The unit circle definition of trigonometric function

Using the unit circle to extend the SOH CAH TOA definition of the basic trigonometric functions.

Сейчас мы немного глубже рассмотрим единичную окружность

и посмотрим, как она поможет нам дополнить (думаю, я могу так выразиться) традиционные

определения тригонометрических функций SOH-CAH-TOA.

А также поговорим о том, как использовать единичную окружность для углов,

с которыми традиционные SOH-CAH-TOA определения

не могут нам помочь.

Для начала давайте повторим,

что такое синус, косинус и тангенс.

Я напишу это здесь в углу.

Я не хочу много писать,

чтобы не запутать вас.

SOH-CAH-TOA.

Извините.

Здесь все перемешалось.

В прямоугольном треугольнике синус –

это отношение противолежащего катета (буква O – от английского «opposite» – противолежащий)

к гипотенузе (англ. буква H обозначает «hypotenuse» – гипотенуза).

Косинус (обозначаем буквой С) – это отношение прилежащего катета (буква А – от английского «adjacent», прилежащий)

к гипотенузе (опять таки, буква H обозначает гипотенузу).

Тангенс (буква Т) – это отношение противолежащего катета (снова от английского «opposite» – противолежащий)

к прилежащему (от английского «adjacent», прилежащий).

Этого всего нам до сих пор было достаточно.

Но что если этот угол

меньше 90 градусов?

У нас не может быть два прямых угла в прямоугольном треугольнике.

Или что если этот угол больше 90 градусов?

Или если он вообще отрицательный?

Вот зачем, если вы помните предыдущее видео,

в определении мы используем единичную окружность.

Давайте вспомним определение, выведенное через единичную окружность.

Давайте я это вытру.

Тра-ля-ля, тра-ля-ля.

Вот этот рисунок я, кажется, взял

из Википедии.

Спасибо создателю

этого рисунка единичной окружности.

Так вот, единичная окружность охватывает и те случаи,

где SOH-CAH-TOA определение трудно применить.

Согласно этому определению, если у нас есть единичная окружность,

а это у нас на рисунке она и есть… единичная окружность – это просто окружность

с центром в начале координат, в точке (0,0),

и с радиусом 1.

Итак, она пересекает ось Х в точках (1,0) и (-1,0),

а ось Y – в точках (0,1) и (0,-1).

Что же, у нас есть единичная окружность, и если мы хотим давать определение,

тогда давайте начнем с cosθ. Давайте возьмем угол,

который расположен между двумя радиусами этой единичной окружности.

Один радиус будет положительной частью оси Х

между точками 0 и 1.

Значит, один радиус будет вот эта прямая здесь.

Теперь, допустим, у нас есть угол между…

назовем его основным радиусом и каким-то другим радиусом,

например, вот этим…

это будет наш угол.

По определению косинус

этого угла равен Х-координате этой точки

(точки, в которой радиус пересекает единичную окружность), а синус

равен Y-координате этой же точки.

Например, в этом случае – если вам видно то, что написано

под моей прямой – 30°=π/6.

То есть этот угол равен 30 градусам или π/6 радиан.

Итак, согласно этому определению,

sin30°=½, а cos30° равен

(√3)/2.

Обратите внимание на то, что пока что определение, выведенное через единичную окружность,

совпадает с традиционным SOH-CAH-TOA определением,

но потом вы увидите, что оно более универсально.

Посмотрим, как нам перейти от традиционного определения

к определению через единичную окружность.

И посмотрим, как эти определения согласуются друг с другом.

Давайте я сотру кое-что из того, что я здесь написал.

Сейчас найду на панели инструментов «ластик»,

Я хочу все стереть.

Вытру, а теперь вернемся снова к «перу».

Ок.

Итак, я готов.

Вернемся к нашему углу θ.

Допустим, это θ.

Как мы уже говорили, этот угол равен 30° или π/6.

Давайте проведем прямую из этой точки на оси Х.

Как мы видим, она перпендикулярна,

то есть это угол 90 градусов.

Если это у нас угол 30 градусов.

Верно?

Угол θ=30 градусам.

Этот угол равен 30, этот - 90.

Чему равен этот угол?

Этот угол равен 60 градусам, потому что их сумма

должна равняться 180.

То есть это треугольник с углами 30, 60 и 90 градусов.

Интересно.

А что вы помните о треугольниках с углами 30, 60 и 90 градусов?

Катет, противолежащий углу 30 градусов, равен половине

длины гипотенузы.

Надеюсь, вы это помните.

Не хочу вас запутать.

Это катет, лежащий напротив угла 30 градусов.

Верно?

А где гипотенуза?

Вот гипотенуза.

Какова длина этой гипотенузы?

Ее длина – 1, потому что это – единичная окружность,

а это – радиус единичной окружности.

Значит длина гипотенузы – 1,

а длина этого катета, который лежит напротив угла 30 градусов,

будет равна ½.

Правильно?

Я просто использую правило для треугольников с углами 30, 60 и 90 градусов,

которое мы уже рассматривали в предыдущих видео.

А чему равен катет, противолежащий углу 60 градусов?

Он равен (√3)/2,

умноженному на гипотенузу.

Значит мы нашли, что этот катет равен (√3/2),

Так?

Значит мы нашли, что этот катет равен (√3/2),

а этот катет – ½.

Что ж, кое-что мы можем вычислить.

Просто посмотрев на это,

мы можем сразу назвать координаты этой точки?

Ее Х-координата вот здесь.

Верно?

Ее Х-координата – квадратный корень из 3/2.

Вот она.

Вот это расстояние.

А ее Y-координата будет длина этой стороны

прямоугольного треугольника или ½.

И вот что у нас получается.

Это уже было нам дано.

Х-координата – это (√3)/2,

а Y-координата – ½.

Теперь я хочу объяснить вам, почему Х-координата

может считаться косинусом θ, и почему Y-координата

может приниматься за синус θ.

Что нам говорит SOH-CAH-TOA, традиционное определение синуса, косинуса и тангенса?

Начнем с косинуса.

SOH-CAH-TOA

CAH.

Косинус – это отношение прилежащего катета (А) к гипотенузе (Н), правильно?

В треугольнике, который я нарисовал,

где прилежащий катет?

А?

Я имею в виду, прилежащий катет к этому углу

в 30 градусов, потому что мы пытаемся определить его косинус.

Прилежащий к этому углу катет, конечно, вот.

Правильно?

Он равен (√3)/2.

Мы это только что нашли.

Где его гипотенуза?

Вот гипотенуза, длина которой 1,

потому что это единичная окружность, а это ее радиус.

Значит согласно SOH-CAH-TOA косинус этого угла

равен (√3)/2 (это прилежащий катет),

деленных на 1 (это гипотенуза).

То есть (√3)/2, это Х-координата.

То есть (√3)/2, это Х-координата.

То же самое с синусом, SOH.

Синус равен отношению противолежащего катета (О) к гипотенузе (Н).

Чему равен противолежащий катет?

Он равен ½.

А гипотенуза равна 1.

То есть синус – это просто ½, деленная на 1.

Вот он у нас здесь.

Значит определение, выведенное через единичную окружность,

конечно, не отменяет SOH-CAH-TOA,

оно просто расширяет его.

Традиционное правило подходит для углов в 30, 45

или 60 градусов.

Но для угла в 90 градусов

использовать SOH-CAH-TOA становится сложнее.

Вы пытаетесь нарисовать прямоугольный треугольник с двумя прямыми углами,

и, разумеется, у вас это не получается.

Особенно когда у вас углы больше 90 градусов

или даже отрицательные углы.

В нашей единичной окружности это не указано, но, вообще-то, угол 330 градусов –

это то же самое, что и отрицательный угол 30 градусов, потому что вы можете пойти

в обе стороны по окружности.

Вы можете идти по кругу.

Вы могли бы найти синус или косинус, например,

угла в миллион градусов, если бы вы проделали этот круг много раз.

Надеюсь, вы поняли, как мы получили значения

функций косинуса и синуса с помощью единичной окружности.

И вы же помните, что тангенс – это отношение

синуса к косинусу или Y/Х.

Для его определения вы тоже можете использовать

единичную окружность.

Я оставлю вам для тренировки задание найти все

остальные значения, используя единичную окружность,

и то, что вы знаете о треугольниках с углами 30, 60 и 90,

и треугольниках с углами 45, 45 и 90,

а также теорему Пифагора.

Вы должны найти все эти значения,

расположенные по кругу.

Надеюсь, это вам помогло.

До скорого.