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La domanda standard che ti fanno spesso nel corso di algebra e'
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che ti danno questa equazione e ti chiedono di identificare
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la sezione conica e farne il grafico e se puoi.
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E l'equazione che ti danno non sarà in forma standard,
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perché se lo fosse potresti solo tipo confrontarne lo schema
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con quelli che ti ho mostrato in alcuni dei video precedenti e
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ci arriveresti.
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Quindi facciamo una domanda del genere e vediamo se
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riusciamo a capirlo.
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Quindi quello che ho qui è 9x^2 + 4^2
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+ 54x - 8y + 49 = 0.
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E di nuovo, voglio dire chi sa di cosa si tratta, non è
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in forma standard.
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E in realtà un indizio rapido per dirti cos'è è guardare
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i termini x^2 e y^2 se ci sono.
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Se c'è solo un termine x^2 e c'è solo una y
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e non una y^2 allora probabilmente hai che fare con una
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parabola e successivamente andremo piu' a fondo su questo.
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O se è il contrario, se c'è solo un termine x
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e una y^2, è probabilmente una parabola.
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Ma supponendo che abbiamo a che fare con un cerchio, un'ellisse,
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o un'iperbole, ci sarà un termine x^2 e
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un termine y^2.
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Se entrambi hanno tipo lo stesso numero davanti,
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è un buon indizio che
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si tratta di un cerchio.
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Se hanno numeri diversi ma sono entrambi
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positivo è un buon indizio
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che probabilmente abbiamo a che fare con un'ellisse.
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Se uno ha un numero negativo davanti e
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l'altro ha un numero positivo, ti dice che
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probabilmente abbiamo a che fare con un'iperbole.
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Ma detto questo, voglio dire ti potrebbe aiutare a identificare le cose
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molto rapidamente a questo livello, ma non ti aiuta a fare il grafico
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o a metterlo nella forma standard.
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Quindi mettiamolo in forma standard.
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E la chiave per metterlo in forma standard è
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semplicemente completare il quadrato.
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E ti incoraggio a riguardare il video sul completamento del quadrato
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perché è tutto quello che faremo qui per metterlo
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in forma standard.
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Quindi la prima cosa che mi piace fare per completare il quadrato, e
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dovrai farlo per le variabili x e per
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i termini di y, è raggruppare i termini x e y.
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Vediamo.
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I termini di x sono 9x^2 + 54x.
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9x^2 + 54x.
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E i termini y li facciamo in magenta.
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Quindi poi hai + 4y^2 - 8y e poi hai ---
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fammelo fare questo in un colore diverso ---
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+ 49 = 0.
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E quindi la cosa facile da fare quando completi il quadrato,
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la cosa che mi piace fare è, è molto chiaro che possiamo estrarre un
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9 da entrambi questi numeri, e possiamo estrarre un
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4 da entrambi quelli la'.
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Facciamolo, perché che ci aiuterà a
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completare il quadrato.
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Quindi questo è come 9 *(x^2 + ---
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9 * 6 fa 54 --- 6x.
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Ci aggiungero' ancora qualcosa qui, ma
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lo lascio vuoto per ora.
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+ 4 * (y^2 - 2y + --- probabilmente aggiungero'
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qualcosa anche qui, quindi per ora lo lascio vuoto.
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+ 49 = 0.
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Quindi qui cosa ci aggiungiamo?
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Vogliamo completare il quadrato.
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Qui vogliamo aggiungerci qualche numero in modo che tutta questa espressione di tre
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termini diventi un quadrato perfetto.
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Allo stesso modo, vogliamo aggiungere qualche numero qui in modo che questa
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espressione di tre termini diventi un quadrato perfetto.
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E naturalmente qualunque cosa aggiungiamo al lato, dovremo
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moltiplicarlo per 9, perché in realta' ci stiamo
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aggiungendo quello 9 volte.
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E lo aggiungiamo a quel lato.
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Qualunque cosa aggiungiamo qui, dovremo moltiplicarlo
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per 4 e aggiungerlo su quel lato.
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Se qui metto un 1 è come come se avessi un 4,
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perché è 1 * 4 fa 4 e se qui avessi un 1 è 1 * 9.
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Quindi 9 lì.
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Facciamolo.
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Quando completiamo il quadrato, prendiamo solo la metà di
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questo coefficiente.
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Questo coefficiente è 6, prendiamo la metà che è 3,
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lo eleviamo al quadrato, otteniamo un 9.
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Ricordati che è un'equazione, percio' quello che fai da un lato
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devi farlo all'altro.
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Quindi se qui aggiungiamo un 9, in realtà stiamo aggiungendo 9 * 9
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al lato sinistro dell'equazione, quindi dobbiamo aggiungere 81
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al lato destro affinche' l'equazione ancora tenga.
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E lo puoi tipo vede se torniamo indietro qui.
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Questo è come, giusto per chiarire, se
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aggiungessi più 81 qui.
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Naturalmente avrei dovuto aggiungere più 81 quassù.
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Ora andiamo ai termini y.
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Prendi la metà di questo coefficiente è -2,
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metà di questo è -1.
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Lo elevi al quadrato, ottieni +1.
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1 * 4, quindi in realta' stiamo aggiungendo 4 sul lato
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sinistro dell'equazione.
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E giusto per farti capire che ho fatto qui.
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Questo è come se qui avessi aggiunto un 4 e poi
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dopo estratto questo 4.
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4 qui.
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E quindi questo come diventa?
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Questa espressione è 9 per cosa?
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Questo è il quadrato di --- potresti fattorizzarlo, ma l'abbiamo fatto
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apposta --- (x + 3)^2 e poi abbiamo
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piu' 4 per --- questo qui cos'è?
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E' (y - 1)^2.
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Potresti volerti rivedere la fattorizzazione di polinomi o
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il completamento del quadrato se hai trovato questo passaggio
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un po' scoraggiante.
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E poi abbiamo + 49 = 0 + 81
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+ 4 = 85.
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Va bene, quindi ora abbiamo 9 * (x +3)^2 + 4
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* (y - 1)^2.
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E sottraiamo 49 da entrambi i lati.
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Che è uguale a --- vediamo se sottraggo 50 da 85 ottengo 35,
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quindi se sottraggo 49 ottengo 36.
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36.
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E ora ci stiamo avvicinando alla forma standard di qualcosa,
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ma ricordati che tutte le forme standard che abbiamo fatto, eccetto il
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cerchio --- avevamo una y --- e sappiamo che questo non è un cerchio,
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perché abbiamo questi coefficienti strani, beh non strani
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ma coefficienti diversi davanti a questi termini.
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Quindi per ottenere l'1 sul lato destro
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dividiamo tutto per 36.
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Se dividi tutto per 36 questo termine diventa (x + 3)^2
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su vediamo 9 / 36 è come 1 / 4
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e poi hai + (y - 1)^2 --- 4 / 36 è come
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1 / 9 e tutto questo = 1.
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Ed ecco qua.
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Ce l'abbiamo in forma standard e puoi vedere che la nostra
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intuizione all'inizio del problema era corretta.
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Questo è davvero un'ellisse e ora ne possiamo effettivamente disegnare il grafico.
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Quindi prima di tutto, in realtà un buon punto di partenza, dove
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stara' il centro di questa ellisse?
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Sara' x = -3.
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Quale valore di x rende questo intero termine uguale a 0?
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Quindi sara' x= -3
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e y sara' uguale a 1.
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Quale valore di y rende questo termine 0? y = 1.
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Questo è il nostro centro.
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Quindi facciamone il grafico e poi possiamo disegnare l'ellisse.
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Stara' nel quadrante negativo.
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Questo è il nostro asse x e questo è il nostro asse y.
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E poi il centro della nostra ellisse è a
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(-3, +1), quindi questo è il centro.
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E poi, quant'è il raggio nella direzione x?
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Facciamo giusto la radice quadrata di questo, quindi è 2.
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Quindi nella direzione x andiamo di 2 a destra.
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Andiamo 2 a sinistra.
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E nella direzione y, cosa facciamo?
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Bene, andiamo su 3 e giù 3.
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La radice quadrata di questo.
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Fammelo fare.
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1, 2, 3, qui.
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Ricordati che devi fare la radice quadrata di entrambi.
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L'asse verticale è in realtà il raggio maggiore o il
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semiasse maggiore è 3, perché è quello più lungo.
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E poi il 2 è il raggio minore, perché questo è
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quello più corto.
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E ora siamo pronti per disegnare questa ellisse.
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La faccio in marrone.
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Fammi vedere se riesco a farlo per bene.
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Ho una mano tremolante.
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Va bene, una cosa del genere.
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Ed ecco qua.
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Abbiamo preso questa cosa tipo folle e tutto quello che abbiamo fatto
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è stato manipolarla algebricamente.
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Abbiamo solo completato i quadrati con i termini x e y.
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E poi abbiamo diviso entrambi i lati per questo numero qui e
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abbiamo ottenuto la forma standard.
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Abbiamo detto: oh questa è un'ellisse.
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Abbiamo entrambi questi termini, sono entrambi positivi, stiamo
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sommando e non sottraendo, hanno diversi
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coefficienti.
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Quindi eravamo pronti ad andare sull'ellisse e ci siamo resi conto che
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il centro era (-3,1) e poi abbiamo disegnato il
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raggio maggiore, o l'asse maggiore e l'asse minore.
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Ci vediamo nel prossimo video.
