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Ora studieremo la circonferenza unitaria un po' di piu'
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e vedremo come estende, suppongo che potremmo dire, la definizione tradizionale
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delle funzioni SOH CAH TOA
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e come la possiamo usare per risolvere gli angoli
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per cui la definizione SOH CAH TOA delle funzioni trigonometriche in realta'
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non ci aiuta.
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Quindi come ripasso, ricordiamoci cosa
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ci dice SOH CAH TOA.
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Non so come --- SOH CAH TOA.
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Lo scrivo qui in quest'angolo.
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Non voglio che diventi troppo confuso, perche' non voglio
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troppo scriverci sopra.
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SOH CAH TOA.
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E ci dice --- scusa.
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E' tutto incasinato qui sopra.
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Questo ci dice che se abbiamo un triangolo rettangolo, che il seno di un
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angolo nel triangolo rettangolo e' uguale al lato opposto
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sull'ipotenusa,
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il coseno di un angolo e' uguale al lato
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adiacente sull'ipotenusa
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e la tangente e' uguale all'opposto
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sul lato adiacente.
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E ci andava bene.
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Ma se ci pensi, che succede quando l'angolo
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si avvicina a 90 gradi?
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Perche' non puoi avere 2 angoli di 90 gradi in un triangolo rettangolo.
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O che succede quando un angolo e' maggiore di 90 gradi?
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O quando diventa negativo?
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Ed ecco perche', se ti ricordi i video precedenti,
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perche' abbiamo avuto bisogno della definizione di circonferenza unitaria.
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Percio' ripassiamo la definizione di circonferenza unitaria.
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Fammi cancellare qui.
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Dam di-dam di-dam.
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Fammi cancellare ---
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in realta' questa circonferenza unitaria
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mi sa che l'ho presa da Wikipedia.
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Ma voglio dare il giusto credito a chiunque sia la persona
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da cui l'ho preso, questo disegno della circonferenza unitaria.
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Ma la circonferenza unitaria tipo estende quella
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definizione SOH CAH TOA.
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Ci dice che se abbiamo una circonferenza unitaria ---
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e questo qui e' un disegno di una circonferenza unitaria.
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Una circonferenza unitaria e' solo un cerchio
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centrato sull'origine, centrato sul punto (0, 0)
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ed ha raggio 1.
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Quindi interseca l'asse x a (1, 0) e (-1, 0).
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Interseca l'asse y a (0, 1) e (0, -1).
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Se abbiamo una circonferenza unitaria definiamo ---
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diciamo solo, cominciamo col coseno di theta ---
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sefiniamo il coseno di theta come:
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prendiamo un angolo che sta tra due raggi in questa circonferenza unitaria.
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E uno dei raggi sara' l'asse x positivo
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tra 0 e 1.
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Percio' un raggio sara' questa retta qui.
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E poi abbiamo l'angolo --- l'angolo tra ---
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puoi tipo vederlo come --- il raggio di base e un qualche altro raggio.
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Quindi prendiamo questo caso qui.
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E questo sarabbe il nostro angolo.
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La definizione di circonferenza unitaria ci dice che il coseno
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di quest'angolo e' uguale alla coordinata x dove questo raggio
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interseca questa circonferenza unitaria e il che seno di questa funzione
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e' uguale alla coordinata y dove questo punto interseca
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la circonferenza unitaria.
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Quindi per esempio in questo caso --- se riesci a leggere dietro
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la mia retta --- questo dice 30 gradi uguale p greco sesti.
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Quindi quest'angolo qui e' uguale a 30 gradi o p greco sesti radianti.
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E quello che questa definizione ci dice e' che
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il seno di 30 gradi e' 1/2 e che il coseno di 30 gradi
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e' radice quadrata di 3/2.
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E quello che ti voglio mostrare e' che la definizione di circonferenza
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unitaria in realta' coincide con la nostra definizione
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SOH CAH TOA, pero' poi la estende.
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Quindi vediamo come arrivare dalla definizione
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SOH CAH TOA alla definizione di circonferenza unitaria e perche'
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in realta' sono consistenti tra loro.
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Allora, fammi cancellare un po' di quello che ho scritto qui.
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Fammi prendere lo strumento per cancellare.
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Cancello quello che avevo.
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Allora fammi tornare allo strumento penna, lo metto di nuovo piccolo.
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OK.
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Penso di stare a posto.
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Torniamo a quel theta.
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Diciamo che questo e' il theta.
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E come abbiamo detto, quest'angolo e' 30 gradi o p greco sesti.
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Tiriamo giu' una retta da quel punto all'asse x.
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E vediamo che questa retta e' perpendicolare, percio' questo
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e' un angolo di 90 gradi.
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E se questo qui e' un angolo di 90 gradi --- questo e' 30.
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Giusto?
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Theta = 30.
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Questo e' 30, questo e' 90.
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Quant'e' quest'angolo?
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Beh, questo e' un angolo di 60 gradi, perche' la
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somma e' 180.
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Percio' questo e' un triangolo 30-60-90.
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Interessante.
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E cosa ti ricordi sui triangoli 30-60-90?
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Beh, il lato opposto al lato di 30 gradi e' 1/2
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della lunghezza dell'ipotenusa.
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Spero che te lo ricordi.
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Non voglio confonderti troppo.
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Percio' il lato opposto al lato di 30 gradi.
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Giusto?
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E qual e' l'ipotenusa.
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Questa e' l'ipotenusa.
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E qual e' la lunghezza dell'ipotenusa?
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Beh, e' 1, perche' questa e' una circonferenza unitaria e questo e' il
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raggio della circonferenza unitaria.
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Quindi la lunghezza dell'ipotenusa e' 1 e quindi la
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lunghezza di questo lato, che e' opposto all'angolo
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di 30 gradi, sara' 1/2.
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Giusto?
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E sto solo usando i triangolo 30-60-90 che
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abbiamo fatto nei video precedenti.
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E quant'e' il lato opposto al lato di 60 gradi?
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Beh di nuovo e' radice quadrata di 3/2
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per l'ipotenusa.
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E quindi e' radice quadrata di 3/2.
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Giusto?
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Quindi possiamo capire che questo lato e' la radice quadrata di 3/2
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e che questo lato e' 1/2.
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Quindi un paio di cose le possiamo capire.
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Semplicemente guardando questo possiamo dire immediatamente: beh, quali
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sono le coordinate di questo punto?
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Beh, la coordinata x sta qui.
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Giusto?
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La coordinata x sarebbe la radice quadrata di 3/2.
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E' questa qui.
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Questa distanza.
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E la sua coordinata y sarebbe la lunghezza di questo lato
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di questo triangolo rettangolo, o 1/2.
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E ce l'abbiamo qui.
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Ce l'avevano gia' scritta.
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La coordinata x e' la radice quadrata di 3/2 e
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la coordinata y e' 1/2.
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E ora quello che voglio mostrarti e' perche' questa coordinata x
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puo' essere presa come il coseno di theta e perche' questa coordinata y
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puo' essere presa come seno di theta.
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Beh cosa ci dice SOH CAH TOA?
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Beh cominciamo col coseno.
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Allora, SOH CAH TOA.
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Quindi CAH.
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Coseno e' adiacente su ipotenusa, giusto?
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Beh, in questo triangolo che ho appena disegnato qual e' il lato
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adiacente a quest'angolo?
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Giusto?
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Perche' stiamo tentando di calcolare il coseno di
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quest'angolo, questi 30 gradi.
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Beh il lato adiacente a quest'angolo e', ovviamente, questo lato.
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Giusto?
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Quindi l'adiacente e' radice quadrata di 3/2.
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L'abbiamo appena capito.
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E quant'e' l'ipotenusa?
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Beh, l'ipotenusa e' questo lato, che ha lunghezza 1
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perche' era la circonferenza unitaria e questo ne e' il raggio.
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Percio' il coseno di quest'angolo usando la definizione
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SOH CAH TOA e' radice quadrata di 3 --- il lato adiacente ---
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sull'ipotenusa 1.
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Quindi radice quadrata di 3/2 su 1, che e' radice quadrata
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di 3/1, che era la stessa della coordinata x.
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Allo stesso modo possiamo guardare il SOH.
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Seno uguale opposto su ipotenusa.
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Beh qual e' il lato opposto?
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E' 1/2.
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E qui l'ipotenusa e' 1.
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Quindi il seno e' semplicemente 1/2 su 1.
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E quindi qui ce l'abbiamo.
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Quindi ecco perche' la definizione della circonferenza unitaria e' tipo
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una definizione che rimpiazza la definizione SOH CAH TOA, e'
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semplicemente solo un'estensione che ci permette --- voglio dire, per 30
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gradi SOH CAH TOA funzionava, per 45 gradi SOH CAH TOA funzionava,
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per 60 gradi funzionerebbe.
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Ma una volta che arrivi a 90 diventa un po piu'
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difficile se usi il SOH CAH TOA tradizione e
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provi a disegnare un triangolo rettangolo che ha due angoli di 90 gradi ---
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perche' non puoi.
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E specialmente una volta che hai angoli maggiori di 90
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o angoli che in realta' possono essere negativi.
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Non e' disegnato qui nella circonferenza unitaria, ma 330 gradi e'
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lo stesso che 30 gradi negativo, perche' potresti andare
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da tutte e due le parti nel cerchio.
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E potresti continuare a girare intorno al cerchio.
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Puoi calcolare il seno e il coseno di, sai, 1
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milione di gradi e continui a girare intorno al cerchio.
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Quindi spero che ti dia un'idea della definizione della
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circonferenza unitaria delle funzioni seno e coseno.
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E, ovviamente, la funzione tangente e' sempre solo
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il seno sul coseno, o la y sulla x.
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E puoi usare la definizione di circonferenza
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unitaria anche per quello.
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Ti lascio come esercizio il provare a derivare
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tutti questi altri valori usando questa circonferenza unitaria e usando
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quello che gia' sai sui triangoli 30-60-90 e quello che
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gia' sai sui triangolo 45-45-90, o quello che gia'
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sai sul teorema di Pitagora.
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E dovresti essere in grado di calcolare tutti i valori
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girando attorno alla circonferenza unitaria.
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Spero ti sia stato utile.
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Ci vediamo presto.