Identifier des coniques 1

Part 1 of identifying and graphic conic sections

La question standard que vous recevez fréquemment dans votre classe d'algèbre est

de recevoir cette équation avec l'instruction d'identifier

la section conique et de la représenter sous forme de graphe si possible.

Et l'équation que l'on vous donne n'est pas dans la forme standard,

sinon vous pourriez simplement faire une sorte d'équivalence avec

ce que j'ai montré dans certaines des vidéos précédentes

et vous seriez capable de l'obtenir.

Donc faisons une question comme ça pour voir si

nous pouvons la résoudre.

Donc ce que j'ai ici est 9x au carré plus 4y au carré

plus 54x moins 8y plus 49 égal 0.

Et à nouveau, qui sait ce dont il s'agit, ce n'est simplement pas

dans la forme standard.

Et en fait, un indice rapide pour reconnaître ce dont il s'agit est de regarder

les termes x au carré et y au carré s'il y en a.

S'il n'y a qu'un terme x au carré et ensuite juste un y

sans terme y carré, alors il s'agit probablement

d'une parabole, et nous allons voir cela plus en détails plus tard.

Ou si à l'inverse, il y a simplement un terme x

et un terme y au carré, il s'agit probablement également d'une parabole.

Mais partant de l'hypothèse qu'il s'agit d'un cercle, d'une ellipse

ou d'une hyperbole, il y aura un terme x au carré et

un terme y au carré.

Si les deux ont plus ou moins le même nombre devant,

c'est un assez bon indice qu'il s'agira

d'un cercle.

Si les deux termes sont précédés de nombres différents, mais que les nombres

sont tous les deux positifs, c'est un bon indice

qu'il s'agira d'une ellipse.

Si l'un des termes est précédé d'un nombre négatif et

l'autre d'un nombre positif, cela indique

qu'il s'agira probablement d'une hyperbole.

Mais cela dit, cela permet d'identifier les choses

très rapidement à ce niveau, mais ça n'aide pas à dessiner la forme ou

la transformer dans la forme standard.

Donc transformons la maintenant en forme standard.

Et la clé pour transformer en forme standard est

simplement de compléter le carré.

Je vous encourage de revoir la vidéo expliquant comment

compléter le carré, parce que c'est exactement ce que nous allons faire ici

pour obtenir la forme standard.

Donc la première chose que j'aime faire pour compléter le carré,

et vous allez devoir le faire pour les variables x et y,

est de grouper les termes x et y.

Voyons.

Les termes x sont 9x au carré plus 54x.

Et faisons les termes y en magenta.

Donc vous avez plus 4y au carré moins 8y, et ensuite,

laissez-moi faire cela dans une autre couleur,

plus 49 est égal à 0.

Et donc ce qui est facile à faire pour compléter le carré,

ce que j'aime faire, il est très clair que nous pouvons factoriser

un 9 de ces deux nombres, et nous pouvons factoriser un

4 de ceux-là.

Allons-y, parce que cela va nous aider

à compléter le carré.

Donc cela est la même chose que 9 fois x au carré

plus 9 fois 6 fait 54, 6x.

Je vais ajouter quelque chose d'autre ici, mais

je vais le laisser blanc pour l'instant.

Plus 4 fois y au carré moins 2y, je vais probablement ajouter

quelque chose ici aussi, donc je le laisse blanc pour l'instant.

Plus 49 fait 0.

Donc qu'allons-nous ajouter ici?

Nous allons compléter le carré.

Nous voulons ajouter un nombre ici pour que cette expression

à trois termes devienne un carré parfait.

De la même manière, nous allons ajouter un nombre ici, pour que cette

expression à trois terme devienne un carré parfait.

Et bien sûr, ce que nous allons ajouter d'un côté, nous devrons

le multiplier par 9, parce que nous

ajoutons en fait 9 fois cela.

Et ajoutons-le sur ce côté.

Tout ce que nous ajoutons ici, nous allons devoir le multiplier

par 4 et l'ajouter sur ce côté.

Si je mets un 1 ici, c'est en fait comme si j'avais un 4 ici,

parce que 1 fois 4 fait 4, et si j'avais un 1 ici, c'est 1 fois 9.

Donc 9 ici.

Faisons-donc cela.

Lorsque nous avons complété le carré, nous prenons simplement la moitié

de ce coefficient.

Ce coefficient est 6, nous en prenons la moitié qui fait 3,

nous le mettons au carré, nous obtenons 9.

Rappelez-vous, il s'agit d'une équation, donc ce que vous faites d'un côté,

vous devez le faire de l'autre également.

Donc si on ajoute un 9 ici, on est en fait en train d'ajouter 9 fois 9

sur le côté gauche de l'équation, donc nous devons ajouter 81

sur le côté droit pour conserver une équation correcte.

Et vous pourriez le voir si nous remontons ici.

C'est la même chose, juste pour être plus clair, comme si

j'ajoutais plus 81 juste ici.

Bien sûr, j'aurais dû ajouter plus 81 ici en haut.

Maintenant passons aux termes y.

Vous prenez la moitié de ce coefficient de moins 2,

la moitié fait donc moins 1.

Vous le mettez au carré, vous obtenez plus 1.

1 fois 4, donc nous ajoutons en fait 4 sur le côté gauche

de l'équation.

Et juste pour que vous compreniez bien ce que j'ai fait ici.

Ceci est la même chose que si j'avais ajouter un 4 ici, et ensuite

j'avais simplement factorisé ce 4.

Et qu'est-ce que ça devient?

Cette expression est 9 fois quoi?

C'est le carré de -- vous pourriez factorisez ça,

mais nous l'avons fait exprès -- c'est x plus 3 a carré, et ensuite nous avons

plus 4 fois -- qu'est-ce que c'est que ça ici?

C'est y moins 1 au carré.

Vous pouvez revoir la factorisation des polynômes ou

comment compléter le carré si vous avez trouvé cette étape

un peu difficile.

Et ensuite nous avons plus 49 est égal à 0 plus 81 plus

84 est égal à 85.

Bien, donc maintenant nous avons 9 fois plus 3 au carré plus 4

fois y moins 1 au carré.

Et soustrayons 49 des deux côtés.

C'est égal à -- voyons, si je soustrais 50 de 85 j'obtiens 35,

donc si je soustrais 49 j'obtiens 36.

Et maintenant nous nous rapprochons de la forme standard de quelque chose,

mais rappelez vous de toutes les formes standard que nous avons faites sauf

le cercle -- nous avions un y -- et nous savons qu'il ne s'agit pas ici d'un cercle,

parce que nous avons ces coefficients bizarres, bon pas bizarres,

mais des coefficients différents devant ces termes.

Donc pour avoir 1 sur le côté droit,

divisons tout par 36.

Si vous divisez tout par 36, ce terme devient x plus 3

au carré sur -- vous voyez 9 sur 36 est la même chose que 1 sur 4 -- et

ensuite vous avez plus y moins 1 au carré, 4 sur 36 est la même chose

que 1 sur 9 et tout cela est égal à 1.

Et voilà.

Nous avons une forme standard, et vous pouvez voir que

notre intuition au début du problème était correcte.

Il s'agit effectivement d'une ellipse, et maintenant nous pouvons effectivement la dessiner sur un graphique.

Donc premièrement, un bon endroit pour commencer,

où va se trouver le centre de cette ellipse?

Il va s'agir de x est égal à moins 3.

Quelle valeur de x rend ce terme égal à 0?

Ca sera x est égal à moins 3, et y va

être égal à 1.

Quelle valeur de y rend ce terme égal à 0? y est égal à 1.

C'est notre centre.

Donc faisons le graphique, et ensuite nous pouvons dessiner l'ellipse.

Ca va être dans le quadrant négatif.

Ca c'est notre axe x et ça c'est notre axe y.

Et donc le centre de notre ellipse est à moins 3

et plus 1, donc ça c'est le centre.

Et ensuite, quel est le rayon dans la direction x?

On prend simplement la racine carrée de ceci, donc c'est 2.

Donc dans la direction x, on va de deux vers la droite.

On va de deux vers la gauche.

Et dans la direction y, que faisons-nous?

Eh bien on va de trois vers le haut et de trois vers le bas.

La racine carré de ceci.

Laissez-moi faire cela.

Rappelez-vous qu'il vous faut prendre la racine carrée de ces deux-là.

L'axe vertical est en fait le rayon majeur ou

l'axe semi-majeur est 3, parce que c'est le plus long.

Et ensuite 2 est le rayon mineur, parce que

c'est le plus court.

Et maintenant nous sommes prêts à dessiner cette ellipse.

Je vais la dessiner en brun.

Laissez-moi voir si je peux faire ça comme il faut.

J'ai une main qui tremble.

Bon, ça ressemble à quelque chose comme ça.

Et voilà.

Nous avons pris ce truc qui a l'air un peu fou, et tout ce que nous avons fait

est le manipuler algébriquement.

Nous avons simplement complété les carrés avec les termes x et y.

Et ensuite nous avons divisé les deux côtés par ce nombre ici,

et nous l'avons transformé en forme standard.

Nous nous sommes dit: "Oh, c'est une ellipse."

Nous avons ces deux termes, ils sont tous les deux positifs,

nous additions, nous ne soustrayons pas, et ils ont des

coefficients différents en dessous.

Donc nous sommes prêts à faire l'ellipse, et nous réalisons

que le centre est à moins 3, 1, et ensuite nous avons simplement dessiné

le rayon majeur, ou l'axe majeur, et l'axe mineur.

On se voit à la prochaine vidéo!