamente.
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Ahora realizare unos problemas de razón de cambio
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porque pienso que el primero que presenté
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fue un poco mas complicado de lo que realmente quería, y la parte mas difícil
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fue la geometría y no el calculo.
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Digamos que dejo caer una roca en un lago
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y que produce una onda
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y la onda se expande-- seguro que serán muchas
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ondas, pero solo vamos a concentrarnos en una onda.
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Esta onda se expande.
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Déjame que dibuje.
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Aquí es donde solté la roca, y después esto es
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una onda en el lago.
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En realidad sería un circulo, lo cual no es
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lo que he dibujado, pero es lo suficiente cerca.
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mmm.
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Entonces diremos que -- llamemos "r".
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"r" no representa la onda.
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"r" es la distancia que la onda a viajado desde el centro
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donde comenzó al dejar caer la roca.
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Y no es una casualidad que también represente el radio.
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Digamos que la onda se expande
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a 2 metros por segundo.
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Entonces la velocidad en que "r" cambia en respecto con "t"
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es 2 metros por segundo
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Y lo que quiero saber es a que velocidad la área
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que esta compuesta por la onda-- el circulo completo--
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que rápido cambia con respecto al tiempo.
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Digamos que cuando la onda esta a 3 metros del centro.
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Cuando la onda es igual a 3 metros.
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Pues, sabemos si existe alguna relación entre el área del circulo
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esencialmente, y la distancia de la onda, o el radio?
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Si existe.
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Area es igual a pi multiplicado por "r" al cuadrado.
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Así que queremos encontrar la razón de cambio del área
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con respecto a el tiempo.
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Asi que, que nos dice la regla de la cadena?
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La regla de la cadena nos dice que la razón a la cual A cambia
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con respecto a 't' es igual ala razón ala cual 'A' cambia
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con respecto a ''r'' por la razón ala cual ''r'' cambia
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con respecto a ''t''
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Pues ya sabemos esta parte, verdad?
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Ya sabemos la razón a la cual cambia r
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con respecto a el tiempo
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Esta justo aquí
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Lo único que tenemos que entender es la razón a la que A esta cambiando
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con respecto al tiempo es que tenemos que encontrar la razón ala cual
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A cambia con respecto a r.
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Pues eso es simplemente el derivado.
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El derivado con respecto a r.
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El derivado con respecto a r -- lo haremos en los dos lados -- de A
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es igual al derivado con respecto a r de pi por r al cuadrado.
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Así que sacamos dA/dr es igual a-- cual es el derivado
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con respecto a r aquí?
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Bueno, eso es facil.
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Solo dos veces pi r al 1
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Es bastante interesante que por si solo que la razón ala cual
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el derivado del área-- en verdad formula-- es que?
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Esta formula por si sola parece bastante interesante, verdad?
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Esa es una formula para la circunferencia de un circulo.
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Así que el derivado del área del circulo con respecto al
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radio es la circunferencia.
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Eso es totalmente fascinante.
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Algo aun mas interesante es calcular que
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anti derivado es el del are y comparar eso
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al volumen de una esfera.
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Lo pueden buscar en Wikipedia o en cualquier lugar.
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O comparar eso al superficie del área de la esfera. y
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seguir escogiendo derivados e integrales y habran
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algunas relaciones interesantes entre ellas.
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Igualmente.
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Regresando al problema.
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Para no irnos tan lejos de el tangente.
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Así que ya calculamos que la razón de A cambia
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con respecto a r.
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Así que regresando al tema, ya sabemos que
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la razón ala cual A cambia con respecto a t es igual ala
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razón ala cual A cambia con respecto a r.
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Todo esta bien hasta ahora, cierto?
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La razón ala cual A cambia con respecto a r.
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Bueno, eso es 2 pi r por la razón ala cual r es
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cambiando con respecto a t.
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Bueno la razón ala cual r cambia con respecto a
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t es justo ahí.
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2 metros por segundo, calculamos.
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Así que 2 pi r por 2-- bueno no incluiré las unidades
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los puede confundir un poco ahora.
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Asi que la razón ala cual A esta cambiando con respecto
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a t es 2 pi r por 2.
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Bueno, hemos acabado ya?
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Pues no, porque no hemos remplazado por r todavía.
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Que es r?
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Bueno ya sabemos. R es tres metros, así que dA/dt es igual a
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2 por pi por 3 por 2. (2x(pi)x3x2)
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Que es eso?
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2 por 3 es igual a 6. Y 6 por 2 es igual a 12.
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12 pi y sus metros al cuadrado por segundo, porque es la
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razón ala cual el área--metros cuadrados-- esta cambiando
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con respecto al tiempo.
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Y si multiplicamos las unidades nos habrá dado
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la misma cosa aquí mismo.
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Así que en el próximo vídeo voy hacer un poco mas difícil el problema de razón de
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cambio, solo para que vean que no solo aplica
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a la pura geometría.
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Aplica para casi todo a lo que
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encuentres la relacion entre dos valores.
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Nos vemos en el proximo modulo.
