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Separable differential equations examples

  • 0:00 - 0:02
    이번 시간에는
  • 0:02 - 0:05
    분리할 수 있는
    미분방정식의
  • 0:05 - 0:07
    일반해를 구하는
    연습을 할 것입니다
  • 0:07 - 0:10
    x에 대한 y의 도함수인
  • 0:10 - 0:13
    dy/dx는
  • 0:13 - 0:16
    e^x / y 입니다
  • 0:16 - 0:19
    이 미분방정식의
  • 0:19 - 0:20
    일반해를 구해보세요
  • 0:20 - 0:21
    엄청한 힌트를 드리죠
  • 0:21 - 0:24
    이것은 분리할 수 있는
    미분방정식입니다
  • 0:24 - 0:25
    좋습니다
  • 0:25 - 0:27
    분리할 수 있는
    미분방정식에서
  • 0:27 - 0:30
    우선 한쪽에 y와 dy만 두고
  • 0:30 - 0:32
    다른 쪽에 x와 dx만 둡니다
  • 0:32 - 0:35
    이 미분들을 변수로
    다루어 보겠습니다
  • 0:35 - 0:37
    수학적으로
    논리가 허술하지만요
  • 0:37 - 0:38
    수학적으로
    논리가 허술하지만요
  • 0:38 - 0:39
    그래도 해볼게요
  • 0:39 - 0:44
    양변에 y를 곱하면
  • 0:44 - 0:47
    양변에 y를 곱하면
  • 0:47 - 0:48
    어떻게 되나요?
  • 0:48 - 0:51
    y · dy/dx = e^x 입니다
  • 0:51 - 0:55
    y · dy/dx = e^x 입니다
  • 0:56 - 1:02
    그리고 양변에
    dx를 곱합니다
  • 1:02 - 1:04
    상쇄되네요
  • 1:04 - 1:12
    남은 식은
    y·dy = e^x·dx 입니다
  • 1:12 - 1:16
    양변을 적분합니다
  • 1:16 - 1:18
    해보죠
  • 1:18 - 1:21
    ∫ y dy는 무엇일까요?
  • 1:21 - 1:23
    지수법칙을 역으로 이용합니다
  • 1:23 - 1:27
    지수가 증가하므로
    y는 1차식이고
  • 1:27 - 1:29
    부정적분을 취하면
  • 1:29 - 1:32
    y²이 됩니다
  • 1:32 - 1:35
    그리고 증가된 지수로
    나누어줍니다
  • 1:35 - 1:38
    재밌는 것은
    e^x의 부정적분은 e^x이고
  • 1:38 - 1:41
    도함수도 e^x라는 것입니다
  • 1:41 - 1:47
    따라서 e^x + C 입니다
  • 1:47 - 1:49
    따라서 e^x + C 입니다
  • 1:49 - 1:52
    이렇게 해도 되지만
  • 1:52 - 1:54
    사실은 이 식은
  • 1:54 - 1:56
    명백한 함수는
    아닙니다
  • 1:56 - 1:59
    y는 x의 명백한
    함수가 아닙니다
  • 1:59 - 2:02
    y = ±√(e^x + C) / 2 이지만
  • 2:02 - 2:05
    y = ±√(e^x + C) / 2 이지만
  • 2:05 - 2:09
    이 식이 분리할 수 있는
    미분방정식을 만족하는
  • 2:09 - 2:14
    일반적인 관계를
    잘 나타낸 식입니다
  • 2:14 - 2:16
    다른 예제를 풀어볼게요
  • 2:16 - 2:22
    dy/dx = y²sinx가 있습니다
  • 2:22 - 2:26
    dy/dx = y²sinx가 있습니다
  • 2:26 - 2:31
    dy/dx = y²sinx가 있습니다
  • 2:31 - 2:32
    강의를 멈추고
  • 2:32 - 2:34
    일반해를 구해보세요
  • 2:34 - 2:38
    이번에도
    y와 x를 구분하겠습니다
  • 2:38 - 2:40
    양변에 y^(-2)를 곱하면
  • 2:40 - 2:44
    양변에 y^(-2)를 곱하면
  • 2:44 - 2:47
    이 둘은 상쇄되고
  • 2:47 - 2:51
    양변에 dx를 곱하면
  • 2:51 - 2:54
    이 둘은 상쇄됩니다
  • 2:54 - 2:57
    따라서 정리하면
  • 2:57 - 3:05
    y^(-2)dy = sin(x)dx 입니다
  • 3:05 - 3:09
    이제 양변을
    적분하려고 합니다
  • 3:09 - 3:12
    y^(-2)의 부정적분은
    무엇일까요?
  • 3:12 - 3:15
    이번에도 지수법칙을
    역으로 이용합니다
  • 3:15 - 3:17
    지수가 증가하므로
    y^(-1)이 되고
  • 3:17 - 3:20
    새로운 지수로
    나누어야 하므로
  • 3:20 - 3:21
    새로운 지수로
    나누어야 하므로
  • 3:21 - 3:23
    -1로 나눕니다
  • 3:23 - 3:25
    그냥 마이너스 기호를
    붙이면 되겠네요
  • 3:25 - 3:29
    이 식은 다음과 같습니다
  • 3:29 - 3:32
    sinx의 부정적분은
    무엇일까요?
  • 3:32 - 3:34
    알아챘다시피
  • 3:34 - 3:37
    적분 안과 밖에
    마이너스를 붙입니다
  • 3:37 - 3:38
    -sinx의 부정적분은
  • 3:38 - 3:40
    cosx 입니다
  • 3:40 - 3:44
    따라서 전체 식은
    -cosx가 됩니다
  • 3:44 - 3:46
    다르게 나타내자면
  • 3:46 - 3:49
    양변에 -1을 곱하여
  • 3:49 - 3:52
    둘 다 양수로 만들고
  • 3:52 - 3:58
    따라서
    y^(-1) = cosx 가 됩니다
  • 3:58 - 3:59
    C를 더해주는 것을
    잊지 마세요
  • 3:59 - 4:01
    C를 더해주는 것을
    잊지 마세요
  • 4:01 - 4:04
    혹은 양변에
    역수를 취합니다
  • 4:04 - 4:07
    y를 구하면
  • 4:07 - 4:15
    y = 1/cosx + C
  • 4:15 - 4:18
    일반해가 나옵니다
  • 4:18 - 4:20
    이상입니다
  • 4:20 - 4:22
    이상하게도
    참 재밌었습니다
Title:
Separable differential equations examples
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:24

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