Değişim hızı (2. bölüm)

Değişim hızının zincir kuralıyla bulunduğu (daha basit) bir örnek

Tekrar hoş geldiniz.

Şimdi birkaç değişim hızı sorusu daha çözeceğim. İlk çözdüğüm sorudaki geometri, analizden zordu.

-

-

-

Diyelim ki, göle bir taş atıyoruz ve bu, daire şeklinde yayılan bir dalga oluşturuyor.

-

Dalganın yayıldığını varsayalım. Aslında, birden fazla dalga var, ama biz bir tanesine odaklanalım.

-

Dalga yayılıyor.

Bunu çizeyim.

Taşı buraya atıyorum ve dalga da burada.

-

Aslında, tam bir çember olur. Ben de yaklaşık olarak bir çember çizmeye çalıştım.

-

-

Şimdi, r diyelim.

-

r, dalganın başlangıç noktasına uzaklığı.

-

Ve de, yarıçap.

Diyelim ki, dalga saniyede 2 metre hızla yayılıyor.

-

Yani, r'nin t'ye göre değişim hızı, saniyede 2 metre.

-

Dalganın alanının hangi hızla arttığını bulmak istiyorum.

-

-

Örneğin, dalga merkezden 3 metre uzaklıkta iken.

Yarıçap 3 metre olduğunda.

Dairenin alanıyla dalganın uzaklığı arasında bildiğimiz bir bağıntı var mı?

-

Evet, var.

Alan eşittir Pi r kare.

Alanın zamana göre değişim hızını bulmak istiyoruz.

-

Zincir kuralına göre ne yapabiliriz?

Zincir kuralına göre, A'nın t'ye göre değişim hızı eşittir, A'nın r'ye göre değişim hızı çarpı r'nin t'ye göre değişim hızı.

-

-

-

Şu kısmı zaten biliyoruz, öyle değil mi?

r'nin zamana göre değişim hızını biliyoruz.

-

Burada.

A'nın zamana göre değişim hızını bulmak için, yalnızca A'nın r'ye göre değişim hızını bulmamız gerekiyor

-

-

Bu da türev.

r'ye göre türev.

A eşittir Pi r kare denkleminde iki tarafın r'ye göre türevini alırız.

-

d A d r eşittir, bu tarafın r'ye göre türevi nedir?

-

Gayet kolay.

2 çarpı Pi r üzeri 1..

Alanın türevi son derece ilginç bir formül, öyle değil mi?

-

-

Bu, aynı zamanda, çemberin çevre formülü.

Yani, dairenin alanının r'ye göre türevi, çemberin çevresine eşit.

-

Bu durum, biraz etkileyici.

Daha da ilginç olanı ise, alanın terstürevinin kürenin hacmiyle karşılaştırılması.

-

-

Vikipedi'den araştırabilirsiniz.

Veya, kürenin yüzey alanıyla karşılaştırabilirsiniz. Türevler, integraller alarak, ilginç bağlantılar yakalayabilirsiniz.

-

-

Neyse.

Çok uzaklaşmadan, soruya dönelim.

-

A'nın r'ye göre değişim hızını bulduk.

-

Orijinal denklemimize dönersek, A'nın t'ye göre değişim hızının, A'nın r'ye göre değişim hızına eşit olduğunu biliyoruz.

-

-

Bu burada, öyle değil mi?

A'nın r'ye göre değişim hızı.

Eşittir, 2 Pi r çarpı r'nin t'ye göre değişim hızı.

-

r'nin t'ye göre değişim hızı da şurada.

-

Saniyede 2 metre.

Yani, 2 Pi r çarpı 2 - kafanız karışmasın diye birimleri yazmıyorum.

-

A'nın t'ye göre değişim hızı eşittir, 2 Pi r çarpı 2.

-

Soru bitti mi?

Hayır, çünkü r değerini yerine koymadık.

r neydi?

r'nin 3 metre olduğunu biliyoruz. Buna göre, d A d t eşittir 2 çarpı Pi çarpı 3 çarpı 2.

-

Peki, bu kaç eder?

2 çarpı 3 eşittir 6, çarpı 2, eşittir 12.

Saniyede 12 Pi metrekare. Alanın, metrekare olarak, zamana göre değişim hızı.

-

--

Birimleri çarpsaydık da aynı şeyi elde ederdik.

-

Bir sonraki videoda biraz daha zor bir soru çözeceğim. Böylece, değişim hızının sadece geometrik şekillerle ilgili olmadığını göreceksiniz.

-

-

İki değer arasında bir bağıntı bulduğunuz her durumda, değişim hızını kullanabilirsiniz.

-

Bir sonraki videoda görüşürüz.