TITLE: Trigonomeetriliste funktsioonide ühikringjoone määratlus

Using the unit circle to extend the SOH CAH TOA definition of the basic trigonometric functions.

Ja nüüd me natuke sügavamalt uurime ühikringijoone.

ja vaatame, kuidas see aitab meid täiendada (ma arvan nii võib öelda) traditsioonilised

trigonomeetriliste funktsioonide määratlused SOH-CAH-TOA.

Ja siis ka rääkime sellest, kuidas kasutada ühikringjoone nurkade jaoks,

kus traditsioonilised määratlused SOH-CAH-TOA

ei saa meid aidata.

Kõigepealt kordame,

mis on siinus, koosinus ja tangens.

Ma kirjutan seda siin nurgas.

Ma ei taha palju kirjutada,

et mitte teid segadusse viia.

SOH-CAH-TOA.

Vabandust.

Siin on kõik segamini.

Täisnurkses kolmnurgas siinus -

on suhe vastupidise kaateti (täht O - inglise keeles «opposite» - vastupidine)

hüpotenuusile (inglise täht H tähendab «hypotenuse» - hüpotenuus).

Koosinus (tähistatud tähega C) - on suhe lähiskaateti (täht A - inglise keeles «adjacent», lähis)

hüpotenuusile (jällegi täht H tähendab hüpotenuusi).

Tangens (täht T) - suhe vastupidise kaateti (uuesti inglise keeles «opposite» - vastupidine)

lähiskaatetile (inglise keeles «adjacent», lähis).

Seda kõiki oli meil küllalt.

Aga kui see nurk on

vähem kui 90 kraadi?

Meil ei saa olla kaks täisnurka täisnurkses kolmnurgas.

Või, kui see nurk on suurem kui 90 kraadi?

Või kui ta on üldse negatiivne?

Sellepärast, kui sa mäletate eelmise video,

määratlemises me kasutame ühikringjoone.

Meenutame määratlust, mis on saadud läbi ühikringjoone.

Las ma kustutan seda.

Tra-la-la, tra-la-la.

Selle pildi ma võtsin, vist,

Wikipediast.

Tänu

selle ühikringjoone pildi loojale.

Niisiis, ühikringjoon hõlmab ka sellised juhused,

kus SOH-CAH-TOA mõiste raske kohaldada.

Selle määratluse kohaselt, kui meil on ühikringjoon,

aga meie pildi peal ta on olemas... ühikringjoon - see on lihtsalt ringjoon

keskpunktiga koordinaatide alguses, punktis (0,0),

ja raadiusega 1.

Niisiis, see lõikab telje X punktides (1,0) ja (-1,0),

ja telje Y - punktides (0,1) ja (0, -1).

Noh, meil on ühikringjoon ja kui me tahame anda määratlust,

siis alustame cos θ-ga. Võtame nurk

mis asub ühe ühikringjoone kahe raadiuse vahel.

Üks raadius on positiivne osa X-telje

punktide 0 ja 1 vahel.

Seega üks raadius võrdub sellele sirgjoonele siin.

Nüüd oletame, et meil on nurk ...

nimetame teda põhi raadiuseks ja mõnda teiseks raadiuseks

Näiteks, selleks ...

see on meie nurk.

Määramise järgi selle nurga koosinus

võrdub selle punkti X-koordinaadile

(punkti, kus raadius lõikub ühikringjoone), aga sinus

võrdub selle sama punkti Y-koordinaadile

mis lõikub ühikringjoone.

Näiteks antud juhul - kui te näete, mis siin kirjutatud on,

minu sirgjoone all - 30 ° = π / 6.

See tähendab, et see nurk on 30 kraadi või π / 6 radiaani.

Seega, vastavalt sellele määratlusele,

sin30 ° = ½, ja cos30 ° on

(√ 3) / 2.

Pange tähele, et siiamaani määratlus, mis on saadud läbi ühikringjoone,

langeb kokku traditsioonilise SOH-CAH-TOA määratlusega,

aga pärast te näete, et ta on universaalsem.

Vaatame, kuidas me liigume traditsioonilisest määratlusest

määratlusele läbi ühikringjoone.

Ja vaatame, kuidas need määratlused on üksteisega kooskõlas.

Las ma kustutan mõned asjad, mida ma siin kirjutasin.

Nüüd leian tööriistaribal "kustukummi".

Tahan kustutada kõik.

Kustutan ja nüüd tuleme tagasi "pliiatsi" juurde.

Ok.

Niisiis, ma olen valmis.

Tuleme tagasi meie nurka θ juurde.

Oletame, et θ.

Nagu oleme juba öelnud, see nurk on 30 ° või π / 6.

Tõmbame sirgjoone sellest punktist x-teljel.

Nagu näeme, ta on perpendikulaarne,

st see nurk on 90 kraadi.

Kui see nurk on 30 kraadi.

On see tõsi?

Nurk θ = 30 kraadi.

See nurk on 30, see - 90.

Millele võrdub see nurk?

See nurk on 60 kraadi, sest nende summa

peaks olema võrdne 180.

See on kolmnurk, mille nurgad on 30, 60 ja 90 kraadi.

See on huvitav.

Mis te mäletate kolmnurkadest, nurgadega 30, 60 ja 90 kraadi?

Kaatet, mis on 30 kraadi nurga vastas, võrdub pool

hüpotenuusi pikkuse.

Loodan, et see on teil meeles.

Ma ei taha segadusse viia.

See on kaatet, mis asub 30 kraadi nurga vastas.

On see tõsi?

Kus on hüpotenuus?

Siin on hüpotenuus.

Mis on selle hüpotenuusi pikkus?

Selle pikkus - 1, sest ta on - ühikringjoon,

aga see on - ühikringjoone raadius.

Niisiis hüpotenuusi pikkus - 1,

ja selle kaateti pikkus, mis asub 30 kraadi nurga vastas,

on võrdne ½.

On see õige?

Ma lihtsalt kasutan reeglit kolmnurkade jaoks, nurgadega 30, 60 ja 90 kraadi

mida me oleme juba näinud eelnevatel videotes.

Millele võrdub kaatet, mis on 60 kraadi nurga vastas?

See võrdub (√ 3) / 2,

korrutatud hüpotenuusile.

Nii oleme leidnud, et see kaatet on (√ 3/2),

Ja siis?

Nii oleme leidnud, et see kaatet on (√ 3/2),

ja see kaatet - ½.

Noh, midagi me võime välja arvestada.

Lihtsalt vaadates selle peale,

saame kohe nimetada selle punkti koordinaadid?

Tema X-koordinaat on siin.

On see tõsi?

Tema X-koordinaat - ruutjuur 3/2.

Siin see on.

See on kaugus.

Ja tema Y-koordinaat on selle täisnurkse kolmnurga külje

pikkus, või ½.

Ja mis meil tuleb välja.

See oli juba antud meile.

X-koordinaat - (√ 3) / 2,

ja Y-koordinaat - ½.

Nüüd tahan teile selgitada, miks X-koordinaat

võib arvestada koosinuseks θ ja miks Y-koordinaat

võib arvestada siinuseks θ.

Mida meile ütleb SOH-CAH-TOA traditsiooniline siinuse, koosinuse ja tangensi mõiste?

Alustame koosinusest.

SOH-CAH-TOA

CAH.

Koosinus - suhe lähiskaateti (A) hüpotenuusile (H), eks?

Kolmnurgas, mida ma joonistasin,

kus on lähiskaatet?

Eks?

Ma pean silmas selle 30 kraadi nurga lähiskaateti,

sest me püüame leida tema koosinuse.

Selle nurga lähiskaatet, muidugi, siin.

On see õige?

See on võrdne (√ 3) / 2.

Me seda just leidsime.

Kus on tema hüpotenuus?

Siin on hüpotenuus, mille pikkus on 1,

sest see on ühikringjoon, aga see on tema raadius.

Nii et vastavalt SOH-CAH-TOA selle nurga koosinus

on võrdne (√ 3) / 2 (see on lähiskaatet)

jagatud 1-le (see on hüpotenuus).

See tähendab, et (√ 3) / 2 on X-koordinaat.

See tähendab, et (√ 3) / 2 on X-koordinaat.

Sama asi sinusega, SOH.

Siinus on suhe vastupidise kaateti (D) hüpotenuusile (H).

Millele võrdub vastupidine kaatet?

Ta võrdub ½.

Hüpotenuus võrdub 1.

St siinus - see on lihtsalt ½, jagatud 1-le.

Siin ta meil on.

Seega määratlus, mis on saadud läbi ühikringjoone

muidugi ei tühista SOH-CAH-TOA,

see lihtsalt laiendab seda.

Tavapärane reegel sobib nurkadele 30, 45

või 60 kraadi.

Aga 90 kraadise nurga jaoks

kasutada SOH-CAH-TOA muutub keerulisemaks.

Te püüate joonistada täisnurkne kolmnurk kahe täisnurgaga,

ja muidugi, teil ei tule see välja.

Eriti kui teil on nurgad üle 90 kraadi

või isegi negatiivsed nurgad.

Meie ühikringjoones ei ole see kindlaks määratud, kuid tegelikult nurk 330 kraadi -

on sama, mis negatiivne nurk 30 kraadi, sest te saate liikuda

ringjoone mõlemas suunas.

Võite minna ringi.

Te võiksite leida siinuse või koosinuse, näiteks

miljoni kraadi nurga, kui oleksite seda tsükli teinud mitu korda.

Loodan, et te saite aru, kuidas me saime koosinuse ja siinuse funktsioone

väärtused ühikringjoone abil.

Te ju mäletate, et tangens - see on suhe

siinuse koosinusele või Y / X.

Tema määratlemiseks, saate kasutada ka

ühikringjoone.

Ma jätan teile harjutamiseks ülesanded leida kõik

ülejäänud väärtused, kasutades ühikringjoone,

ja seda mida te teate kolmnurkadest, nurgadega 30, 60 ja 90,

ja kolmnurgadest nurgadega 45, 45 ja 90,

samuti Pythagorase teoreemi.

Te peate leidma kõik need väärtused,

mis asuvad ringkujuliselt.

Loodan, et see aitas teid.

Kohtumiseni.