การระบุประเภทภาคตัดกรวย 1

การระบุประเภทและวาดกราฟภาคตัดกรวย ตอน 1

-

คำถามมาตรฐานที่คุณมักเจอในวิชาพีชคณิตคือว่า

เขาให้สมการนี้มาแล้วบอกให้ระบุ

ว่าเป็นภาคตัดกรวยแบบไหน แล้วให้วาดกราฟถ้าคุณวาดได้

และสมการที่เขาให้มาจะไม่อยู่ในรูปมาตรฐาน,

เพระาถ้าเป็นอย่างนั้น คุณก็แค่เทียบรูปแบบ

กับสิ่งที่ผมแสดงให้ดูในวิดีโอก่อนๆ แล้วคุณ

ก็จะได้คำตอบตรงๆ เลย

งั้นลองทำโจทย์แบบนั้นดู แล้วดูว่า

เราจะหาได้ไหม

สิ่งที่ผมมีตรงนี้คือ 9x กำลังสอง บวก 4y กำลังสอง

บวก 54x ลบ 8y บวก 49 เท่ากับ 0

เหมือนเดิม, ผมก็บอกว่า ใครจะรู้ว่ามันคืออะไร มัน

ไม่ได้อยู่ในรูปมาตรฐานนี่

และที่จริงแล้ว มันมีคำใบ้ที่บอกคุณอยู่ว่ามันคืออะไร ถ้าคุณดู

ที่เทอม x กำลังสอง กับ y กำลังสอง ถ้ามี

ถ้ามันมีเทอม x กำลังสองอย่างเดียว แล้วก็มี y

แต่ไม่มีเทอม y กำลังสอง, คุณก็จะได้

พาราโบลา, แล้วเราจะพูดถึงต่อไป

หรือถ้ามันกลับกัน, ถ้ามีแค่เทอม x

กับเทอม y กำลังสอง, มันก็น่าจะเป็นพาราโบลา

แต่ถ้าสมมุติว่าเรากำลังยุ่งกับวงกลม, วงรี, หรือ

ไฮเปอร์โบลา, มันจะมีทั้งเทอม x กำลังสองและ

เทอม y กำลังสอง

หากทั้งคู่มีเลขข้างหน้าเหมือนกัน,

มันก็เป็นเงื่อนไขที่บอกเราว่าเรากำลัง

ยุ่งกับวงกลม

ถ้าทั้งคู่มีเลขต่างกัน, แต่ทั้งคู่

มีเลขบวกข้างหน้า, มันก็บอกใบ้

ว่าเรากำลังยุ่งกับวงรี

ถ้าตัวใดตัวหนึ่งมีเครื่องหมายลบข้างหน้ามัน

ส่วนอีกอัันเป็นลบ, มันก็บอกเราว่า

เรากำลังยุ่งกับไฮเปอร์โบลาอยู่

ที่ผมพูดไป, ผมหมายความว่ามันช่วยให้คุณระบุได้

เร็วๆ ในระดับนี้, แต่มันไม่ได้ช่วยให้คุณวาดกราฟ

หรือเขียนมันในรูปมาตรฐานได้

งั้นลองเขียนมันในรูปมาตรฐานดู

และวิธีการทำให้อยู่ในรูปมาตรฐานที่จริง

ก็แค่การเติมเต็มกำลังสองนั่นเอง

และผมแนะนำให้คุณดูเรื่องการเติมเต็มกำลังสองใหม่

เพราะนั่นคือสิ่งที่เราจะทำตรงนี้เพื่อให้

ได้รูปมาตรฐาน

งั้นอย่างแรกที่ผมอยากเติมเต็มกำลังสอง,

และคุณต้องทำทั้งตัวแปร x และตัวแปร y

นั่นก็คือ, การจับกลุ่มเทอม x กับ y

ลองดู

เทอม x ได้แก่ 9x กำลังสอง บวก 54x

-

ลองทำเทอม y ด้วยสีบานเย็นนะ

แล้วคุณก็ได้ บวก 4y กำลังสอง ลบ 8y แล้วคุณก็

มี -- ขอผมใช้อีกสีนะ -- บวก

49 เท่ากับ 0

แล้ววิธีการง่ายๆ ตอนคุณเติมเต็มกำลังสอง,

สิ่งที่ผมชอบทำคือว่า, มันง่ายกว่าถ้าเราดึง

9 ออกจากทั้งสองตัวนี้, เราก็สามารถ

ดึง 4 ออกจากคู่นี้ได้เหมือนกัน

ลองงทำดู, เพราะมันจะช่วยเรา

เติมเต็มกำลังสองได้

นี่ก็เหมือนกัน 9 คูณ x กำลังสอง บวก

9 คูณ 6 ได้ 54, 6x

ผมจะบวกอย่างอื่นเพิ่มเข้าไปด้วย, แต่ผม

จะปล่อยมันว่างไว้ก่อน

บวก 4 คูณ y กำลังสอง ลบ 2y ผมจะเพิ่ม

อะไรบางอย่างตรงนี้เหมือนกัน, ผมเลยปล่อยที่ว่างเอาไว้

บวก 49 เท่ากับ 0

แล้วเราจะบวกอะไรเข้าไปตรงนี้ดี?

เราจะเติมเต็มกำลังสอง

เราอยากเพิ่มจำนวนลงไปตรงนี้ เทอมทั้งสามนี่

จะได้กลายเป็นกำลังสมบูรณ์

เช่นเดียวกัน, เราจะเพิ่มจำนวนลงไปตรงนี้,

พจน์สามตัวนี้จะได้กลายเป็นกำลังสมบูรณ์

และแน่นอน ไมว่าเราจะเพิ่มอะไรไปด้านนี้, เราจะ

ต้องคูณมันด้วย 9, เพราะเรา

บวก 9 คูณนั่นเข้าไป

และบวกมันทางด้านนั้น

ไม่ว่าคุณจะบวกอะไรตรงนี้, คุณก็ต้องคูณ

ด้วย 4 แล้วบวกเข้าไปด้านนั้นด้วย

ถ้าผมใส่ 1 ตรงนี้, มันก็เหมือนกับว่าผมมี 4 ตรงนี้,

เพราะ 1 คูณ 4 ได้ 4 และถ้าผมมี 1 ตรงนี้ มันก็คือ 1 คูณ 9

ได้ 9 ตรงนี้

ลองทำดู

เวลาเราเติมเต็มกำลังสอง, เราก็เอา

สัมประสิทธิ์มาครึ่งหนึ่ง

สัมประสิทธิ์นี้คือ 6, เราเอามาครึ่งหนึ่งคือ 3,

จับมันกำลังสอง, เราเลยได้ 9

-

จำไว้ว่ามันคือสมการ, ดังนั้นสิ่งที่คุณทำทางด้านหนึ่ง, คุณ

ต้องทำอีกด้านหนึ่งด้วย

ดังนั้นถ้าเราบวก 9 ตรงนี้, ที่จริงเรากำลังบวก 9 คูณ 9

ทางซ้ายมือของสมการ, เราเลยต้องบวก 81

ทางขวามือเพื่อให้สมการยังเป็นจริง

แล้วคุณก็มองว่าถ้าเรากำลังไปตรงนี้

นี่ก็เหมือนกัน, แค่ทำให้ชัดเจนว่าผมบวก

81 ตรงนี้จริง

แน่นอนว่าผมต้องบวก 81 บนนี้ด้วย

ทีนี้ลองดูที่เทอม y บ้าง

คุณนำครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์นี้คือ ลบ 2,

ครึ่งหนึ่งของค่านั้นคือ ลบ 1

คุณยกกำลังสองมัน, คุณก็ได้บวก 1

1 คูณ 4, เราได้บวก 4 เข้าทางซ้ายมือ

ของสมการ

แค่ให้คุณเข้าใจว่าผมทำอะไรตรงนี้

นี่ก็เหมือนกับผมบวก 4 ตรงนี้, แล้วผม

ก็แยกเอา 4 นี่ออกมา

-

และนี่จะกลายเป็นอะไร?

พจน์นี้คือ 9 คูณอะไร?

นี่คือกำลังสองของ -- คุณก็แยกนี่ออกมาได้, แต่เรา

ตั้งใจทำแบบนี้ -- มันคือ x บวก 3 กำลังสอง แล้วเรามีบวก

4 คูณ -- เจ้านี่ตรงนี้คืออะไร?

มันคือ y ลบ 1 กำลังสอง

คุณอาจอยากทบทวนเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม

หรือการเติมเต็มกำลังสองสักหน่อย ถ้าคุณเห็นว่าขั้นต่างๆ

นี้ยากเกินไป

แล้วเรามี บวก 49 เท่ากับ 0 บวก 81 บวก

84 เท่ากับ 85

เอาล่ะ, ตอนนี้เรามี 9 คูณ x บวก 3 กำลังสอง บวก 4

คูณ y ลบ 1 กำลังสอง

แล้วลองลบ 49 ทั้งสองข้าดงู

นั่นเท่ากับ -- ลองดู ถ้าผมลบ 50 จาก 85 ผมได้ 35,

ถ้าผมลบด้วย 49, ผมก็ได้ 36

-

และตอนนี้เราก็เข้าใกล้รูปมาตรฐานของอะไรสักอย่างแล้ว

แต่จำไว้ว่ารูปมาตรฐานที่เราทำ ยกเว้น

วงกลม -- เราได้ y -- และเรารู้ว่ามันไม่ใช่วงกลม,

เพราะเรามีสัมประสิทธิ์แปลกๆ พวกนี้, ไม่ใช่แปลก

แต่สัมประสิทธิ์ต่างๆ กัน ตรงหน้าเทอมพวกนี้

เพื่อให้ได้ 1 ทางขวามือ, ลองหาร

ทั้งหมดด้วย 36 ดู

ถ้าคุณหารทุกอย่างด้วย 36, เทอมนี้กลายเป็น x บวก 3

กำลังสอง ส่วน เห็นไหม 9 ส่วน 36 ก็เหมือนกัน 1 ส่วน 4, แล้ว

คุณก็ได้ บวก y ลบ 1 กำลังสอง 4 ส่วน 36 ก็

เหมือนกับ 1 ส่วน 9 แล้วทั้งหมดนั่นเท่ากับ 1

ได้แล้ว

คุณได้รูปมาตรฐานแล้ว, และคุณเห็นได้ว่า

สัญชาตญาณตอนแรกของเรานั้นถูกต้อง

นี่คือวงรีจริงๆ, และตอนนี้เราสามารถวาดกราฟได้แล้ว

อย่างแรกเลย, จุดเริ่มต้นที่ดีคือ, จุดศูนย์กลาง

ของวงรีจะอยู่ตรงไหน?

มันจะเป็น x เท่ากับ ลบ 3

ค่า x ใดทำให้เทอมทั้งหมดนี้เป็น 0?

มันก็คือ x เท่ากับ ลบ 3, และ

y เท่ากับ 1

ค่า y ใดทำให้เทอมนี้เป็น 0? y เท่ากับ 1

นั่นคือจุดศูนย์กลางของเรา

ลองวาดกราฟดู, แล้วเราก็วาดวงรีได้

มันจะอยู่ในจตุภาคลบ

นี่คือแกน x และนี่คือแกน y

แล้วจุดศูนย์กลางของวงรีอยู่ที่ ลบ 3

กับบวก 1, นั่นก็คือจุดศูนย์กลาง

แล้ว, รัศมีตามทิศ x คืออะไร?

เราก็แค่ถอดสแควร์รูทของเจ้านี่, มันคือ 2

ดังนั้นในทิศ x เราไปทางขวา 2 หน่วย

เราไปทางซ้าย 2 หน่วย

และในทิศ y, เราทำอะไร?

เราขึ้นไป 3 หน่วยและลงไป 3 หน่วย

สแควร์รูทของเจ้านี่

ขอผมทำนะ

-

จำไว้ว่าคุณต้องหาสแควรืรูทของเทอมทั้งสองนี้

แกนดิ่งจะเป็นแกนเอก หรือความยาว

ครึ่งแกนเอกเท่ากับ 3, เพราะมันยาวกว่า

และ 2 คือรัศมีโท, เพราะมัน

สั้นกว่า

และตอนนี้เราก็วาดวงรีได้แล้ว

ผมจะวาดด้วยสีน้ำตาลนะ

ดูสิว่าผมจะวาดสวยๆ ได้ไหม

ผมชอบมือสั่น

เอาล่ะ, มันจะออกมาเป็นแบบนั้น

ได้แล้ว

เราเอาสิ่งที่ดูบ้าบอนี้มา, แล้วเราก็

จัดการด้วยพีชคณิต

เราแค่เติมเต็มกำลังสองให้เทอม x กับ y

แล้วเราหารทั้งสองข้างด้วยเลขนี่ตรงนี้

แล้วเราก็ได้รูปมาตรฐานมา

เราบอกว่า โอ้ นี่คือวงรี

เราได้เทอมทั้งสองนี้, ทั้งคู่เป็นบวก, เราได้

บวก, ไม่ใช่ลบ, พวกมัน

มีสัมประสิทธิ์ข้างล่างต่างกัน

เราเลยรู้ว่ามันคือวงรี, และเราสังเกตได้

ว่าจุดศูนย์กลางคือ ลบ 3, 1, แล้วเราก็วาด

รัศมีเอก, หรือแกนเอก, และแกนโทได้

แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ

-