Justificativa da regra da potência | Matematica | Khan Academy

RKA10MP – O que quero fazer neste vídeo
é utilizar a regra da potência

e buscar resultados
que parecem aceitáveis.

E uma coisa a se falar é que isso
não é a prova da regra da potência.

Mas, pelo menos, vai nos deixar um pouco
mais confortáveis utilizando esta regra.

Então, vamos supor que eu tenha
este f(x) sendo igual a “x”.

A regra da potência nos diz
que f'(x) será igual a quanto?

Sabemos que “x” é o mesmo que x¹,

então implicitamente já sabemos
que este “n” é igual a 1.

E levando este 1 para frente,
teremos 1 vezes x¹⁻¹,

ou seja, teremos 1 vezes x⁰.

A gente sabe que todo número
elevado a zero é igual a 1,

então este x⁰ é igual a 1.

Deixe-me plotar um gráfico
a respeito dessa função

para a gente conseguir visualizar
um pouco melhor essa ideia.

Vou fazer um gráfico dessas funções,
este é o eixo “y” e este é o eixo “x”.

Vamos ter “y” igual a “x”,
já que “y” é igual a f(x).

Então fica mais ou menos deste jeito:
“y” é igual a “x”,

ou seja, f(x) é igual a “x”.

Se a gente derivar este f(x),
e já vimos que ele é igual a 1,

quando a gente olha para a nossa função,
percebemos que a inclinação desta reta,

ou a reta tangente bem neste ponto,
terá uma inclinação contínua e igual a 1,

independentemente do valor de “x”
que a gente observar,

ou seja, teremos uma reta,

uma reta com uma inclinação
constante e igual a 1, nesse caso.

Isso é bem consistente com o que sabemos
sobre derivar das inclinações.

Podemos desenhar esta derivada.

Então, estou dizendo que,
ao longo de todo o “x”,

vamos ter uma reta horizontal e igual a 1,

independentemente do valor
que a gente atribua a “x”.

Agora se a gente for
para este outro ponto,

a inclinação, sem dúvida,
também vai ser igual a 1.

Se for aqui, a inclinação também
é igual a 1.

Assim, a gente vai ter uma ótima resposta,

mas vamos tentar algo
que mude esta inclinação.

Vamos dizer que eu tenha
g(x) igual a x².

A regra da potência nos diz
que g'(x) vai ser igual a…

A gente coloca este
2 na frente vezes x²⁻¹.

E 2 - 1 é igual a 1. Assim, a gente
vai ter que a derivada desta função

é igual a 2 vezes “x”.

Vamos fazer também um gráfico
desta função?

O eixo “y” e o eixo “x”.
Deixe-me marcar algumas coisas.

Aqui vou ter 1, 2, 3, 4, 5

e aqui vou ter 1, 2, 3, 4.

E g(x), quando “x” é zero,
vai ser zero.

Quando “x” for igual a 1,
g(x) é igual a 1.

Quando “x” é igual a 2,
g(x) vai ser igual a 4.

Então a gente vai ter 1, 2, 3, 4.
Deixe-me colocar aqui…

Quando “x” é -2 também
vamos ter algo igual a 4.

Assim, vamos ter uma parábola.

Você já deve ter visto ao longo
de muitos anos.

Uma parábola se parece com isso.

Lembre-se que a parábola
tem dois lados bem simétricos,

então vou tentar desenhar isso
mais ou menos simétrico.

Pronto, então temos o gráfico de g(x),
em que g(x) é igual a x².

Agora a gente pode fazer
o gráfico de g'(x).

E o que a regra da potência
disse para a gente sobre g'(x)?

A gente conseguiu obter uma resposta
igual a 2x,

então isso daqui é uma reta.

A derivada de g(x), ou seja,
g'(x) é uma reta passando pela origem.

Quando “x” é igual a -2,
vamos ter uma inclinação negativa,

já que vamos ter 2 vezes -2,
que é igual a -4.

Então, a gente vai ter uma inclinação
negativa e bem íngreme.

Isso nos mostra a inclinação neste ponto.
E neste ponto a inclinação é -4.

A inclinação da reta tangente
seria algo parecido com isso

e parece ter uma inclinação bem aceitável.

Agora o que acontece se a gente
for para onde “x” é igual a zero?

Neste ponto a derivada,
ou g', vai ser igual a zero,

afinal de contas,
a gente vai ter 2 vezes zero.

Então, neste ponto, vamos ter
uma inclinação igual a zero,

ou seja, uma reta tangente
sendo horizontal.

Observando na parábola,
isso faz muito sentido.

A inclinação da reta tangente
se parece com algo assim neste ponto.

Estamos no ponto mínimo,
no vértice desta parábola,

e a inclinação neste ponto
vai ser igual a zero.

Agora se a gente vier para “x” igual a 2,
o que vai acontecer?

Podemos perceber que g' é igual a 2x.

Assim a gente vai ter 2 vezes 2,
que é igual a 4.

A inclinação da reta tangente
neste ponto vai ter essa aparência.

Então neste ponto em que “x” é igual a 2,
vamos ter uma inclinação igual a 4.

Tudo isso que observamos parece ser
bem aceitável e nos mostra que, de fato,

a regra da potência faz muito sentido.

Agora eu gostaria que você pegasse
outras funções

e tentasse fazer o mesmo que fiz aqui.

Então, aquele forte abraço
e até o próximo vídeo!