Identifying Conics 1

Part 1 of identifying and graphic conic sections

.

Cebir dersinde genellikle size bir eşitlik verilir ve sizden koni geometrisini tanımlamanız ve yapabilirseniz grafiğe dökmeniz istenir.

.

.

Ve size verdikleri denklem standart formda olmayacak çünkü eğer olsaydı, siz bunu önceki videolarımda gösterdiğim şekilde yapabilirdiniz.

.

.

.

Öyleyse hadi böyle bir soru yapalım ve yapıp yapamayacağımza bakalım.

.

Elimizde şöyle bir eşitlik var: 9 xkare artı 4 ykare artı 54 x eksi 49 eşittir 0.

.

Bunun standart formda olmadığını anlayabiliyoruz.

.

Ve küçük bir ipucu: ilk bakmamız gereken şey ,eğer varsa, karesi olan x ve y terimleri.

.

Eğer x'i kareli olan bir terim ve sonrasında bir adet karesi olmayan y terimi varsa, büyük ihtimalle bir parabol ile karşı karşıyasınızdır.

.

Buna sonra geleceğiz.

Ya da eğer x karesizse ve y kareliyse bu da büyük ihtimalle bir paraboladır.

.

Ancak, biz bir çember, elips ya da hiperbol ile karşı karşıyaysak burada bir kareli x ve bir kareli y olacaktır.

.

.

Eğer iki taraf aynı katsayıya sahipse bu bizim bir çemberle karşı karşıya olduğumuza dair çok büyük bir ipucudur.

.

.

Eğer ikisinin de katsayıları farklı fakat bu katsayılar pozitifse bu da bizim bir elips ile karşı karşıya olduğumuza dair çok büyük bir ipucudur.

.

.

Eğer bunlardan birinin katsayısı negatifse ve diğeri pozitifse bu bir hiperbol ile karşı karşıya olduğumuza dair büyük bir ipucudur.

.

.

Bunları söylüyorum çünkü bunlar size bu seviyede bazı şeyleri tanımlamanızda yardımcı olur ama size bunu grafiğe dökmeniz ya da standart forma geçirmenizde yardımcı olmaz.

.

.

Öyleyse hadi standart forma geçelim.

Ve standart forma geçmenin anahtarı kareyi tamamlamaktan geçiyor.

.

Size "kareye tamamlama" videosunu tekrar izlemenizi öneririm çünkü standart formda yapacağımız şey aynen bu.

.

.

Burada ilk yapacağım şey kareye tamamlamak ve siz de bunu x değişkenlerine ve y değerlerine göre yapmalısınız.

.

.

.

X değerleri: 9x kare artı 54 x

.

.

Ve sonrasında 4y kare eksi 8y artı 49 eşittir 0

.

.

Ve bunu kareye tamamlamak için yapacağımız şey çok açık: bu sayıların xlileri 9'a ylileri de 4'e bölünebiiyor.

.

.

.

Bunu yapalım, çünkü bu bize kareye tamamlamamızda yardımcı olacak.

.

Bu da şuna eşittir: 9 kere x kare artı 9 kere 6x eşittir 54 artı buraya birşey ekleyeceğim ama ne olduğu belli değil o yüzden boşluk bırakıyorum.

.

.

.

Ve 4 kere y kare eksi 2y ve buraya da birşey eklemem gerek ama şimdilik boş bırakıyorum.

.

Artı 49 eşittir 0.

Peki buralara ne ekleyeceğiz?

Kareye tamamlayacağız.

Buraya öyle bir sayı eklemek istiyoruz ki bu sayıyı koyduğumuzda bu 3 terimli ifade bir tam kare ifade olsun.

.

Aynısı burada da geçerli. Buraya öyle bir sayı eklemeliyim ki bu üç terimli ifade bir tam kare ifade olmalı.

.

ve tabii ki bu tarafa ne eklersek bunu 9'la çarğmalıyız çünkü bunu 9 kere toplamış oluyoruz.

.

.

Ve bunu karşı tarafa da ekliyoruz.

Ve burya da ne koyarsak koyalım 4'le çarpıp karşı tarafa ekliyoruz.

.

Eğer buraya 1 eklersek aslında burada 4 olmuş oluyor çünkü 1 kere 4, 4 eder ve burada da 1 kere 9 var elimizde.

.

Burada 9 oluyor.

Hadi şunu yapalım.

Kareye tamamlarken, ortadaki değerin yarısını alıyoruz.

.

Buradaki değer 6 ve yarısı 3. 3'ün karesini alırsak 9.

.

.

Unutmayın bu bir denklem bu yüzden denklemin bir tarafına ne yaparsak karşı tarafa da aynısını yapmalıyız.

.

Eğer buraya 9 eklediysek biz aslında 9 kere 9dan 81 eklemiş oluyoruz ve karşı tarafa da 81 ekleyerek denklemi koruyoruz.

.

.

.

.

.

Ve tabii ki buraya da 81 eklemeliyim.

Şimdi y'li terimlere bakalım.

Burada ortadaki terim -2.
-2'nin yarısı -1

.

Karesini alırsak 1 elde ederiz.

1 kere 4, 4 ettiği için aslında sol tarafa 4 eklemiş oluyoruz.

.

.

Sağ tarafa da 4 ekliyoruz.

.

.

Ve şimdi elimizde ne var?

Bu ifade 9 kere kaç?

Bu ifade 9 kere (x+3) oluyor. ve bu tarafta da 4 kere (y-1) oluyor.

.

.

.

Eğer bu yöntem zor geldiyse polinom faktorleme ve kareye tamamlamaya tekrar bakabilirsiniz.

.

.

Ve sonrasında artı 49 eşittir 0 artı 81 artı 4 ki bu da 85 e eşittir.

.

Tamam öyleyşe elimizde 9 kere x+3 ün karesi ve 4 kere y+1 in karesi var.

.

İki taraftan da 49'u çıkaralım.

Bu da eşittir 36.

.

.

Şimdi birşeylerin standat formuna yaklaşıyoruz ama hatırlayın yaptığımız bütün standart formlarından yola çıkarak bunun bir çember olmadığını biliyoruz.

.

.

Çünkü bunlar garip katsayılar, tamam garip değil ama değişik katsayılar.

.

Ve bu tarafın 1 olmasını sağlamak için hepsini 36'ya bölüyoruz.

.

Eğer herşeyi 36'ya bölersek bu terim 9/36 dan 1/4 olur yani x+3 kare bölü 4 olur.

.

Ve burada da 4/36'dan 1/9 yani y-1 kare bölü 9 olur.

Bu ikisinin toplamı da 1'e eşit olur.

Hadi bakalım.

Şimdi elimizde bir standart formumuz var ve burdan anlayabiliyoruz ki sorunun başındaki tahminimiz doğruymuş.

.

Bu bir elipsmiş öyleyse hani bunu grafiğe dökelim.

Öncelikle merkez çizmeye başlamak için güzel bir yer.

Peki elipsin merkez neresi olacak?

x şuan -3'e eşit.

Peki hangi sayı bu terimi 0'a eşitler?

Buna göre x -3 y de 1'e eşit oluyor.

.

hangi y bu terimi 0 yapar? 1.

Ve işte merkezimiz.

Bunun yerini gösterelim bu sayede elipsimizi çizebiliriz.

Bu elips negatif çeyrekte olacak.

Bu x bu da y eksenimiz.

Elipsimizin merkezi -3'e 1.

.

X yönünde yarıçap kaçtır?

Biz sadece kare kökünü aldık ki bu da 2.

Demek ki x yönünde 2 sağa gidiyoruz.

İki de sağa.

Peki y yönünde ne yapıyoruz?

Orada da 3 yukarı ve 3 aşağı gidiyoruz.

.

Yapıyorum...

.

Unutmayın ikisinin de karekökünü almalıyız.

Dik eksen büyük yarıçap ya da yarı büyük çap 3 çünkü o uzun olan.

.

Ve iki de küçük yarıçap çünkü o da küçük olan.

.

Ve şimdi elipsimizi çizmeye hazırız.

Kahverengiyle yapıyorum.

.

.

Evet, buna benziyor.

.

.

.

Sadece x ve y'yi karelerine tamamladık.

Sonrasında iki tarafı da böldük ve onları standart forma dönüştürdük.

.

Ve sonra bunun bir elips olduğuna karar verdik.

Evet şuan bütün terimleri bulduk ve bunlar pozitif. Bunları ekliyoruz çıkarmıyoruz, ve bunlar değişik katsayılara sahipler altlarında.

.

.

Şimdi elipsin üzerinden gitmeye hazırız, ve fark ettik ki merkez -3 e 1di o yüzden büyük ve küçük yarıçapları çizdik.

.

.

Bir sonraki videoda görüşmek üzere.

.