Identifying Conics 1

Part 1 of identifying and graphic conic sections

السؤال الاساسي الذي عادة ما تُسألوه في حصص الجبر هو

اعطاؤكم هذه المعادة ويكون المطلوب منكم تحديد

القطع المخروطي وتمثيله

والمعادلة لا تتخذ نفس الشكل في كل مرة

لأنه اذا اردنا استخدام النمط المتشابه في

ما قمت بايضاحه لكم في العروض السابقة سيكون

بامكانكم الحصول عليه

اذاً لنقم بحل سؤال ونرى اذا

يمكننا ايجاده

لدي هنا
9x^2 + 4y^2

+ 54x - 8y + 49 =0

ومرة اخرى، اعني من منكم يعرف ما هذه حيث انها

ليست على الشكل النموذجي

وكمفتاح سريع لأدلكم على الجواب هو ان تنظروا

على عبارات x^2 و y^2 اذا كانت موجودة

فاذا كان لدينا عبارة x فقط ثم y

و ليس عبارة y^2، فأنت اذاً تتعامل مع

قطع مكافئ، وسنستعرض هذا اكثر لاحقاً

او اذا كان بالاتجاه المعاكس، اي اذا كانت عبارة x

وعبارة y^2، فمن المحتمل ان يكون هذا قطع مكافئ

لكن لنفترض اننا نتعامل مع دائرة، قطع ناقص، او

قطع زائد، فستكون عبارة x^2 و

عبارة y^2 موجودتان

واذا كانتا تحملان نفس العدد امامهما

فسيكون هذا مفتاح جيد حيث

سنتعامل مع دائرة

واذا كان امامهما اعداد مختلفة، وكلاهما

موجب، فهذا مفتاح جيد

يخبرنا اننا سنتعامل مع قطع ناقص

واذا كان احد العددين سالب

والآخر موجب، فهذا سيدل على

اننا ربما نتعامل مع قطع زائد

لكن مع هذا، اعني ان هذا يمكن ان يساعدكم لتستوضحوا الامور

بسرعة في هذه المرحلة، لكن لن يساعدكم لتمثيله او

للحصول على الشكل النموذجي

لنحصل عليها اذاً بالشكل النموذجي

والمفتاح للحصول عليها بالشكل النموذجي

هو اكمال المربع

وانا اشجعكم لتعيدوا مشاهدة عرض اكمال المربع

لأن هذا كل ما نريد فعله هنا للحصول

على الشكل النموذجي

اذاً اول شيئ ارغب القيام به هو ان اكمل المربع، و

يجب عليك القيام بهذا لمتغيرات x و

متغيرات y، نضع مجموعة عبارات x ومجموعة عبارات y

لنرى

عبارات x هي
9x^2 + 54x

9x^2 + 54x

وسأقوم بكتابة عبارات y باللون الارجواني

ثم لدينا 4y^2 - 8y ومن ثم

لدينا-- دعوني استخدم لوناً آخر--
+

49 =0

وابسط شيئ نفعله عندما نكمل المربع

وما ارغب بفعله هو، من الواضح انه يمكن استخراج العامل

9 من هذين العددين، ويمكن استخراج العامل

4 من هذين

لنقم بهذا، لأنه سيساعدنا

لاكمال المربع

اذاً هذا يعادل
(9 × x^2) +

9×6=54، 6x

سأقوم باضافة عدد آخر هنا، لكن

سأترك له فراغاً الآن

+ 4 × y^2 - 2y وربما سأضيف

شيئاً آخر هنا ايضاً، اذاً سأترك فراغ آخر

+ 49 = 0

اذاً ماذا سنضيف هنا؟

سنقوم باكمال المربع

نريد ان نضيف عدداً هنا لتصبح جميع معادلة العبارة الثالثة

مربعاً كاملاً

كذلك، سنضيف بعض اعداد هنا

لتصبح عبارة الارقام الثلاثة مربعاً كاملاً

وبالطبع اي عدد نضيفه الى هذا الجزء، سوف

نضربه بـ 9، لأننا في الواقع

نضيف 9× هذا

ونضيفها في هذا الجانب

واي عدد نضيفه عنا، يكون علينا ان نضربه

بـ4 ونضيفه الى هذا الجانب

اذا وضعت 1 هنا، هذا يعني ان لدي 4 هنا

لأن 1×4=4 واذا كان لدي 1 هنا فسيكون 1×9

اذاً 9 هنا

لنقم بهذا

عندما نكمل المربع، فنحن نأخذ نصف

هذا المعامل

المعامل هو 6، نأخذ نصفه اي 3

ونقوم بتربيعه، لنحصل على 9

.

وتذكر ان هذه معادلة، اذاً ما تقوم بفعله لجانب

عليك ان تفعله للجانب الىخر

فاذا اضفنا 9 هنا، فبالطبع سنضيف 9×9 الى

الجانب الايسر من المعادلة، فعلينا ان نضيف 81

الى الجانب الايمن لتصبح المعادلة متوازنة

ويمكنك رؤية هذا عند الرجوع الى الخلف هنا

هذا يعادل، من اجل جعل هذا واضحاً اذا

اضفت 81 هنا

بالتالي سأضيف 81 هنا ايضاً

لننتقل الآن الى عبارات y

نأخذ نصف هذا المعامل -2

ويساوي = -1

نقوم بتربيعه، فنحصل على 1

1×4، ونقوم باضافة 4 الى الجانب الايسر

من المعادلة

وبالطبع انك قد فهمت ما قمت به هنا

هذا مساو لاضافة 4 هنا، ومن ثم

لاحقاً اقوم باخراج العامل 4

4

الآن ما ناتج هذا؟

المعادلة تكون 9× ماذا؟

هذا مربع-- عليك اخراج عامل لهذا، لكن فعلناه

لأجل الغرض-- x+3^2 ثم لدينا +

4 ×-- ما هذا؟

انه
y-1)^2)

وربما ستقوم بمراجعة لاستخراج عامل من متعدد الحدود او

لاكمال المربع اذا وجدت ان هذه الخطوة

شاقة قليلاً

ثم لدينا 49 = 0
+ 81 +

84 = 85

حسناً، الآن لدينا 9 × + 3^2 + 4

× ( y - 1)^2

لنطرح الآن 49 من الطرفين

هذا يساوي-- دعوني ارى اذا قمت بطرح 50 من 85 فأحصل على 35

واذا طرحت 49، سأحصل على 36

36

الآن نحن نقترب من الشكل النموذجي لعدد ما

لكن تذكر ان جميع الاشكال النموذجية التي قمنا بها عدا عن

الدائرة-- لدينا y-- ونحن نعلم ان هذا ليس دائرة

لأن لدينا هذه المعاملات، حسناً

انها معاملات مختلفة امام العبارات

اذاً لنحصل على 1 على الجانب الايمن دعونا

نقسم كل شيئ على 36

فاذا قسمت كل شيئ على 36، تصبح هذه العبارة
(x +3)^2

÷ 9 ÷ 36 = 1/4

ثم لدينا
+(y-1)^2 ، 4 ÷ 36=

1÷9 وكل هذا = 1

وهكذا

لدينا المعادلة بالنموذج المثالي، ويمكنك رؤية

ان الحدس في بداية المسألة كان صحيحاً

هذا قطع ناقص، ويمكننا الآن ان نمثله

اولاً، نبدأ بمكان جيد، اين

سيكون مركز القطع الناقص هذا؟

سيكون x= -3

ما هي قيمة x التي تجعل كل العبارة =0؟

ستكون x= -3، وy

=1

ما هي قيمة y التي تجعل العبارة 0؟ y=1

هذا هو المركز

دعونا نقوم بتمثيل هذا، ومن ثم يمكننا رسم القطع الناقص

سيكون في الربع السالب

هذا محور x وهذا محور y

ومركز القطع الناقص على النقطة -3

و 1، اذاً هذا المركز

ما هو نصف القطر على الاتجاه x؟

نأخذ الجذر التربيعي لهذا، =2

اذاً نذهب بمقدار وحدتين على اتجاه x

2 الى اليسار

وعلى اتجاه y، ماذا سنفعل؟

سنذهب بمقدار 3 وحدات للأعلى و 3 للأسفل

الجذر التربيعي لهذا

دعوني اقوم بهذا

نذهب 1، 2، 3، وهنا 1، 2، 3، هذا هو y

تذكر ان عليك اخذ الجذر التربيعي لكلاهما

المحور العامودي هو نصف القطر الرئيسي او

نصف المحور الرئيسي ويساوي 3، لأنه اطول

ثم الـ 2 عبارة عن نصف القطر الفرعي، لأنه

اقصر

نحن جاهزون الآن لرسم هذا القطع الناقص

سأرسمه باللون البني

دعوني ارى اذا كان يمكنني فعل هذا

يدي ترجف

حسناً، سيبدو هكذا

ثم نذهب

نأخذ هذا الشكل، وكل ما نقوم به

هو مجرد تلاعب في العمليات الجبرية

لقد قمنا باكمال المربعات التي تحتوي على عبارات x و y

ومن ثم نقسم كلا الطرفين على هذا العدد و

وبهذا نحصل على الشكل النموذجي

نقول ان هذا قطع ناقص

لدينا كل من هذا العبارات، وكلاهما موجب

نقوم بالجمع وليس الطرح، لديهما

معاملات مختلفة

اذاً نحن جاهزون للانتقال خلال القطع الناقص، وقد ادركنا

ان المركز 3،1، وقد قمنا برسم

نصف القطر الرئيسي، او المحور الرئيسي والمحور الفرعي

اراكم في العرض التالي