ES CAP03 2025 VA02 MODA

Quando nós mergulhamos
no campo da estatística,

é importante nós notarmos que nós
temos um segmento da estatística

que nós chamamos
de ferramentas estatísticas,

ou seja, são fórmulas,
são modelos matemáticos

que nós utilizamos para avaliar
um conjunto de dados,

para investigar, para
tomar alguma decisão

acerca dos dados que nós
coletamos na pesquisa.

A principal ferramenta estatística,

e a primeira que nós começamos
a estudar, é a média aritmética

e, em seguida, agora sim, vamos
falar sobre a moda a estatística.

A moda estatística é
uma ferramenta utilizada

para verificar qual é o elemento
que mais vezes apareceu

em uma base de dados, ou seja,

é o elemento que tem
a maior frequência,

o maior número de aparições.

Em um exemplo, imaginem só
as diversas capitais do nosso país,

aqui do Brasil, e nós temos, por
exemplo, o número de visitantes,

o número de turistas
que visitam essas cidades

e nós podemos verificar,

dentro desse conjunto
de capitais do nosso país,

qual é a capital que apresenta
o maior número de turistas por ano,

por exemplo.

Então, nesse ranking de classificação
das capitais mais visitadas

das capitais que têm a maior
frequência de turistas,

nós vamos verificar
que, por exemplo,

a cidade do Rio de Janeiro
é a cidade que apresenta

o maior número de turistas,
o maior número de visitantes.

Então nós dizemos
que, nesse caso,

a moda estatística é
a cidade do Rio de Janeiro,

é uma variável
qualitativa, ou seja,

é um elemento que aparece mais
vezes na nossa base de dados,

que é o conjunto de capitais
dos diversos estados do nosso país.

Então, vamos conhecer um pouquinho
mais essa ferramenta estatística

que é chamada de moda,
simplesmente,

ou de moda estatística,
para a gente especificar

que nós estamos falando
do campo da estatística.

Quando nós começamos
a falar de moda, então,

nós temos já essa percepção
de que a moda é o elemento

que apresenta a maior
frequência absoluta,

que é o elemento que aparece
mais vezes na base de dados.

E aí, nós temos algumas
classificações,

por exemplo, uma base
de dados pode não ter moda

e aí, nós dizemos que essa
base de dados é amodal.

Se ela possuir uma única moda,
nós dizemos que é unimodal,

se ela apresentar
exatamente duas modas,

essa base de dados é
chamada de bimodal,

no caso de três Modas, a base
de dados é chamada de trimodal

e para quatro ou mais modas, a base
de dados é chamada de polimodal.

A partir de três
modas, também,

algumas pessoas já chamam
de polimodal a base de dados.

Para que a gente possa entender
um pouco melhor essa situação,

vamos ver alguns exemplos,

para que a gente possa
entender melhor

como é que a gente
calcula a moda

e entender melhor, também,
esse tipo de classificação

que a gente fez
uma prévia aqui.

Sendo assim,

a moda é o elemento que mais
vezes aparece na base de dados,

e para que a gente possa
compreender melhor, então,

vamos ver um exemplo

de maneira que nós vamos
perceber como a moda é calculada

e também compreender melhor

essa forma de classificação
da moda estatística.

Nesse exemplo 1, o objetivo
é determinar a nota modal

ou, simplesmente,
determinar a moda.

Temos esse conjunto de notas aqui,
6,0, 7,0, 5,0, 8,0, 5,0, 9,0, 4,0 e 5,0

e nós podemos notar que, nesse
pequeno conjunto de dados,

a nota 5,0 apareceu
três vezes, repare só.

Então, nós dizemos que a nota
que mais vezes apareceu

na base de dados
é a nota 5,0,

portanto, a nota modal
é 5,0 pontos.

Tem essa sigla "Mo", que é
muito utilizada para a moda,

Mo, para moda, é
igual a 5,0 pontos.

Nesse caso, nós temos
uma única moda, isto é,

um único elemento que apareceu
mais vezes que os demais,

e a distribuição de dados, então, é
chamada de distribuição unimodal.

Vamos ver um segundo exemplo,
onde nós vamos notar

que há outras possibilidades
para o número de modas

em uma base de dados.

Nesse exemplo 2, nós também
queremos determinar a nota modal,

veja que a gente tem
um pouquinho mais de valores

aqui nessa base de dados,

e aí, depois de uma observação
um pouco mais calma,

você vai notar que a nota
5,0 aparece três vezes,

veja só uma, duas, três vezes,
e a nota 6,0 também.

Veja que a nota seis aparece,
aqui, uma vez, aqui, duas vezes

e a terceira vez aqu,i três vezes,
vejam que elas estão empatadas,

a nota 5,0 apareceu
três vezes

e a nota 6,0 apareceu
três vezes também.

Então, nesse caso,
quando há dois valores

que apareceram mais vezes
que os demais valores

da base de dados e eles possuem
a mesma frequência absoluta,

ou seja, temos
um empate técnico,

nós dizemos que a base
de dados tem duas modas,

então a moda pode ser
5,0 pontos ou 6,0 pontos.

E, nesse caso, a distribuição
é chamada de bimodal.

É importante você
notar, também,

que você pode ter uma base
de dados onde não há moda

e, nesse caso, a base é chamada
de amodal, distribuição amodal.

Veja só esse exemplo aqui:

nós temos um conjunto de notas
e todas as notas são diferentes.

Repare que, nessa pequena
base de dados aqui,

não há uma nota que apareceu
mais vezes que as demais notas.

Então, quando ocorre um fenômeno
como esse aqui na base de dados,

quando você não tem um elemento
que apareceu mais vezes

que os demais elementos,
você diz que, nesse caso,

não há a ferramenta
estatística moda,

não há moda
na base de dados,

é uma distribuição de dados
estatísticos amodal.

Além dessas situações que eu
apresentei aqui para você,

é importante você notar
que é possível, também,

nós organizarmos os dados
que nós coletamos na pesquisa

em uma tabela de dados.

Essa tabela de dados é chamada
de distribuição de frequências.

Vamos verificar,
aqui, um exemplo

onde a gente calcula o valor
modal da base de dados,

sendo que essa base
de dados está representada

por meio de uma tabela
de dados.

Observe o exemplo.

Temos, aqui,
uma tabela de dados,

Na primeira coluna
nós temos as diversas notas que surgiram

e aqui as quantidades de alunos
com as respectivas notas.

O desafio é determinar a nota modal
dessa tabela de dados.

Aqui.

Para isso a gente vai observar aqui

as frequências absolutas, ou seja,

essas quantidades de alunos que aparecem
aqui.

Podemos notar que a nota cinco apareceu

12 vezes, ou seja,
tem 12 alunos com nota cinco, 15 alunos

com nota seis, cada um deles dez alunos
obtiveram sete pontos.

Cada um dos dez alunos
obteve sete pontos na avaliação e assim,

oito alunos obtiveram oito pontos,
cinco alunos com nota 09h02 alunos

com nota dez, sendo que o total de alunos
que participou aqui da pesquisa,

o total de alunos
que fazem parte dessa amostra 52.

É fácil você notar aqui que a

maior frequência absoluta é o 15, ou seja,
a nota seis

foi a nota que mais vezes apareceu
nessa pequena base de dados de 52 alunos

e a nota mais frequente
é a nota que mais vezes apareceu.

Então a gente diz
que a maior frequência absoluta é 15

e que a nota associada a essa frequência
é a nota seis.

Sendo assim, a gente diz que a nota modal
é em mi moda igual a seis pontos.

Nesse caso, temos apenas uma única moda,

que é a nota seis
e uma distribuição uni modal.

É importante você notar
que a frequência absoluta que é 15

e a nota associada a essa
frequência absoluta que é a nota seis.

Observe que a moda é o valor seis,

ou seja, a nota seis e não o valor 15,

que se refere a maior frequência absoluta
na tabela de dados.

Vamos ver então agora uma situação
onde você tem uma tabela de dados

organizada com classes,
com aquelas faixas de dados,

e aí nós vamos verificar como é que
a gente calcula a média nessas situações.

Nesse exemplo cinco, então
nós temos que determinar a nota modal

de uma tabela de dados
que está organizada em classes.

Veja só, são faixas,
são intervalos de notas.

Observe que o colchete fechado aqui
à esquerda de zero inclui a nota zero

e o colchete aberto aqui do lado do dois,
aqui à direita do dois,

é uma forma de dizer que a nota dois
não está incluída no intervalo.

Ou seja, na verdade, aqui as notas estão
variando de zero

até 1,9999, mas não chega a dois pontos.

Por isso o colchete
aberto aqui do lado do dois.

Repare que a nota dois

ela foi considerada aqui

nessa faixa que vai de 2 a 4 pontos.

Então colchete fechado no dois
inclui a nota dois e o colchete aberto

no quatro exclui a nota
quatro do intervalo de dados.

Nós dizemos,
de forma geral que por exemplo,

aqui é um intervalo
que vai de 4 a 6 pontos,

inclusive quatro pontos
e exclusive seis pontos

o intervalo que vai de 6 a 8 pontos,
inclusive seis e exclusive oito,

o intervalo que vai de 8 a 10,
inclusive oito exclusive dez.

Na segunda coluna aqui
nós temos as quantidades de alunos

que se enquadram, digamos assim,
dentro dessas faixas de notas.

É importante a gente entender
que, por exemplo,

cinco alunos obtiveram notas variadas.

Entretanto, as notas desses alunos
ficaram dentro desse intervalo aqui,

ou seja, zero um IMEI 1,75

0,75 pontos foram notas baixas,
notas baixas variadas.

Entretanto, na faixa de 0 a 2 pontos,

nove alunos obtiveram notas variadas.

Entretanto são notas
que variam de dois de 2 a 4 pontos

exclusive quatro

12 alunos com notas variadas
na faixa de 4 a 6 pontos

exclusive seis dez alunos
com notas variadas no intervalo de seis

a 08h04 alunos com notas variadas
no intervalo de 8 a 10 pontos,

totalizando 40 alunos.

Aqui na nossa amostra de dados

para determinar

a nota modal, nós vamos verificar
qual é a maior frequência absoluta aqui

e você pode notar
que a frequência absoluta 12

é a maior frequência absoluta da tabela,

e nesse caso, então a classe
que está associada a essa frequência

é a classe que vai de 4 a 6 pontos.

E aí, para determinar a moda,
nós consideramos o ponto médio

dessa classe.

Isto é, a gente soma
o limite inferior da classe

com o limite superior da classe,

e o resultado dessa soma
a gente divide por dois.

Ficaria então quatro mais seis, que vai
dar dez, dividido por dois, dá cinco.

A gente diz que a moda dessa base de dados
é cinco, ou seja,

é o ponto médio dessa classe
que está associada

a maior frequência da tabela
da base de dados que nós temos aqui.

Quando nós trabalhamos
com classes de dados,

há outras possibilidades
também para o cálculo da moda.

Esse tipo de moda que nós apresentamos
aqui para você

é uma moda que é chamada de moda bruta.

Entretanto,
nós temos outras formas, então,

de projetar a moda para as situações
onde você tem essas classes de dados,

esses intervalos,
essas tabelas com classes.

Vamos observar esses outros casos.

Então, quando nós trabalhamos
com classes de dados,

então você tem a chamada moda bruta,

que foi o caso que nós aplicamos
no exemplo anterior.

Então a moda bruta é basicamente a média
entre o limite inferior

e o limite superior da classe,
que contém a maior

frequência absoluta
da tabela que você está analisando.

Um outro
tipo de moda também que é utilizada

para o caso de você ter classes de dados
é a chamada moda de 15 15.

Aqui, um sobrenome de um matemático
inglês no século XIX.

Então, para projetar a moda,
nós utilizamos

outros elementos que estão associados
a classe

o limite inferior da classe,

a frequência posterior, a classe,

a frequência anterior a essa classe
e a amplitude da classe.

É possível também projetar a moda

quando você tem duas classes de dados

calculando a chamada moda, diz Uber.

Só como curiosidade, aqui é o sobrenome
de um matemático austríaco aqui

do século XX aqui, final do século XIX,
início do século XX.

Aqui.

De maneira
então que para projetar a moda de Zambia,

nós vamos considerar
o limite inferior da classe modal.

Somado.

Isso é o seguinte inferior
ele é adicionado da frequência máxima

menos a frequência anterior e o resultado
você divide pela frequência máxima,

menos a frequência posterior,
mais a frequência máxima,

menos a frequência anterior e o resultado
você multiplica

pela amplitude da classe
que contém a maior frequência absoluta.

Para que a gente possa entender melhor
esses dois tipos especiais de moda

que nós apresentamos aqui
a moda de 15 e a moda de AB.

Vamos ver então um exemplo.

Utilizando o exemplo, vamos considerar
essa tabela de dados aqui.

O desafio é a gente obter a nota modal.

Aqui nós temos as diversas classes,
as diversas faixas de notas

e aqui o número de alunos

para determinar a nota modal.

Então, numa primeira possibilidade,
aqui nós temos a chamada moda bruta.

Para isso
nós vamos verificar o que acontece,

que contém
a maior frequência que ela é chamada.

Ela é chamada de classe modal e a classe

onde os valores variam aqui
de 4 a 6 pontos.

Podemos indicar então assim quatro

aqui vírgula seis.

Então essa classe aqui,
onde os valores variam de 4 a 6 pontos,

é a chamada classe modal da tabela.

Agora, para calcular a moda bruta,

podemos indicar aqui com a sigla em.

Para calcular essa moda bruta,

nós vamos então aplicar essa fórmula aqui.

Aqui no Excel ficaria assim
a nota quatro somada com a nota

seis e o resultado
eu vou dividir por dois.

Agora aqui é muito importante
você notar que dessa forma que eu escrevi

aqui no Excel, está entendendo que é
para dividir apenas seis por dois.

Veja que nesse caso o resultado
vai dar sete quatro mais três.

Aqui vai dar sete e veja aqui.

Está incorreto,
porque no caso aqui a moda não é sete.

Na verdade a moda
ele é a média entre o quatro e o seis.

Então quando a gente digita isso
aqui no Excel, é importante que você note

a necessidade de incluir esses parênteses
para que o software entenda

que você vai dividir por dois,
não apenas os seis.

O que você vai dividir por dois
é o resultado dessa soma.

Portanto,
esses parênteses são necessários.

Assim, o Excel entende que é para somar.

Primeiro vai dar dez e depois dividir
por dois e aí sim o resultado é cinco.

Portanto,
a gente diz que a moda aqui é cinco.

Se você quiser incluir uma casa decimal,
veja aqui na parte superior aqui do Excel,

próximo do símbolo de porcentagem,
é possível acrescentar uma casa decimal

e aqui nós podemos complementar informando

a unidade de medida do problema,
como em nota são pontos.

Então a gente diz que esse aqui
é o valor modal da base de dados.

A moda é cinco pontos.

Essa aqui é a chamada moda bruta.

Vamos ver
agora como a gente calcula a moda de 15

para uma tabela de dados nesse exemplo.

Então vamos considerar a mesma tabela
que nós analisamos no exemplo anterior

e agora sim projetar a chamada moda de 15.

A primeira etapa é você realmente aqui
identificar qual é a classe modal,

ou seja, a classe que possui
a maior frequência absoluta.

Analisando aqui a tabela,
você vai perceber que a classe modal

é a classe
onde os valores variam de 4 a 6 pontos.

Então, dessa forma, aqui

nós conseguimos notar
que a maior frequência absoluta é 12.

É onde eu tenho a maior concentração de
alunos e na faixa que vai de 4 a 6 pontos.

Então a classe modal
é a classe que varia de 4 a 6 pontos.

Uma vez que você definiu a classe modal,

aí você vai para uma segunda etapa
calcular a chamada moda de quinta.

Podemos deixar assim.

Veja que aqui

eu vou na próxima etapa
aplicar agora essa fórmula

que nós estamos observando aqui,
esse algoritmo aplicando a fórmula.

Então nós vamos fazer o limite inferior
da classe, que é o quatro

adicionado.

Vou deixar isso aqui entre parênteses
da frequência posterior à classe modal.

Veja que a classe modal é a classe
que varia de 4 a 6 pontos.

A gente diz que
a frequência posterior é dez,

então eu vou fazer o dez dividido

e aí veja que eu vou ter que somar

a frequência anterior
com a frequência posterior.

Eu vou deixar essa soma entre parênteses

para que o Excel entenda que é
para dividir o dez pelo resultado da soma.

Então aqui no denominador
eu vou deixar a frequência anterior

somada a frequência anterior,

que é nove, somada
com a frequência posterior, que é dez.

Vou fechar aqui os parênteses.

Assim, nessa etapa nós fizemos
a frequência posterior, que é dez,

dividida pela frequência anterior ao 12,

que é nove, somada
com a frequência posterior a 12 que a dez.

Vou deixar isso aqui entre parênteses
e o resultado aqui

eu vou multiplicar no Excel e o asterisco

pela amplitude da classe,

a amplitude de classe é o limite

superior da classe,
menos o limite inferior da classe.

Se você observar aqui,
a classe varia de 4 a 6 pontos.

Se você fizer seis -4, o resultado é dois

e a gente diz que dois é o valor do Aqui
é a amplitude da classe

seis -4 dois.

Dessa forma a gente vai dar o enter aqui
agora e vamos observar então o resultado.

O valor da moda de 15
para essa tabela de dados aqui,

dando o enter.

Então para a gente ver o resultado,
o resultado é 5,05263.

Vamos achar o resultado aproximado
aqui com duas casas decimais

5,05 pontos.

Portanto, nós dizemos que a moda de Qing

para essa base de dados
aqui é de 5,05 pontos.

Observe que na moda de Qing,
então nós consideramos a frequência

posterior
a classe modal e a frequência absoluta.

Um anterior a classe modal.

São essas duas frequências
que são utilizadas

e que acabam interferindo
no valor da moda de Qing.

Complementando então esses exemplos
de moda para distribuições de frequências

com classes, vamos observar como a gente
calcula a chamada moda, diz Amber.

Consideremos então a mesma tabela de dados

e agora para a gente
verificar como vai ficar o valor da moda.

No caso de você
projetar a chamada moda de saber.

Para isso, nós começamos mais uma vez
aqui,

observando na tabela
qual é a classe que apareceu mais

vezes, ou seja, a classe
que tem a maior concentração de dados.

Observando a tabela que a gente percebe
que a classe

que tem a maior concentração de alunos
é a classe que vai de 4 a 6 pontos,

essa faixa de notas aqui,
Então a gente diz que essa faixa de notas

aqui é a faixa de notas modal,

ou seja, é a classe modal.

Uma vez que você definiu a classe modal,

aí sim é que você tem condições
agora de calcular a chamada moda de B.

Podemos deixar assim.

Então,

para calcular a moda, dizer
nós vamos usar o seguinte recurso aqui

o limite inferior
da classe, no caso é o quatro

somado com.

Agora entre parênteses,
vamos organizar essa operação aqui.

Nós vamos ter que fazer a frequência
absoluta máxima, que é o 12.

Esse F aqui representa a frequência

da classe modal,
frequência absoluta da classe modal.

Então vou fazer agora o 12 menos
a frequência

anterior, a classe modal, que é O92 -9.

Isso aqui
representa esse numerador da fração.

Vou deixar isso aqui entre parênteses.

Então
isso aqui vai ter que dividir por aí.

Nós vamos fazer a frequência máxima,

que é 12 menos

a frequência anterior, que é nove, somado
com a frequência máxima,

que é 12 menos
a frequência anterior, que é nove.

Corrigindo aqui é a frequência posterior

A, então na verdade é dez.

Agora sim 12 -10,

ou seja, 12 menos a frequência posterior

somado com 12 menos a frequência anterior.

Veja que aqui, por enquanto,
eu escrevi essa fração que aparece aqui.

Frequência máxima
menos frequência anterior

dividido por frequência máxima
menos frequência posterior

Somado com frequência
máxima Menos frequência anterior.

Agora eu
vou acrescentar um outro parênteses aqui,

porque esse resultado
que fica entre parênteses

aqui deve ser multiplicado pela amplitude
tude da classe,

que no caso é dois seis -4 dois.

A diferença
aqui dois é o H e a amplitude da classe.

Eu vou dar um inteiro, então aqui,
para que a gente possa observar

o resultado gerado por meio desse modelo
matemático aqui, desse modelo estatístico.

Veja que, na perspectiva de exame, a moda
então é o valor aproximado

aqui de 5,2 pontos.

Como nós podemos notar

comparando a moda bruta
que gerou cinco pontos

à moda de 15 que gerou 5,05 pontos

e a moda diz que gerou 5,20 pontos.

Há uma ligeira diferença
entre os valores de denotando

então algumas diferentes perspectivas
para a projeção do valor modal.

Nessa aula nós vimos
então como é que a gente projeta,

como é que a gente calcula essa ferramenta
de estatística que é chamada de moda.

Vimos que

essa ferramenta
pode ser classificada em distribuição

a modal, distribuição, uni modal,
bimodal ou multimodal

e ainda é possível você projetar a moda

para distribuições de frequências
com classes por meio de três perspectivas

A moda bruta à moda de Kim
e a moda de saber.

Dessa maneira, você conhece aqui
mais uma ferramenta estatística

que vai permitir
que você possa aprofundar um pouco mais

a pesquisa que você está
analisando naquele momento.