Koonuselõigete äratundmine

Part 1 of identifying and graphic conic sections

Tavaline küsimus algebratunnis on

võrrandi järgi koonuselõige äratundmine

ja võimalusel joonistamine.

Ja antavad võrrandid pole normaalkujul,

sest siis oleks lihtsalt võrdlemine nendega,

millest ma eelmistes videodes rääkinud olen,

ja see oleks liiga lihtne.

Nii et teeme küsimuse ja proovime,

kas saame selelst aru.

Olgu 9x ruudus pluss 4y ruudus

pluss 54x miinus 8y pluss 49 võrdub 0

Veelkord, kes teab, mis see on,

kui see pole normaalkujul.

Üks kiire vihje: vaadata,

kas leidub x ruutu või y ruutu.

Kui leidub ainult x ruut (ja mitte y ruut) ning leidub y

siis on arvatavasti tegu parabooliga,

sellest hiljem lähemalt.

Või kui on teistpidi, kui on olemas y ruudus ja x, siis

on arvatavasti tegu parabooliga.

Aga kui oleks tegemist ringi, ellipsi

või hüperbooliga, siis oleks meil x ruudus olemas

ja samuti y ruudus olemas.

Kui neil on mõlemal ees sama kordaja,

vihjab see sellele, et

tegemist on ringiga.

Kui neil on erinevad kordajad, kuid

need on mõlemad positiivsed, vihjab see,

et tegemist on arvatavasti ellipsiga.

Kui ühel on negatiivne kordaja ja teisel

positiivne kordaja, on arvatavasti

tegemist parabooliga.

Öeldu abil saab sellel tasemel

asju väga kähku ära tunda, aga see ei aita joonistada

ega võrrandit normaalkujule viia.

Nii et viime need normaalkujule.

Ja nende võrrandite normaalkujule viimiseks

tuleb ruut lõpetada.

Ja ma soovitan uuesti vaadata ruudu lõpetamise videot,

sest selle abil viime me need võrrandid

normaalkujule.

Nii et esmalt tahan ma lõpetada ruudud, ja

selleks peab grupeerima x muutujad ja

y liikmed.

Vaatame.

x liikmed on 9x ruudus pluss 54x.

Teen y liikmed lillaga.

On veel pluss 4y ruudus miinus 6y

ja veel -- teist värvi-- pluss

49 on võrdne nulliga.

Nii et lihtne on ruutu lõpetades,

mis mulle meeldib teha, on selge, et

nendest kahest saab 9 ette tuua,

ja nendest kahest 4 ette tuua.

Teeme seda, sest see aitab

ruutu lõpetada.

Nii et see on sama mis 9x ruudus pluss

9 korda 6 on 54, 6x.

Ma lisan siia veel midagi, aga praegu

jätan selle tühjaks.

Pluss 4 korda y ruudus miinus 2 y. Arvatavasti lisan ka

siia midagi, nii et jätan selle tühjaks.

Pluss 49 on võrdne nulliga.

Nii et mille me lisame?

Me tahame ruutu lõpetada.

Me tahame lisada mingi arvu nii, et sellest

kolme liikmega võrrandist saaks ruudu.

Samamoodi lisame siia mingi arvu, et

neist kolmest liikmest saaks moodustada ruudu.

Ja muidugi, mida me ka ei lisaks,

peame selle 9-ga korrutama, sest

me liidame seda üheksa korda.

Ja liidame sellele poolele.

Selle, mis me siia lisame, korrutame neljaga ja

liidame teisele poolele.

Kui panna 1 siia, oleks see nagu 4 seal,

sest 1 korda 4 on 4 ja kui seal oleks 1 saaks 1 korda 9.

Nii et 9 sinna.

Teeme seda.

Kui me ruutu lõpetame, võtame lihtsalt poole

sellest kordajast.

See kordaja on 6, pool sellest on 3,

see ruudus on 9.

Pea meeles: tegu on võrrandiga, kõik, mis ühel poolel teed,

pead ka teisel tegema.

Kui me siia 9 lisasime, liitsime tegelikult 9 korda 9

võrrandi vasaku poolele, seega peame liitma

paremale poolele 81, et võrdus kehtiks.

Siin üleval saad seda näha.

See on sama asi, kui

meil oleks seal 81.

Muidugi oleks 81 ka seal.

Nüüd y liikmed.

Pool kordajast on -2,

pool sellest -1.

Ruutu võttes saame 1.

1 korda 4, nii et tegelikult liidame 4

võrrandi vasakule poolele.

Et oleks arusaadav:

See on sama, mis siia 4 liitmine,

ma lihtsalt tõin 4 ette.

Mis sellest saab?

See võrrand on 9 korda mis?

See on ruut -- selle võiks tegurdada, aga me tegime seda meelega--

x pluss 3 ruudus ja siis on meil pluss 4 korda--

Mis seal on?

See on y miinus 1 ruudus.

Kui see samm tundus keeruline,

võib-olla peaksid üle vaatama polünoomide tegurdamise

või ruudu lõpetamise.

Ja siis on meil pluss 49 on võrdne 0 pluss 81

pluss 84 on võrdne 85.

Olgu, nüüd on meil 9 korda pluss 3 ruudus pluss 4

korda y miinus 1 ruudus.

Lahutame mõlemalt poolelt 49.

See on võrdne-- 85 miinus 50 on 35, seega

85 miinus 49 on 36.

Ja nüüd oleme normaalkuju lähedal,

aga tuleta meelde kõik normaalkujud peale ringi--

meil oli y-- ja me teame, et see pole ring,

sest kordajad nende liikmete ees

on erinevad.

Et saada paremal pool 1,

jagame kõik 36-ga.

Kui kõik 36-ga jagada, siis saame liikme x pluss 3

ruudus jagada 4 (mis on sama mis 9 jagada 36)

ja pluss y miinus 1 ruuudus jagada 4, mis on sama

kui 4 jagada 36, ja see kõik on võrdne 1

Ja ongi kõi,-

See on normaalkujul, ja näed, et meie

sisetunne ülesande alguses oli õige.

See on tõesti ellips, ja nüüd me saame selle joonistada.

Esmalt, hea algusena,

kus asub selle ellipsi keskpunkt?

See asub kohal x võrdub -3

Milline x väärtus teeb kogu liikme väärtuse nulliks?

Nii et x on -3 ja

y on 1.

Milline y väärtusega on see liige 0? y on 1.

See on meie keskpunkt.

Nii et teeme joonestiku ja joonistame ellipsi.

See on negatiivses veerandis.

See on x-telg ja see y-telg.

Ellipsi keskpunkt on -3,1.

See on keskpunkt.

Mis on raadius x suunal?

Võtame lihtsalt selle ruutjuure, ehk 2.

Nii et x suunas läheme 2 paremale.

Ja kaks vasakule.

Ja mis me y suunas teeme?

Läheme üles 3 ja alla 3.

Selle ruutjuur.

Teen selle ära.

Pea meeles: mõlemast peab ruutjuure võtma.

Vertikaaltelg on suurtelg, ehk

pool-suurtelg on 3, sest see on neist kahest pikem.

Ja kaks on väiketelg, sest

see on lühem.

Ja nüüd saame ellipsi joonistada.

Teen selle pruuniga.

Proovin õigesti teha.

Käsi väriseb.

Olgu, midagi sinnakanti.

Ja ongi.

Võtsime selle hullu välimusega asja,

ja lihtsalt muundasime seda algebraliselt.

Lihtsalt koondasime ruudud x ja y liikmetel.

Ja siis jagasime mõlemad pooled selle arvuga

ja saime normaalkuju.

Ütlesime, et "see on ellips".

Meil on kaks liiget, mõlemad positiivsed, me

liidame, ei lahuta,

neil on erinevad kordajad.

Nii et me saame ellipsit uurida, ja näeme, et

keskpunkt on -3,1 ja me lihtsalt joonistame

suurraadiuse, suurtelje ja väiketelje.

Järgmise videoni!