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Bem vindos de volta.
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Agora eu vou fazer mais alguns problemas sobre taxas de variação
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por que eu acho que o primeiro provavelmente foi um
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pouco mais complicado do que eu queria, e a parte
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difícil foi a geometria e não o cálculo.
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Então vamos dizer que eu joguei uma pedra num lago
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e isso causou uma ondulação.
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E a ondulação se espalha-- ela provavelmente terá múltiplas
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ondulações, mas nós nos focaremos em apenas uma ondulação.
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E a ondulação está se espalhando.
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Então deixe-me desenhar.
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Aqui é onde eu derrubei a pedra, e isso é
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uma ondulação no lago.
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Isso era pra ser um círculo perfeito, o que não foi o que
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eu desenhei, mas assim está bom.
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Então vamos chamar isso de r
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''r'' não é pra ondulação (''ripple'' em inglês).
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r é a distância entre a ondulação e o centro
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de onde ela começou
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E não é por acaso que o ''r'' também é para o raio.
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Então digamos que a undulação está se movendo a
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2 metros por segundo.
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Então a velocidade em que ''r'' está mudando em respeito a ''t'' (''t'' para tempo)
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é de 2 metros por segundo
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E o que eu quero saber é a taxa em que a área
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está sendo incluída na ondulação -- a área da ondulação inteira -- quão
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rapidamente ela está mudando em respeito ao tempo.
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Digamos que a ondulação está a 3 metros do centro.
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Quando a ondulação é igual a 3 metros.
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sabemos qualquer relação entre a área do círculo essencialmente
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e a distância da ondulação, ou o raio?
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Sim, nós sabemos.
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Área é igual a pi r quadrado (pi vezes r elevado à segunda potência)
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E nós queremos descobrir a velocidade em que a área muda
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em respeito ao tempo.
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O que a regra da cadeia nos diz?
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A regra da cadeia nos diz que a velocidade em que ''A'' (a área) muda
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em respeito a ''t'' (tempo) é igual a velocidade em que ''A'' muda
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em respeito a ''r'' (raio) vezes a velocidade em que ''r'' muda
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em respeito a ''t''.
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Nós já sabemos essa parte, né?
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Nós já sabemos a velocidade em que ''r'' está mudando
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em respeito ao tempo
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Está bem aqui.
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Tudo o que nós temos que fazer é descobrir a velocidade em que ''A'' está mudando
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em respeito ao tempo, nós temos que descobrir a velocidade em que
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''A'' muda em respeito a ''r''.
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Bom, isso é apenas a derivação
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a derivação em relação a r.
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A derivação em relação a r -- faça isso dos dois lados-- de A
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é igual a derivação em relação a r de pi r²
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Então nós temos dA/dr que é igual a -- Qual é a derivação
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que corresponde a r aqui ?
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Bom, isso é fácil.
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Duas vezes pi r elevado a um.
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Isto é bem interessante que a proporção
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de derivação da área-- fórmula real-- é qual ?
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Esta fórmula por ela mesma, parece interessante, certo?
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Esta é a fórmula para a circunferência de um círculo
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Então a derivação da área do círculo que corresponde ao
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raio é a circunferência.
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Isso é fascinante !
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Algo ainda mais interessante é descobrir que
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antiderivada é a área e compare isto com o
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volume da esfera.
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Você pode procurar no Wikipedia ou coisa do tipo.
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Ou ainda compare a surperfície da área do círculo,e
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continue vendo derivadas e integral e essas serão
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algumas relações interessantes
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Mas, de qualquer forma,
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voltemos ao problema
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Para não passar tão longe da tangente
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Então nós descobrimos que o valor de A muda
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em relação ao de r
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Então voltando a nossa coisa original, nós sabemos que
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o valor de A que muda em relação a t é igual ao de
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A quando muda em relação ao r.
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Bem, isso está bem aqui, não é ?
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O valor de A que muda em relação a r.
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Bem é apenas 2 pi r vezes o valor de R
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que muda de acordo com t.
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Bem, o valor que corresponde a r e muda em relação a
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t está bem aqui
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2 metros por segundo.. Que nós descobrimos.
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Então 2 pi r vezes 2-- Bem eu não irei incluir as unidades
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porque isso iria te confundir agora.
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Então o valor de A que muda em relação
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a T é 2 pi r vezes 2
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Bem, terminamos ?
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Não.. porque nós ainda não substituímos por r.
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Então o que é r?
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Bom, nós sabemos. ''r'' é igual a três metros, então
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2 vezes pi vezes 3 vezes 2.
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Então o que é isso?
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2 vezes 3 é 6, 6 vezes 2 é 12.
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12 pi e é em metros quadrados por segundo, porque é a
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velocidade em que área-- metros quadrados-- está mudando
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em respeito ao tempo.
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E se nós multiplicarmos as unidades nós teríamos alcançado
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a mesma coisa aqui.
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Então, no próximo vídeo eu vou fazer um pouco mais dificil
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mudando o problema então você poderá ver que não se aplica
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a tipos de pura geometria
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Isso se aplica para tudo em que você pode
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achar a relação entre dois valores.
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Te vejo no próximo módulo.
