ES CAP03 2025 VA02 MODA

Quando nós mergulhamos
no campo da estatística,

é importante nós notarmos que nós
temos um segmento da estatística

que nós chamamos
de ferramentas estatísticas,

ou seja, são fórmulas,
são modelos matemáticos

que nós utilizamos para avaliar
um conjunto de dados,

para investigar, para
tomar alguma decisão

acerca dos dados que nós
coletamos na pesquisa.

A principal ferramenta estatística,

e a primeira que nós começamos
a estudar, é a média aritmética

e, em seguida, agora sim, vamos
falar sobre a moda estatística.

A moda estatística é
uma ferramenta utilizada

para verificar qual é o elemento
que mais vezes apareceu

em uma base de dados, ou seja,

é o elemento que tem
a maior frequência,

o maior número de aparições.

Em um exemplo, imaginem só
as diversas capitais do nosso país,

aqui do Brasil, e nós temos, por
exemplo, o número de visitantes,

o número de turistas
que visitam essas cidades

e nós podemos verificar,

dentro desse conjunto
de capitais do nosso país,

qual é a capital que apresenta
o maior número de turistas por ano,

por exemplo.

Então, nesse ranking de classificação
das capitais mais visitadas

das capitais que têm a maior
frequência de turistas,

nós vamos verificar
que, por exemplo,

a cidade do Rio de Janeiro
é a cidade que apresenta

o maior número de turistas,
o maior número de visitantes.

Então, nós dizemos
que, nesse caso,

a moda estatística é
a cidade do Rio de Janeiro,

é uma variável
qualitativa, ou seja,

é um elemento que aparece mais
vezes na nossa base de dados,

que é o conjunto de capitais
dos diversos estados do nosso país.

Então, vamos conhecer um pouquinho
mais essa ferramenta estatística

que é chamada de moda,
simplesmente,

ou de moda estatística,
para a gente especificar

que nós estamos falando
do campo da estatística.

Quando nós começamos
a falar de moda, então,

nós temos já essa percepção
de que a moda é o elemento

que apresenta a maior
frequência absoluta,

que é o elemento que aparece
mais vezes na base de dados.

E aí, nós temos algumas
classificações,

por exemplo, uma base
de dados pode não ter moda

e aí, nós dizemos que essa
base de dados é amodal.

Se ela possuir uma única moda,
nós dizemos que é unimodal,

se ela apresentar
exatamente duas modas,

essa base de dados é
chamada de bimodal,

no caso de três modas, a base
de dados é chamada de trimodal

e para quatro ou mais modas, a base
de dados é chamada de polimodal.

A partir de três
modas, também,

algumas pessoas já chamam
de polimodal, a base de dados.

Para que a gente possa entender
um pouco melhor essa situação,

vamos ver alguns exemplos,

para que a gente possa
entender melhor

como é que a gente
calcula a moda

e entender melhor, também,
esse tipo de classificação

que a gente fez
uma prévia aqui.

Sendo assim,

a moda é o elemento que mais
vezes aparece na base de dados,

e para que a gente possa
compreender melhor, então,

vamos ver um exemplo

de maneira que nós vamos
perceber como a moda é calculada

e também compreender melhor

essa forma de classificação
da moda estatística.

Nesse exemplo 1, o objetivo
é determinar a nota modal

ou, simplesmente,
determinar a moda.

Temos esse conjunto
de notas aqui,

6,0, 7,0, 5,0, 8,0,
5,0, 9,0, 4,0 e 5,0,

e nós podemos notar que, nesse
pequeno conjunto de dados,

a nota 5,0 apareceu
três vezes, repare só.

Então, nós dizemos que a nota
que mais vezes apareceu

na base de dados
é a nota 5,0,

portanto, a nota modal
é 5,0 pontos.

Tem essa sigla "Mo", que é
muito utilizada para a moda,

Mo, para moda, é
igual a 5,0 pontos.

Nesse caso, nós temos
uma única moda, isto é,

um único elemento que apareceu
mais vezes que os demais,

e a distribuição de dados, então, é
chamada de distribuição unimodal.

Vamos ver um segundo exemplo,
onde nós vamos notar

que há outras possibilidades
para o número de modas

em uma base de dados.

Nesse exemplo 2, nós também
queremos determinar a nota modal,

veja que a gente tem
um pouquinho mais de valores

aqui nessa base de dados,

e aí, depois de uma observação
um pouco mais calma,

você vai notar que a nota
5,0 aparece três vezes,

veja só, uma, duas, três vezes,
e a nota 6,0 também.

Veja que a nota seis aparece,
aqui, uma vez, aqui, duas vezes

e a terceira vez aqui, três vezes,
vejam que elas estão empatadas,

a nota 5,0 apareceu
três vezes

e a nota 6,0 apareceu
três vezes também.

Então, nesse caso,
quando há dois valores

que apareceram mais vezes
que os demais valores

da base de dados e eles possuem
a mesma frequência absoluta,

ou seja, temos
um empate técnico,

nós dizemos que a base
de dados tem duas modas,

então a moda pode ser
5,0 pontos ou 6,0 pontos.

E, nesse caso, a distribuição
é chamada de bimodal.

É importante você
notar, também,

que você pode ter uma base
de dados onde não há moda

e, nesse caso, a base é chamada
de amodal, distribuição amodal.

Veja só esse exemplo aqui:

nós temos um conjunto de notas
e todas as notas são diferentes.

Repare que, nessa pequena
base de dados aqui,

não há uma nota que apareceu
mais vezes que as demais notas.

Então, quando ocorre um fenômeno
como esse aqui na base de dados,

quando você não tem um elemento
que apareceu mais vezes

que os demais elementos,
você diz que, nesse caso,

não há a ferramenta
estatística moda,

não há moda
na base de dados,

é uma distribuição de dados
estatísticos amodal.

Além dessas situações que eu
apresentei aqui para você,

é importante você notar
que é possível, também,

nós organizarmos os dados
que nós coletamos na pesquisa

em uma tabela de dados.

Essa tabela de dados é chamada
de distribuição de frequências.

Vamos verificar,
aqui, um exemplo

onde a gente calcula o valor
modal da base de dados,

sendo que essa base
de dados está representada

por meio de uma tabela
de dados.

Observe o exemplo.

Temos, então, aqui,
uma tabela de dados,

na primeira coluna, nós temos
as diversas notas que surgiram

e, aqui, as quantidades de alunos
com as respectivas notas.

O desafio é determinar a nota
modal dessa tabela de dados aqui.

Para isso, a gente vai observar
as frequências absolutas,

ou seja, essas quantidades
de alunos que aparecem aqui.

Podemos notar que a nota 5,0
apareceu 12 vezes, ou seja,

tem 12 alunos com nota 5,0,
15 alunos com nota 6,0,

cada um deles, 10 alunos
obtiveram 7,0 pontos,

cada um dos 10 alunos obteve
7,0 pontos na avaliação,

e, assim, 8 alunos
obtiveram 8,0 pontos,

5 alunos com nota 9,0
e 2 alunos com nota 10,

sendo que o total de alunos
que participou da pesquisa,

o total de alunos que fazem
parte dessa amostra é 52.

É fácil você notar aqui que a maior
frequência absoluta é o 15,

ou seja, a nota 6,0 foi a nota
que mais vezes apareceu

nessa pequena base
de dados de 52 alunos,

é a nota mais frequente, é
a nota que mais vezes apareceu.

Então, a gente diz que a maior
frequência absoluta é 15

e que a nota associada a essa
frequência é a nota 6,0.

Sendo assim, a gente diz que
a nota modal é Mo = 6,0 pontos.

Nesse caso, temos
apenas uma única moda,

que é a nota 6,0, é
uma distribuição unimodal.

É importante você notar
que a frequência absoluta é 15

e a nota associada a essa
frequência absoluta é a nota 6,0.

Observe que a moda é o valor 6,0,
ou seja, a nota 6,0, e não o valor 15,

que se refere a maior frequência
absoluta da tabela de dados.

Vamos ver, agora, uma situação
onde você tem uma tabela de dados

organizada com classes,
com aquelas faixas de dados,

e aí, nós vamos verificar como é
que a gente calcula a média

nessas situações.

Nesse exemplo 5, então, nós temos
que determinar a nota modal

de uma tabela de dados
que está organizada em classes,

veja só, são faixas,
são intervalos de notas.

Observe que o colchete fechado aqui
à esquerda de 0,0 inclui a nota 0,0

e o colchete aberto aqui
do lado do 2,0, à direita do 2,0,

é uma forma de dizer que a nota
2,0 não está incluída no intervalo,

ou seja, na verdade, aqui as notas
estão variando de 0,0 até 1,9999,

mas não chega a 2,0 pontos,

por isso o colchete aberto
aqui do lado do 2,0.

Repare que a nota 2,0
foi considerada aqui

nessa faixa que vai
de 2,0 a 4,0 pontos.

Então, o colchete fechado
no 2,0 inclui a nota 2,0

e o colchete aberto no 4,0 exclui
a nota 4,0 do intervalo de dados.

Nós dizemos, de forma
geral, que, por exemplo,

aqui é um intervalo que vai
de 4,0 a 6,0 pontos,

inclusive 4,0 pontos,
exclusive 6,0 pontos.

O intervalo que vai
de 6,0 a 8,0 pontos,

inclusive 6,0,
exclusive 8,0,

o intervalo que vai de 8,0 a 10,0,
inclusive 8,0, exclusive 10,0.

Na segunda coluna, nós temos
as quantidades de alunos

que se enquadram, digamos assim,
dentro dessas faixas de notas.

É importante a gente
entender que, por exemplo,

5 alunos obtiveram notas
variadas, entretanto,

as notas desses alunos ficaram
dentro desse intervalo aqui,

ou seja, 0,0, 1,5,
1,75, 0,75 pontos,

foram notas baixas,
notas baixas variadas,

entretanto, na faixa
de 0,0 a 2,0 pontos.

9 alunos obtiveram
notas variadas,

entretanto, são notas que variam
de 2,0 a 4,0 pontos, exclusive 4,0.

12 alunos com notas variadas
na faixa de 4,0 a 6,0 pontos,

exclusive 6,0, 10 alunos com notas
variadas no intervalo de 6,0 a 8,0,

e 4 alunos com notas variadas
no intervalo de 8,0 a 10,0 pontos,

totalizando 40 alunos aqui
na nossa amostra de dados.

Para determinar
a nota modal,

nós vamos verificar qual é a maior
frequência absoluta aqui,

e você pode notar
que a frequência absoluta 12

é a maior frequência
absoluta da tabela,

e, nesse caso, a classe que está
associada a essa frequência

é a classe que vai
de 4,0 a 6,0 pontos.

E aí, para determinar a moda,

nós consideramos o ponto
médio dessa classe, isto é,

a gente soma o limite
inferior da classe

com o limite superior
da classe,

e, o resultado dessa soma,
a gente divide por 2.

Ficaria, então, 4,0 + 6,0,
que vai dar 10,0,

dividido por 2
vai dar 5,0,

a gente diz que a moda
dessa base de dados é 5,0,

ou seja, é o ponto
médio dessa classe

que está associada a maior
frequência da tabela,

da base de dados
que nós temos aqui.

Quando nós trabalhamos
com classes de dados,

há outras possibilidades, também,
para o cálculo da moda.

Esse tipo de moda que nós
apresentamos aqui para você

é uma moda que é
chamada de moda bruta,

entretanto, nós temos outras
formas de projetar a moda

para as situações em que você
tem essas classes de dados,

esses intervalos, essas
tabelas com classes.

Vamos observar esses
outros casos, então.

Quando nós trabalhamos
com classes de dados,

você tem a chamada
moda bruta,

que foi o caso que nós
aplicamos no exemplo anterior,

então a moda bruta é, basicamente,
a média entre o limite inferior

e o limite superior
da classe que contém

a maior frequência absoluta
da tabela que você está analisando.

Um outro tipo de moda
que também é utilizada,

para o caso de você
ter classes de dados,

é a chamada moda de King.

King é um sobrenome
de um matemático inglês

do século XIX.

Então, para projetar a moda,
nós utilizamos outros elementos

que estão associados à classe:
o limite inferior da classe,

a frequência posterior
à classe,

a frequência anterior a essa
classe e a amplitude da classe.

É possível, também, projetar a moda
quando você tem classes de dados

calculando a chamada
moda de Czuber.

Só como curiosidade, é o sobrenome
de um matemático austríaco

do século XX, final do século
XIX, início do século XX.

Dessa maneira, então, para
projetar a moda de Czuber,

nós vamos considerar o limite
inferior da classe modal

somado, esse limite
inferior é adicionado

à frequência máxima menos
a frequência anterior,

e o resultado você divide

pela frequência máxima
menos a frequência posterior,

mais a frequência máxima
menos a frequência anterior,

e o resultado você multiplica
pela amplitude da classe

que contém a maior
frequência absoluta.

Para que a gente possa
entender melhor

esses dois tipos especiais de moda
que nós apresentamos aqui,

a moda de King
e a moda de Czuber,

vamos ver, então, um exemplo
utilizando o Excel.

Vamos considerar essa
tabela de dados aqui,

o desafio é a gente
obter a nota modal,

aqui nós temos
as diversas classes,

as diversas faixas de notas,
e aqui o número de alunos.

Para determinar
a nota modal, então,

em uma primeira possibilidade,
nós temos a chamada "moda bruta".

Para isso, nós vamos verificar
que a classe que contém

a maior frequência, que é
chamada de classe modal,

é a classe onde os valores variam,
aqui, de 4,0 a 6,0 pontos.

Podemos indicar, então, assim?

"[4,0; 6,0[".

Então, essa classe onde os valores
variam de 4,0 a 6,0 pontos,

é a chamada classe
modal da tabela.

Agora, para calcular
a moda bruta,

podemos indicar
aqui com a sigla "Mo",

para calcular essa
moda bruta,

nós vamos, então, aplicar
essa fórmula aqui.

Aqui no Excel,
ficaria assim:

a nota 4 somada
com a nota 6

e o resultado, eu
vou dividir por 2.

Agora, é muito
importante você notar

que dessa forma que eu
escrevi aqui no Excel,

o Excel está entendendo que é
para dividir apenas 6 por 2,

veja que, nesse caso, o resultado
vai dar 7, 4 + 3 vai dar 7.

E veja que está incorreto, porque,
no caso aqui, a moda não é 7,

na verdade, a moda é
a média entre o 4 e o 6,

então quando a gente
digita isso aqui no Excel,

é importante que você note

a necessidade de incluir
esses parênteses

para que o software entenda
que você vai dividir por 2,

não apenas o 6,

o que você vai dividir por 2
é o resultado dessa soma,

portanto, esses parênteses
são necessários,

assim, o Excel entende
que é para somar primeiro,

vai dar 10, e depois dividir por 2
e, aí sim, o resultado é 5.

Portanto, a gente diz
que a moda, aqui, é 5.

Se você quiser incluir
uma casa decimal,

veja que, na parte
superior do Excel,

próximo do símbolo
de porcentagem,

é possível acrescentar
uma casa decimal,

e, aqui, nós podemos
complementar

informando a unidade
de medida do problema.

Como é nota, são pontos.

Então, a gente diz que esse aqui
é o valor modal da base de dados.

A moda é 5,0 pontos, essa
aqui é a chamada moda bruta.

Vamos ver, agora, como a gente
calcula a moda de King

para uma tabela de dados.

Nesse exemplo, vamos
considerar a mesma tabela

que nós analisamos
no exemplo anterior

e, agora sim, projetar
a chamada moda de King.

A primeira etapa é você realmente
identificar qual é a classe modal,

ou seja, a classe que possui
a maior frequência absoluta.

Analisando a tabela, você vai
perceber que a classe modal

é a classe onde os valores
variam de 4,0 a 6,0 pontos.

Então, dessa forma aqui,

nós conseguimos notar que a maior
frequência absoluta é 12,

é onde eu tenho a maior
concentração de alunos,

é na faixa que vai
de 4,0 a 6,0 pontos,

então a classe modal é a classe
que varia de 4,0 a 6,0 pontos.

Uma vez que você
definiu a classe modal,

aí você vai para uma segunda etapa
calcular a chamada moda de King.

Podemos deixar assim?

Veja que eu vou, na próxima etapa,
aplicar, agora, essa fórmula

que nós estamos observando
aqui, esse algoritmo.

Aplicando a fórmula, então,

nós vamos fazer o limite
inferior da classe, que é o 4,0,

adicionado, vou deixar
isso aqui entre parênteses,

à frequência posterior
à classe modal.

Veja que a classe modal é a classe
que varia de 4,0 a 6,0 pontos.

A gente diz que a frequência
posterior é 10,

então eu vou fazer o 10 dividido,
e aí veja que eu vou ter que somar

a frequência anterior
com a frequência posterior.

Eu vou deixar essa
soma entre parênteses

para que o Excel entenda
que é para dividir o 10

pelo resultado da soma.

Então, aqui no denominador, eu
vou deixar a frequência anterior

somada, a frequência
anterior que é 9,0,

somada com a frequência
posterior, que é 10.

Vou fechar os parênteses,

assim, nessa etapa, nós fizemos
a frequência posterior, que é 10,

dividida pela frequência
anterior ao 12, que é 9,

somada com a frequência
posterior ao 12, que é 10.

Vou deixar isso aqui
entre parênteses

e, o resultado, eu
vou multiplicar,

no Excel, é o asterisco,
pela amplitude da classe.

A amplitude de classe
é o limite superior da classe,

menos o limite
inferior da classe.

Se você observar aqui, a classe
varia de 4,0 a 6,0 pontos,

se você fizer 6,0 - 4,0,
o resultado é 2,0,

e a gente diz que 2,0 é o valor
do "h", é a amplitude da classe,

6,0 - 4,0 = 2,0.

Dessa forma, a gente vai
dar o enter aqui, agora,

e vamos observar o resultado,
o valor da moda de King

para essa tabela
de dados aqui.

Dando o enter, então,
para a gente ver o resultado,

o resultado é 5,05263.

Vamos deixa o resultado aproximado,
com duas casas decimais?

5,05 pontos.

Portanto, nós dizemos
que a moda de King,

para essa base de dados
aqui, é de 5,05 pontos.

Observe que na moda
de King, então,

nós consideramos a frequência
posterior à classe modal

e a frequência absoluta
anterior à classe modal.

São essas duas frequências
que são utilizadas

e que acabam interferindo
no valor da moda de King.

Complementando, então,
esses exemplos de moda

para distribuições
de frequências com classes,

vamos observar como a gente
calcula a chamada moda de Czuber.

Consideremos, então,
a mesma tabela de dados

e, agora, para a gente verificar
como vai ficar o valor da moda,

no caso de você projetar
a chamada moda de Czuber.

Para isso, nós começamos,
mais uma vez aqui,

observando, na tabela, qual é
a classe que apareceu mais vezes,

ou seja, a classe que tem a maior
concentração de dados.

Observando a tabela aqui,

a gente percebe que a classe que
tem a maior concentração de alunos

é a classe que vai
de 4,0 a 6,0 pontos,

essa faixa de notas aqui.

Então, a gente diz que essa
faixa de notas aqui

é a faixa de notas modal,
ou seja, é a classe modal.

Uma vez que você
definiu a classe modal,

aí sim é que você
tem condições

de calcular a chamada
moda de Czuber.

Podemos deixar assim.

Então, para calcular
a moda de Czuber,

nós vamos usar
o seguinte recurso:

o limite inferior da classe,
no caso, é o 4,0,

somado com, agora
entre parênteses,

vamos organizar
essa operação aqui.

Nós vamos ter que fazer
a frequência absoluta máxima,

que é o 12,

esse "f" aqui representa
a frequência da classe modal,

frequência absoluta
da classe modal.

Então, eu vou
fazer, agora,

o 12 menos a frequência
anterior à classe modal,

que é o 9,
12 - 9.

Isso aqui representa esse
numerador da fração.

Vou deixar isso aqui
entre parênteses, então,

isso aqui vai ter
que dividir por,

aí nós vamos fazer
a frequência máxima,

que é 12, menos a frequência
anterior, que é 9,

somado com a frequência
máxima, que é 12,

menos a frequência
anterior, que é 9.

Corrigindo aqui, é
a frequência posterior

então, na verdade, é 10.

Agora sim, 12 - 10, ou seja, 12
menos a frequência posterior,

somado com 12 menos
a frequência anterior.

Veja que aqui, por enquanto,
eu escrevi essa fração

que aparece aqui,

frequência máxima
menos frequência anterior,

dividido por frequência máxima
menos frequência posterior,

somado com frequência máxima
menos frequência anterior.

Agora, eu vou acrescentar
um outro parêntese aqui,

porque esse resultado
que fica entre parênteses

deve ser multiplicado
pela amplitude da classe,

que, no caso,
é 2, 6 - 4 = 2,

a diferença, 2 é o "h",
é a amplitude da classe.

Eu vou dar
um enter aqui,

para que a gente possa
observar o resultado gerado

por meio desse modelo matemático
aqui, desse modelo estatístico.

Veja que, na perspectiva
de Czuber,

a moda é o valor aproximado,
aqui, de 5,2 pontos.

Como nós podemos notar,

comparando a moda bruta,
que gerou 5,0 pontos,

a moda de King,
que gerou 5,05 pontos,

e a moda de Czuber,
que gerou 5,20 pontos,

há uma ligeira diferença
entre os valores,

denotando, então, algumas
diferentes perspectivas

para a projeção
do valor modal.

Nessa aula, nós vimos
como é que a gente projeta,

como é que a gente calcula
essa ferramenta estatística

que é chamada de moda.

Vimos que essa ferramenta pode ser
classificada em distribuição amodal,

distribuição unimodal,
bimodal ou multimodal.

E, ainda, é possível
você projetar a moda

para distribuições
de frequências com classes

por meio de três
perspectivas:

a moda bruta, a moda de King
e a moda de Czuber.

Dessa maneira, você conhece, aqui,
mais uma ferramenta estatística

que vai permitir que você possa
aprofundar um pouco mais

a pesquisa que você está
analisando naquele momento.