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The unit circle definition of trigonometric function

  • 0:01 - 0:03
    我们今天多学一点
  • 0:03 - 0:03
    单位圆的知识
  • 0:03 - 0:08
    以及其扩展应用 也就是说
  • 0:08 - 0:11
    传统的对函数的SOH-CAH-TOA定义
  • 0:11 - 0:14
    以及如何用单位圆
  • 0:14 - 0:16
    来解决那些无法用SOH-CAH-TOA定义的
  • 0:16 - 0:20
    角的三角函数
  • 0:20 - 0:21
    因此我们 复习一下
  • 0:21 - 0:23
    要记住SOH-CAH-TOA的意义
  • 0:24 - 0:27
    我在这个角上写出来了
  • 0:31 - 0:32
    别混淆了
  • 0:32 - 0:34
    因为我不想重复写很多遍
  • 0:37 - 0:38
    抱歉
  • 0:38 - 0:39
    我把它们都挤在这了
  • 0:39 - 0:42
    表示的是如果有一个直角三角形
  • 0:42 - 0:46
    在这个直角三角形中一个角的sin
  • 0:46 - 0:49
    等于它的对边比斜边
  • 0:49 - 0:51
    一个角的cos等于邻边
  • 0:51 - 0:53
    比斜边
  • 0:53 - 0:55
    tan等于
  • 0:55 - 0:56
    对边比邻边
  • 0:56 - 0:57
    在这种情况下这种定义没有什么问题
  • 0:57 - 0:58
    但是如果你仔细想想的话
  • 0:58 - 1:01
    当这个角度趋近90度会怎样呢？
  • 1:01 - 1:02
    因为在一个直角三角形中
  • 1:02 - 1:04
    不能存在两个90度的角
  • 1:04 - 1:05
    或者当这个角度
  • 1:05 - 1:07
    大于90度时会怎样呢？
  • 1:07 - 1:09
    或者角是负的时会怎样呢？
  • 1:09 - 1:10
    如果你们还记得以前的视频的话
  • 1:10 - 1:12
    这就是为什么
  • 1:12 - 1:15
    我们需要使用单位圆来定义
  • 1:15 - 1:18
    我们复习一下使用单位圆进行的定义
  • 1:18 - 1:21
    我把这些擦掉
  • 1:21 - 1:22
    啦啦啦
  • 1:26 - 1:27
    这个单位圆
  • 1:27 - 1:28
    应该是从维基百科上弄下来的
  • 1:28 - 1:31
    我就相信原作者画的
  • 1:31 - 1:35
    这个单位圆
  • 1:35 - 1:38
    单位圆扩展了
  • 1:38 - 1:39
    SOH-CAH-TOA的定义
  • 1:39 - 1:41
    它告诉我们如果有一个单位圆-
  • 1:41 - 1:43
    这就是单位圆的图形
  • 1:43 - 1:44
    单位圆就是一个圆
  • 1:44 - 1:48
    它的圆心是原点（0,0）
  • 1:48 - 1:50
    半径为1
  • 1:50 - 1:55
    与x轴相交于（1,0）和（-1,0）
  • 1:55 - 1:59
    与y轴相交于（0,1）和（0,-1）
  • 1:59 - 2:03
    如果有一个单位圆 我们定义-
  • 2:03 - 2:06
    我们从cosθ开始
  • 2:06 - 2:10
    我们定义cosθ 取这个角
  • 2:11 - 2:15
    它在单位圆的两个半径之间
  • 2:15 - 2:20
    一条半径沿着正x轴
  • 2:20 - 2:21
    它在0和1之间
  • 2:21 - 2:25
    一个半径是这条线
  • 2:25 - 2:29
    选取的角
  • 2:29 - 2:31
    可以看做是
  • 2:31 - 2:33
    刚才那条边作为底边 它和其它半径之间的角
  • 2:33 - 2:38
    就相当于这种情况
  • 2:38 - 2:41
    选取的就是这个角
  • 2:41 - 2:45
    由单位圆定义的三角函数
  • 2:45 - 2:48
    可知这个角的余弦等于
  • 2:48 - 2:51
    半径与单位圆的交点处
  • 2:51 - 2:53
    的横坐标值
  • 2:53 - 2:56
    这个角的正弦
  • 2:56 - 2:58
    等于半径与单位圆的交点处
  • 2:58 - 3:00
    的纵坐标值
  • 3:00 - 3:03
    例如 这种情况下
  • 3:03 - 3:06
    你们可以看见我画的线后面
  • 3:06 - 3:08
    写着30度 也就等于π/6
  • 3:08 - 3:11
    这个角正好等于30度
  • 3:12 - 3:14
    或者π/6弧度
  • 3:18 - 3:21
    根据定义可知
  • 3:21 - 3:24
    30度的正弦等于1/2
  • 3:24 - 3:27
    30度的余弦等于
  • 3:27 - 3:30
    √3/2
  • 3:30 - 3:32
    我想告诉你们的是这个单位圆定义的三角函数
  • 3:32 - 3:35
    定义实际上和 SOH-CAH-TOA
  • 3:35 - 3:37
    是一致的 不过它扩展了
  • 3:37 - 3:40
    我们来看看SOH-CAH-TOA的定义
  • 3:40 - 3:43
    如何应用到单位圆上
  • 3:43 - 3:44
    以及为什么说它们彼此一致
  • 3:44 - 3:49
    我来擦掉刚才写的东西
  • 3:49 - 3:52
    要使用橡皮擦工具
  • 3:52 - 3:55
    擦掉我刚才写的东西
  • 3:59 - 4:08
    我还是用原来的钢笔控件 让笔细一点
  • 4:08 - 4:11
    都准备好了
  • 4:11 - 4:14
    我们再次讨论那个θ角
  • 4:14 - 4:17
    我们把这个角叫做θ
  • 4:17 - 4:23
    就像刚才讲的 这个角是30度或π/6
  • 4:23 - 4:29
    从这个点向X轴做一条直线
  • 4:29 - 4:30
    我们可以看出这条线是垂直的
  • 4:30 - 4:32
    所以这是一个直角
  • 4:36 - 4:40
    如果它是一个30度的角 -它是30度
  • 4:40 - 4:40
    对吗？
  • 4:40 - 4:42
    θ等于30度
  • 4:42 - 4:44
    这是30度 这是90度
  • 4:44 - 4:44
    那这个角是多少呢？
  • 4:44 - 4:46
    这是一个60度的角
  • 4:46 - 4:47
    因为它们加起来等于180度
  • 4:47 - 4:49
    因此这是30-60-90三角形
  • 4:49 - 4:50
    很有趣的
  • 4:50 - 4:53
    关于30-60-90三角形你们还记得什么性质？
  • 4:53 - 4:57
    30度角所对的边的长度等于
  • 4:57 - 5:00
    斜边长度的一半
  • 5:00 - 5:00
    我希望你们能记住这一性质
  • 5:00 - 5:03
    我不想把你们弄得太糊涂
  • 5:03 - 5:06
    这是30度角的对边
  • 5:06 - 5:07
    对吗？
  • 5:07 - 5:08
    斜边是什么呢？
  • 5:08 - 5:09
    这就是斜边
  • 5:09 - 5:11
    斜边的长度是多少呢？
  • 5:11 - 5:13
    它等于1 因为这是一个单位圆
  • 5:13 - 5:15
    斜边是单位圆的半径
  • 5:15 - 5:17
    所以斜边的长度等于1
  • 5:17 - 5:20
    因此这条边的长度
  • 5:20 - 5:22
    也就是30度角的对边
  • 5:22 - 5:24
    等于1/2
  • 5:24 - 5:27
    我们只是用了前面视频中提到的
  • 5:27 - 5:30
    30-60-90三角形
  • 5:30 - 5:34
    60度角的对边是哪条边呢？
  • 5:34 - 5:35
    再强调一下
  • 5:35 - 5:38
    它等于√3/2倍的斜边长度
  • 5:38 - 5:43
    所以它等于√3/2
  • 5:43 - 5:45
    可以计算出来
  • 5:45 - 5:46
    这条边等于√3/2
  • 5:46 - 5:50
    这条边是1/2
  • 5:50 - 5:52
    我们可以获得很多信息
  • 5:52 - 5:54
    仅仅通过观察就可以立即说出很多来
  • 5:54 - 5:56
    这个点的坐标是什么呢？
  • 5:56 - 5:59
    它的横坐标在这
  • 5:59 - 6:02
    它的横坐标是√3/2
  • 6:02 - 6:03
    就在这
  • 6:03 - 6:04
    这个距离
  • 6:04 - 6:07
    它的纵坐标是
  • 6:07 - 6:09
    直角三角形这个边的长度 就是1/2
  • 6:09 - 6:10
    就在这里
  • 6:10 - 6:12
    已经写出来了
  • 6:12 - 6:14
    横坐标等于√3/2
  • 6:14 - 6:16
    纵坐标等于1/2
  • 6:16 - 6:18
    现在我来告诉大家为什么
  • 6:18 - 6:22
    这个横坐标可以看做是cosθ
  • 6:22 - 6:24
    以及为什么这个纵坐标
  • 6:24 - 6:25
    可以看做是sinθ
  • 6:25 - 6:27
    SOH-CAH-TOA是什么意思呢？
  • 6:27 - 6:29
    我们从余弦开始
  • 6:29 - 6:31
    因此SOH CAH TOA
  • 6:31 - 6:31
    余弦对应CAH
  • 6:35 - 6:38
    余弦是邻边比斜边
  • 6:38 - 6:44
    余弦等于邻边比斜边
  • 6:45 - 6:48
    在我刚刚画的那个三角形中
  • 6:48 - 6:51
    这个角的邻边是哪条呢？
  • 6:51 - 6:52
    因为我们在求解
  • 6:52 - 6:54
    这个角的余弦值 这个30度角
  • 6:54 - 6:56
    这个角的邻边是
  • 6:56 - 6:58
    当然了是这条边
  • 6:58 - 7:00
    因此邻边等于√3/2
  • 7:00 - 7:02
    我们刚刚已经算出来了
  • 7:02 - 7:03
    斜边是什么呢？
  • 7:03 - 7:08
    斜边是这条边 它的长度为1
  • 7:08 - 7:09
    因为这是一个单位圆
  • 7:09 - 7:11
    那条边是单位圆的半径
  • 7:11 - 7:14
    使用SOH-CAH-TOA定义这个角的余弦值
  • 7:14 - 7:17
    等于邻边-
  • 7:17 - 7:18
    比斜边1
  • 7:18 - 7:20
    是√3/2比1
  • 7:20 - 7:22
    就是√3/2
  • 7:22 - 7:25
    和x坐标是一样的
  • 7:25 - 7:27
    类似的 我们看一下SOH
  • 7:27 - 7:31
    sine等于对边比斜边
  • 7:36 - 7:37
    对边是多少呢？
  • 7:38 - 7:40
    斜边是1
  • 7:40 - 7:43
    因此这个正弦值就是1/2比1
  • 7:43 - 7:45
    在这里就能得出来
  • 7:45 - 7:47
    那就是为什么三角函数的单位圆定义
  • 7:47 - 7:49
    不是SOH-CAH-TOA定义的
  • 7:49 - 7:50
    替代
  • 7:50 - 7:53
    它仅仅是一个扩展 允许我们-
  • 7:53 - 7:55
    我的意思是 对于30度角 SOH-CAH-TOA定义适用
  • 7:55 - 7:56
    对于45度角 SOH-CAH-TOA定义适用
  • 7:56 - 7:57
    对于60度角也适用
  • 7:57 - 7:59
    但是对于90度角
  • 7:59 - 8:00
    如果用传统的SOH-CAH-TOA定义
  • 8:00 - 8:02
    就会有点困难
  • 8:02 - 8:03
    你试图画出一个直角三角形
  • 8:03 - 8:05
    有两个90度的角-
  • 8:05 - 8:05
    那是不可能的
  • 8:05 - 8:07
    尤其是一旦这个角
  • 8:07 - 8:08
    大于90度
  • 8:08 - 8:11
    或者这个角度甚至可能是负值
  • 8:11 - 8:13
    在单位圆中没有画出来
  • 8:13 - 8:15
    但是330度和
  • 8:15 - 8:17
    -30度是同样的
  • 8:17 - 8:18
    因为你可以这样沿着这个圆走
  • 8:18 - 8:19
    一直沿着这个圆绕
  • 8:19 - 8:22
    如果你继续沿着这个单位圆绕
  • 8:22 - 8:23
    可以计算出1百万度的角的
  • 8:23 - 8:26
    正弦和余弦值
  • 8:26 - 8:28
    希望这能让你们明白
  • 8:28 - 8:30
    对正弦和余弦函数的
  • 8:30 - 8:31
    单位圆定义方法
  • 8:31 - 8:34
    当然 正切函数就是
  • 8:34 - 8:37
    正弦比余弦 或者是y/x
  • 8:37 - 8:39
    也可以对正切使用
  • 8:39 - 8:40
    单位圆来定义
  • 8:40 - 8:43
    把它留给你们作为一个练习
  • 8:43 - 8:46
    使用这个单位圆试着求出
  • 8:47 - 8:48
    这些其他的值
  • 8:48 - 8:49
    使用你们已经知道的
  • 8:49 - 8:52
    30―60―90三角形的性质
  • 8:53 - 8:56
    和45-45-90三角形的性质
  • 8:56 - 8:57
    或者你们已经知道的
  • 8:57 - 8:58
    勾股定理来求解
  • 8:58 - 9:00
    你们应该能够计算出
  • 9:00 - 9:04
    沿着单位圆的所有这些值
  • 9:04 - 9:06
    希望这些会有所帮助
  • 9:06 - 9:08
    再见
Title:
The unit circle definition of trigonometric function
Description:

Using the unit circle to extend the SOH CAH TOA definition of the basic trigonometric functions.
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Video Language:
English
Duration:
09:07
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

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