< Return to Video

La definizione della circonferenza unitaria delle funzioni trigonometriche

  • 0:01 - 0:03
    Ora studieremo la circonferenza unitaria un po' di piu'
  • 0:03 - 0:08
    e vedremo come estende, suppongo che potremmo dire, la definizione tradizionale
  • 0:08 - 0:11
    delle funzioni SOH CAH TOA
  • 0:11 - 0:15
    e come la possiamo usare per risolvere gli angoli
  • 0:15 - 0:18
    per cui la definizione SOH CAH TOA delle funzioni trigonometriche in realta'
  • 0:18 - 0:20
    non ci aiuta.
  • 0:20 - 0:22
    Quindi come ripasso, ricordiamoci cosa
  • 0:22 - 0:23
    ci dice SOH CAH TOA.
  • 0:23 - 0:25
    Non so come --- SOH CAH TOA.
  • 0:25 - 0:27
    Lo scrivo qui in quest'angolo.
  • 0:31 - 0:33
    Non voglio che diventi troppo confuso, perche' non voglio
  • 0:33 - 0:34
    troppo scriverci sopra.
  • 0:34 - 0:37
    SOH CAH TOA.
  • 0:37 - 0:38
    E ci dice --- scusa.
  • 0:38 - 0:39
    E' tutto incasinato qui sopra.
  • 0:39 - 0:44
    Questo ci dice che se abbiamo un triangolo rettangolo, che il seno di un
  • 0:44 - 0:48
    angolo nel triangolo rettangolo e' uguale al lato opposto
  • 0:48 - 0:49
    sull'ipotenusa,
  • 0:49 - 0:51
    il coseno di un angolo e' uguale al lato
  • 0:51 - 0:53
    adiacente sull'ipotenusa
  • 0:53 - 0:55
    e la tangente e' uguale all'opposto
  • 0:55 - 0:56
    sul lato adiacente.
  • 0:56 - 0:57
    E ci andava bene.
  • 0:57 - 1:00
    Ma se ci pensi, che succede quando l'angolo
  • 1:00 - 1:01
    si avvicina a 90 gradi?
  • 1:01 - 1:04
    Perche' non puoi avere 2 angoli di 90 gradi in un triangolo rettangolo.
  • 1:04 - 1:07
    O che succede quando un angolo e' maggiore di 90 gradi?
  • 1:07 - 1:09
    O quando diventa negativo?
  • 1:09 - 1:12
    Ed ecco perche', se ti ricordi i video precedenti,
  • 1:12 - 1:15
    perche' abbiamo avuto bisogno della definizione di circonferenza unitaria.
  • 1:15 - 1:18
    Percio' ripassiamo la definizione di circonferenza unitaria.
  • 1:18 - 1:21
    Fammi cancellare qui.
  • 1:21 - 1:22
    Dam di-dam di-dam.
  • 1:25 - 1:26
    Fammi cancellare ---
  • 1:26 - 1:27
    in realta' questa circonferenza unitaria
  • 1:27 - 1:28
    mi sa che l'ho presa da Wikipedia.
  • 1:28 - 1:31
    Ma voglio dare il giusto credito a chiunque sia la persona
  • 1:31 - 1:35
    da cui l'ho preso, questo disegno della circonferenza unitaria.
  • 1:35 - 1:38
    Ma la circonferenza unitaria tipo estende quella
  • 1:38 - 1:39
    definizione SOH CAH TOA.
  • 1:39 - 1:42
    Ci dice che se abbiamo una circonferenza unitaria ---
  • 1:42 - 1:43
    e questo qui e' un disegno di una circonferenza unitaria.
  • 1:43 - 1:44
    Una circonferenza unitaria e' solo un cerchio
  • 1:44 - 1:48
    centrato sull'origine, centrato sul punto (0, 0)
  • 1:48 - 1:50
    ed ha raggio 1.
  • 1:50 - 1:55
    Quindi interseca l'asse x a (1, 0) e (-1, 0).
  • 1:55 - 1:59
    Interseca l'asse y a (0, 1) e (0, -1).
  • 1:59 - 2:03
    Se abbiamo una circonferenza unitaria definiamo ---
  • 2:03 - 2:06
    diciamo solo, cominciamo col coseno di theta ---
  • 2:06 - 2:09
    sefiniamo il coseno di theta come:
  • 2:09 - 2:15
    prendiamo un angolo che sta tra due raggi in questa circonferenza unitaria.
  • 2:15 - 2:20
    E uno dei raggi sara' l'asse x positivo
  • 2:20 - 2:21
    tra 0 e 1.
  • 2:21 - 2:25
    Percio' un raggio sara' questa retta qui.
  • 2:25 - 2:31
    E poi abbiamo l'angolo --- l'angolo tra ---
  • 2:31 - 2:33
    puoi tipo vederlo come --- il raggio di base e un qualche altro raggio.
  • 2:33 - 2:38
    Quindi prendiamo questo caso qui.
  • 2:38 - 2:41
    E questo sarabbe il nostro angolo.
  • 2:41 - 2:46
    La definizione di circonferenza unitaria ci dice che il coseno
  • 2:46 - 2:51
    di quest'angolo e' uguale alla coordinata x dove questo raggio
  • 2:51 - 2:56
    interseca questa circonferenza unitaria e il che seno di questa funzione
  • 2:56 - 2:59
    e' uguale alla coordinata y dove questo punto interseca
  • 2:59 - 3:00
    la circonferenza unitaria.
  • 3:00 - 3:05
    Quindi per esempio in questo caso --- se riesci a leggere dietro
  • 3:05 - 3:08
    la mia retta --- questo dice 30 gradi uguale p greco sesti.
  • 3:08 - 3:14
    Quindi quest'angolo qui e' uguale a 30 gradi o p greco sesti radianti.
  • 3:18 - 3:22
    E quello che questa definizione ci dice e' che
  • 3:22 - 3:27
    il seno di 30 gradi e' 1/2 e che il coseno di 30 gradi
  • 3:27 - 3:30
    e' radice quadrata di 3/2.
  • 3:30 - 3:32
    E quello che ti voglio mostrare e' che la definizione di circonferenza
  • 3:32 - 3:35
    unitaria in realta' coincide con la nostra definizione
  • 3:35 - 3:37
    SOH CAH TOA, pero' poi la estende.
  • 3:37 - 3:40
    Quindi vediamo come arrivare dalla definizione
  • 3:40 - 3:43
    SOH CAH TOA alla definizione di circonferenza unitaria e perche'
  • 3:43 - 3:44
    in realta' sono consistenti tra loro.
  • 3:44 - 3:49
    Allora, fammi cancellare un po' di quello che ho scritto qui.
  • 3:49 - 3:52
    Fammi prendere lo strumento per cancellare.
  • 3:52 - 3:55
    Cancello quello che avevo.
  • 3:59 - 4:08
    Allora fammi tornare allo strumento penna, lo metto di nuovo piccolo.
  • 4:08 - 4:09
    OK.
  • 4:09 - 4:11
    Penso di stare a posto.
  • 4:11 - 4:14
    Torniamo a quel theta.
  • 4:14 - 4:17
    Diciamo che questo e' il theta.
  • 4:17 - 4:23
    E come abbiamo detto, quest'angolo e' 30 gradi o p greco sesti.
  • 4:23 - 4:29
    Tiriamo giu' una retta da quel punto all'asse x.
  • 4:29 - 4:31
    E vediamo che questa retta e' perpendicolare, percio' questo
  • 4:31 - 4:32
    e' un angolo di 90 gradi.
  • 4:36 - 4:40
    E se questo qui e' un angolo di 90 gradi --- questo e' 30.
  • 4:40 - 4:40
    Giusto?
  • 4:40 - 4:42
    Theta = 30.
  • 4:42 - 4:44
    Questo e' 30, questo e' 90.
  • 4:44 - 4:44
    Quant'e' quest'angolo?
  • 4:44 - 4:46
    Beh, questo e' un angolo di 60 gradi, perche' la
  • 4:46 - 4:47
    somma e' 180.
  • 4:47 - 4:49
    Percio' questo e' un triangolo 30-60-90.
  • 4:49 - 4:50
    Interessante.
  • 4:50 - 4:53
    E cosa ti ricordi sui triangoli 30-60-90?
  • 4:53 - 4:58
    Beh, il lato opposto al lato di 30 gradi e' 1/2
  • 4:58 - 5:00
    della lunghezza dell'ipotenusa.
  • 5:00 - 5:00
    Spero che te lo ricordi.
  • 5:00 - 5:03
    Non voglio confonderti troppo.
  • 5:03 - 5:06
    Percio' il lato opposto al lato di 30 gradi.
  • 5:06 - 5:07
    Giusto?
  • 5:07 - 5:08
    E qual e' l'ipotenusa.
  • 5:08 - 5:09
    Questa e' l'ipotenusa.
  • 5:09 - 5:11
    E qual e' la lunghezza dell'ipotenusa?
  • 5:11 - 5:13
    Beh, e' 1, perche' questa e' una circonferenza unitaria e questo e' il
  • 5:13 - 5:15
    raggio della circonferenza unitaria.
  • 5:15 - 5:19
    Quindi la lunghezza dell'ipotenusa e' 1 e quindi la
  • 5:19 - 5:21
    lunghezza di questo lato, che e' opposto all'angolo
  • 5:21 - 5:23
    di 30 gradi, sara' 1/2.
  • 5:23 - 5:24
    Giusto?
  • 5:24 - 5:29
    E sto solo usando i triangolo 30-60-90 che
  • 5:29 - 5:30
    abbiamo fatto nei video precedenti.
  • 5:30 - 5:34
    E quant'e' il lato opposto al lato di 60 gradi?
  • 5:34 - 5:36
    Beh di nuovo e' radice quadrata di 3/2
  • 5:36 - 5:38
    per l'ipotenusa.
  • 5:38 - 5:40
    E quindi e' radice quadrata di 3/2.
  • 5:43 - 5:43
    Giusto?
  • 5:43 - 5:46
    Quindi possiamo capire che questo lato e' la radice quadrata di 3/2
  • 5:46 - 5:50
    e che questo lato e' 1/2.
  • 5:50 - 5:52
    Quindi un paio di cose le possiamo capire.
  • 5:52 - 5:54
    Semplicemente guardando questo possiamo dire immediatamente: beh, quali
  • 5:54 - 5:56
    sono le coordinate di questo punto?
  • 5:56 - 5:58
    Beh, la coordinata x sta qui.
  • 5:58 - 5:59
    Giusto?
  • 5:59 - 6:02
    La coordinata x sarebbe la radice quadrata di 3/2.
  • 6:02 - 6:03
    E' questa qui.
  • 6:03 - 6:04
    Questa distanza.
  • 6:04 - 6:08
    E la sua coordinata y sarebbe la lunghezza di questo lato
  • 6:08 - 6:09
    di questo triangolo rettangolo, o 1/2.
  • 6:09 - 6:10
    E ce l'abbiamo qui.
  • 6:10 - 6:12
    Ce l'avevano gia' scritta.
  • 6:12 - 6:14
    La coordinata x e' la radice quadrata di 3/2 e
  • 6:14 - 6:16
    la coordinata y e' 1/2.
  • 6:16 - 6:20
    E ora quello che voglio mostrarti e' perche' questa coordinata x
  • 6:20 - 6:24
    puo' essere presa come il coseno di theta e perche' questa coordinata y
  • 6:24 - 6:25
    puo' essere presa come seno di theta.
  • 6:25 - 6:27
    Beh cosa ci dice SOH CAH TOA?
  • 6:27 - 6:29
    Beh cominciamo col coseno.
  • 6:29 - 6:31
    Allora, SOH CAH TOA.
  • 6:31 - 6:31
    Quindi CAH.
  • 6:35 - 6:38
    Coseno e' adiacente su ipotenusa, giusto?
  • 6:45 - 6:49
    Beh, in questo triangolo che ho appena disegnato qual e' il lato
  • 6:49 - 6:50
    adiacente a quest'angolo?
  • 6:50 - 6:51
    Giusto?
  • 6:51 - 6:52
    Perche' stiamo tentando di calcolare il coseno di
  • 6:52 - 6:54
    quest'angolo, questi 30 gradi.
  • 6:54 - 6:57
    Beh il lato adiacente a quest'angolo e', ovviamente, questo lato.
  • 6:57 - 6:58
    Giusto?
  • 6:58 - 7:00
    Quindi l'adiacente e' radice quadrata di 3/2.
  • 7:00 - 7:02
    L'abbiamo appena capito.
  • 7:02 - 7:03
    E quant'e' l'ipotenusa?
  • 7:03 - 7:08
    Beh, l'ipotenusa e' questo lato, che ha lunghezza 1
  • 7:08 - 7:11
    perche' era la circonferenza unitaria e questo ne e' il raggio.
  • 7:11 - 7:14
    Percio' il coseno di quest'angolo usando la definizione
  • 7:14 - 7:17
    SOH CAH TOA e' radice quadrata di 3 --- il lato adiacente ---
  • 7:17 - 7:18
    sull'ipotenusa 1.
  • 7:18 - 7:21
    Quindi radice quadrata di 3/2 su 1, che e' radice quadrata
  • 7:21 - 7:25
    di 3/1, che era la stessa della coordinata x.
  • 7:25 - 7:27
    Allo stesso modo possiamo guardare il SOH.
  • 7:27 - 7:31
    Seno uguale opposto su ipotenusa.
  • 7:36 - 7:37
    Beh qual e' il lato opposto?
  • 7:37 - 7:38
    E' 1/2.
  • 7:38 - 7:40
    E qui l'ipotenusa e' 1.
  • 7:40 - 7:43
    Quindi il seno e' semplicemente 1/2 su 1.
  • 7:43 - 7:45
    E quindi qui ce l'abbiamo.
  • 7:45 - 7:47
    Quindi ecco perche' la definizione della circonferenza unitaria e' tipo
  • 7:47 - 7:50
    una definizione che rimpiazza la definizione SOH CAH TOA, e'
  • 7:50 - 7:53
    semplicemente solo un'estensione che ci permette --- voglio dire, per 30
  • 7:53 - 7:56
    gradi SOH CAH TOA funzionava, per 45 gradi SOH CAH TOA funzionava,
  • 7:56 - 7:58
    per 60 gradi funzionerebbe.
  • 7:58 - 7:59
    Ma una volta che arrivi a 90 diventa un po piu'
  • 7:59 - 8:02
    difficile se usi il SOH CAH TOA tradizione e
  • 8:02 - 8:04
    provi a disegnare un triangolo rettangolo che ha due angoli di 90 gradi ---
  • 8:04 - 8:05
    perche' non puoi.
  • 8:05 - 8:08
    E specialmente una volta che hai angoli maggiori di 90
  • 8:08 - 8:11
    o angoli che in realta' possono essere negativi.
  • 8:11 - 8:15
    Non e' disegnato qui nella circonferenza unitaria, ma 330 gradi e'
  • 8:15 - 8:17
    lo stesso che 30 gradi negativo, perche' potresti andare
  • 8:17 - 8:18
    da tutte e due le parti nel cerchio.
  • 8:18 - 8:19
    E potresti continuare a girare intorno al cerchio.
  • 8:19 - 8:22
    Puoi calcolare il seno e il coseno di, sai, 1
  • 8:22 - 8:26
    milione di gradi e continui a girare intorno al cerchio.
  • 8:26 - 8:28
    Quindi spero che ti dia un'idea della definizione della
  • 8:28 - 8:31
    circonferenza unitaria delle funzioni seno e coseno.
  • 8:31 - 8:33
    E, ovviamente, la funzione tangente e' sempre solo
  • 8:33 - 8:37
    il seno sul coseno, o la y sulla x.
  • 8:37 - 8:39
    E puoi usare la definizione di circonferenza
  • 8:39 - 8:40
    unitaria anche per quello.
  • 8:40 - 8:44
    Ti lascio come esercizio il provare a derivare
  • 8:44 - 8:48
    tutti questi altri valori usando questa circonferenza unitaria e usando
  • 8:48 - 8:53
    quello che gia' sai sui triangoli 30-60-90 e quello che
  • 8:53 - 8:57
    gia' sai sui triangolo 45-45-90, o quello che gia'
  • 8:57 - 8:58
    sai sul teorema di Pitagora.
  • 8:58 - 9:01
    E dovresti essere in grado di calcolare tutti i valori
  • 9:01 - 9:04
    girando attorno alla circonferenza unitaria.
  • 9:04 - 9:06
    Spero ti sia stato utile.
  • 9:06 - 9:08
    Ci vediamo presto.
Title:
La definizione della circonferenza unitaria delle funzioni trigonometriche
Description:

Using the unit circle to extend the SOH CAH TOA definition of the basic trigonometric functions.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:07
Simona Colapicchioni added a translation Jan 21, 2012, 2:56 PM

Italian subtitles

Revisions

  • Simona Colapicchioni Jan 21, 2012, 2:56 PM