-
Quando nós mergulhamos
no campo da estatística,
-
é importante nós notarmos que nós
temos um segmento da estatística
-
que nós chamamos
de ferramentas estatísticas,
-
ou seja, são fórmulas,
são modelos matemáticos
-
que nós utilizamos para avaliar
um conjunto de dados,
-
para investigar, para
tomar alguma decisão
-
acerca dos dados que nós
coletamos na pesquisa.
-
A principal ferramenta estatística,
-
e a primeira que nós começamos
a estudar, é a média aritmética
-
e, em seguida, agora sim, vamos
falar sobre a moda a estatística.
-
A moda estatística é
uma ferramenta utilizada
-
para verificar qual é o elemento
que mais vezes apareceu
-
em uma base de dados, ou seja,
-
é o elemento que tem
a maior frequência,
-
o maior número de aparições.
-
Em um exemplo, imaginem só
as diversas capitais do nosso país,
-
aqui do Brasil, e nós temos, por
exemplo, o número de visitantes,
-
o número de turistas
que visitam essas cidades
-
e nós podemos verificar,
-
dentro desse conjunto
de capitais do nosso país,
-
qual é a capital que apresenta
o maior número de turistas por ano,
-
por exemplo.
-
Então, nesse ranking de classificação
das capitais mais visitadas
-
das capitais que têm a maior
frequência de turistas,
-
nós vamos verificar
que, por exemplo,
-
a cidade do Rio de Janeiro
é a cidade que apresenta
-
o maior número de turistas,
o maior número de visitantes.
-
Então nós dizemos
que, nesse caso,
-
a moda estatística é
a cidade do Rio de Janeiro,
-
é uma variável
qualitativa, ou seja,
-
é um elemento que aparece mais
vezes na nossa base de dados,
-
que é o conjunto de capitais
dos diversos estados do nosso país.
-
Então, vamos conhecer um pouquinho
mais essa ferramenta estatística
-
que é chamada de moda,
simplesmente,
-
ou de moda estatística,
para a gente especificar
-
que nós estamos falando
do campo da estatística.
-
Quando nós começamos
a falar de moda, então,
-
nós temos já essa percepção
de que a moda é o elemento
-
que apresenta a maior
frequência absoluta,
-
que é o elemento que aparece
mais vezes na base de dados.
-
E aí, nós temos algumas
classificações,
-
por exemplo, uma base
de dados pode não ter moda
-
e aí, nós dizemos que essa
base de dados é amodal.
-
Se ela possuir uma única moda,
nós dizemos que é unimodal,
-
se ela apresentar
exatamente duas modas,
-
essa base de dados é
chamada de bimodal,
-
no caso de três Modas, a base
de dados é chamada de trimodal
-
e para quatro ou mais modas, a base
de dados é chamada de polimodal.
-
A partir de três
modas, também,
-
algumas pessoas já chamam
de polimodal a base de dados.
-
Para que a gente possa entender
um pouco melhor essa situação,
-
vamos ver alguns exemplos,
-
para que a gente possa
entender melhor
-
como é que a gente
calcula a moda
-
e entender melhor, também,
esse tipo de classificação
-
que a gente fez
uma prévia aqui.
-
Sendo assim,
-
a moda é o elemento que mais
vezes aparece na base de dados,
-
e para que a gente possa
compreender melhor, então,
-
vamos ver um exemplo
-
de maneira que nós vamos
perceber como a moda é calculada
-
e também compreender melhor
-
essa forma de classificação
da moda estatística.
-
Nesse exemplo 1, o objetivo
é determinar a nota modal
-
ou, simplesmente,
determinar a moda.
-
Temos esse conjunto de notas aqui,
6,0, 7,0, 5,0, 8,0, 5,0, 9,0, 4,0 e 5,0
-
e nós podemos notar que, nesse
pequeno conjunto de dados,
-
a nota 5,0 apareceu
três vezes, repare só.
-
Então, nós dizemos que a nota
que mais vezes apareceu
-
na base de dados
é a nota 5,0,
-
portanto, a nota modal
é 5,0 pontos.
-
Tem essa sigla "Mo", que é
muito utilizada para a moda,
-
Mo, para moda, é
igual a 5,0 pontos.
-
Nesse caso, nós temos
uma única moda, isto é,
-
um único elemento que apareceu
mais vezes que os demais,
-
e a distribuição de dados, então, é
chamada de distribuição unimodal.
-
Vamos ver um segundo exemplo,
onde nós vamos notar
-
que há outras possibilidades
para o número de modas
-
em uma base de dados.
-
Nesse exemplo 2, nós também
queremos determinar a nota modal,
-
veja que a gente tem
um pouquinho mais de valores
-
aqui nessa base de dados,
-
e aí, depois de uma observação
um pouco mais calma,
-
você vai notar que a nota
5,0 aparece três vezes,
-
veja só uma, duas, três vezes,
e a nota 6,0 também.
-
Veja que a nota seis aparece,
aqui, uma vez, aqui, duas vezes
-
e a terceira vez aqu,i três vezes,
vejam que elas estão empatadas,
-
a nota 5,0 apareceu
três vezes
-
e a nota 6,0 apareceu
três vezes também.
-
Então, nesse caso,
quando há dois valores
-
que apareceram mais vezes
que os demais valores
-
da base de dados e eles possuem
a mesma frequência absoluta,
-
ou seja, temos
um empate técnico,
-
nós dizemos que a base
de dados tem duas modas,
-
então a moda pode ser
5,0 pontos ou 6,0 pontos.
-
E, nesse caso, a distribuição
é chamada de bimodal.
-
É importante você
notar, também,
-
que você pode ter uma base
de dados onde não há moda
-
e, nesse caso, a base é chamada
de amodal, distribuição amodal.
-
Veja só esse exemplo aqui:
-
nós temos um conjunto de notas
e todas as notas são diferentes.
-
Repare que, nessa pequena
base de dados aqui,
-
não há uma nota que apareceu
mais vezes que as demais notas.
-
Então, quando ocorre um fenômeno
como esse aqui na base de dados,
-
quando você não tem um elemento
que apareceu mais vezes
-
que os demais elementos,
você diz que, nesse caso,
-
não há a ferramenta
estatística moda,
-
não há moda
na base de dados,
-
é uma distribuição de dados
estatísticos amodal.
-
Além dessas situações que eu
apresentei aqui para você,
-
é importante você notar
que é possível, também,
-
nós organizarmos os dados
que nós coletamos na pesquisa
-
em uma tabela de dados.
-
Essa tabela de dados é chamada
de distribuição de frequências.
-
Vamos verificar,
aqui, um exemplo
-
onde a gente calcula o valor
modal da base de dados,
-
sendo que essa base
de dados está representada
-
por meio de uma tabela
de dados.
-
Observe o exemplo.
-
Temos, aqui,
uma tabela de dados,
-
na primeira coluna, nós temos
as diversas notas que surgiram
-
e, aqui, as quantidades de alunos
com as respectivas notas.
-
O desafio é determinar a nota
modal dessa tabela de dados aqui.
-
Para isso a gente vai observar
as frequências absolutas,
-
ou seja, essas quantidades
de alunos que aparecem aqui.
-
Podemos notar que a nota 5,0
apareceu 12 vezes, ou seja,
-
tem 12 alunos com nota 5,0,
15 alunos com nota 6,0,
-
cada um deles, 10 alunos
obtiveram 7,0 pontos,
-
cada um dos dez alunos obteve
7,0 pontos na avaliação,
-
e, assim, 8 alunos
obtiveram 8,0 pontos,
-
5 alunos com nota 9,0
e 2 alunos com nota 10,
-
sendo que o total de alunos
que participou da pesquisa,
-
o total de alunos que fazem
parte dessa amostra é 52.
-
É fácil você notar aqui que a maior
frequência absoluta é o 15,
-
ou seja, a nota 6,0 foi a nota
que mais vezes apareceu
-
nessa pequena base
de dados de 52 alunos,
-
é a nota mais frequente, é
a nota que mais vezes apareceu.
-
Então, a gente diz que a maior
frequência absoluta é 15
-
e que a nota associada a essa
frequência é a nota 6,0.
-
Sendo assim, a gente diz que
a nota modal é Mo = 6,0 pontos.
-
Nesse caso, temos
apenas uma única moda,
-
que é a nota 6,0, é
uma distribuição unimodal.
-
É importante você notar
que a frequência absoluta é 15
-
e a nota associada a essa
frequência absoluta é a nota 6,0.
-
Observe que a moda é o valor 6,0,
ou seja, a nota 6,0, e não o valor 15,
-
que se refere a maior frequência
absoluta na tabela de dados.
-
Vamos ver, agora, uma situação
onde você tem uma tabela de dados
-
organizada com classes,
com aquelas faixas de dados,
-
e aí, nós vamos verificar como é
que a gente calcula a média
-
nessas situações.
-
Nesse exemplo 5, então, nós temos
que determinar a nota modal
-
de uma tabela de dados
que está organizada em classes,
-
veja só, são faixas,
são intervalos de notas.
-
Observe que o colchete fechado aqui
à esquerda de 0,0 inclui a nota 0,0
-
e o colchete aberto aqui
do lado do 2,0, à direita do 2,0,
-
é uma forma de dizer que a nota
2,0 não está incluída no intervalo,
-
ou seja, na verdade, aqui as notas
estão variando de 0 até 1,9999,
-
mas não chega a 2,0 pontos,
-
por isso o colchete aberto
aqui do lado do 2,0.
-
Repare que a nota
2,0 foi considerada
-
aqui nessa faixa que vai
de 2,0 a 4,0 pontos.
-
Então, o colchete fechado
no 2,0 inclui a nota 2,0
-
e o colchete aberto no 4,0 exclui
a nota 4,0 do intervalo de dados.
-
Nós dizemos, de forma
geral, que, por exemplo,
-
aqui é um intervalo que vai
de 4,0 a 6,0 pontos,
-
inclusive 4,0 pontos,
exclusive 6,0 pontos.
-
O intervalo que vai
de 6,0 a 8,0 pontos,
-
inclusive 6,0,
exclusive 8,0,
-
o intervalo que vai de 8,0 a 10,0,
inclusive 8,0, exclusive 10,0.
-
Na segunda coluna, nós temos
as quantidades de alunos
-
que se enquadram, digamos assim,
dentro dessas faixas de notas.
-
É importante a gente
entender que, por exemplo,
-
5 alunos obtiveram notas
variadas, entretanto,
-
as notas desses alunos ficaram
dentro desse intervalo aqui,
-
ou seja, 0,0, 1,5,
1,75, 0,75 pontos,
-
foram notas baixas,
notas baixas variadas,
-
entretanto, na faixa
de 0,0 a 2,0 pontos.
-
9 alunos obtiveram
notas variadas,
-
entretanto, são notas que variam
de 2,0 a 4,0 pontos, exclusive 4,0.
-
12 alunos com notas variadas
na faixa de 4,0 a 6,0 pontos,
-
exclusive 6,0, 10 alunos com notas
variadas no intervalo de 6,0 a 8,0,
-
e 4 alunos com notas variadas
no intervalo de 8,0 a 10,0 pontos,
-
totalizando 40 alunos aqui
na nossa amostra de dados.
-
Para determinar
a nota modal,
-
nós vamos verificar qual é a maior
frequência absoluta aqui,
-
e você pode notar
que a frequência absoluta 12
-
é a maior frequência
absoluta da tabela,
-
e, nesse caso, a classe que está
associada a essa frequência
-
é a classe que vai
de 4,0 a 6,0 pontos.
-
E aí, para determinar a moda,
-
nós consideramos o ponto
médio dessa classe, isto é,
-
a gente soma o limite
inferior da classe
-
com o limite superior
da classe,
-
e, o resultado dessa soma,
a gente divide por 2.
-
Ficaria, então, 4,0 + 6,0,
que vai dar 10,0,
-
dividido por 2
vai dar 5,0,
-
a gente diz que a moda
dessa base de dados é 5,0,
-
ou seja, é o ponto
médio dessa classe
-
que está associada a maior
frequência da tabela,
-
da base de dados
que nós temos aqui.
-
Quando nós trabalhamos
com classes de dados,
-
há outras possibilidades, também,
para o cálculo da moda.
-
Esse tipo de moda que nós
apresentamos aqui para você
-
é uma moda que é
chamada de moda bruta,
-
entretanto, nós temos outras
formas de projetar a moda
-
para as situações em que você
tem essas classes de dados,
-
esses intervalos, essas
tabelas com classes.
-
Vamos observar esses
outros casos, então.
-
Quando nós trabalhamos
com classes de dados,
-
você tem a chamada
moda bruta,
-
que foi o caso que nós
aplicamos no exemplo anterior,
-
então a moda bruta é, basicamente,
a média entre o limite inferior
-
e o limite superior
da classe que contém
-
a maior frequência absoluta
da tabela que você está analisando.
-
Um outro tipo de moda
que também é utilizada,
-
para o caso de você
ter classes de dados,
-
é a chamada moda de King.
-
King é um sobrenome
de um matemático inglês
-
do século XIX.
-
Então, para projetar a moda,
nós utilizamos outros elementos
-
que estão associados à classe,
ao limite inferior da classe,
-
à frequência posterior
à classe,
-
à frequência anterior a essa
classe e à amplitude da classe.
-
É possível, também, projetar a moda
quando você tem classes de dados
-
calculando a chamada
moda de Czuber.
-
Só como curiosidade, é o sobrenome
de um matemático austríaco
-
do século XX, final do século
XIX, início do século XX.
-
Então, para projetar
a moda de Czuber,
-
nós vamos considerar o limite
inferior da classe modal
-
somado, esse limite
inferior é adicionado
-
à frequência máxima menos
a frequência anterior,
-
e o resultado você divide
-
pela frequência máxima
menos a frequência posterior,
-
mais a frequência máxima
menos a frequência anterior,
-
e o resultado você multiplica
pela amplitude da classe
-
que contém a maior
frequência absoluta.
-
Para que a gente possa
entender melhor
-
esses dois tipos especiais de moda
que nós apresentamos aqui,
-
a moda de King
e a moda de Czuber,
-
vamos ver, então, um exemplo
utilizando o Excel.
-
Vamos considerar essa
tabela de dados aqui,
-
o desafio é a gente
obter a nota modal,
-
aqui nós temos
as diversas classes,
-
as diversas faixas de notas,
e aqui o número de alunos.
-
Para determinar
a nota modal, então,
-
em uma primeira possibilidade,
nós temos a chamada "moda bruta".
-
Para isso, nós vamos verificar
que a classe que contém
-
a maior frequência, que é
chamada de classe modal,
-
é a classe onde os valores variam,
aqui, de 4,0 a 6,0 pontos.
-
Podemos indicar, então, assim?
-
"[4,0 ; 6,0["
-
Então, essa classe onde os valores
variam de 4,0 a 6,0 pontos,
-
é a chamada classe
modal da tabela.
-
Agora, para calcular
a moda bruta,
-
podemos indicar
aqui com a sigla "Mo",
-
para calcular essa
moda bruta,
-
nós vamos, então, aplicar
essa fórmula aqui.
-
Aqui no Excel,
ficaria assim:
-
a nota 4 somada
com a nota 6
-
e o resultado, eu
vou dividir por 2.
-
Agora, é muito
importante você notar
-
que dessa forma que eu
escrevi aqui no Excel,
-
o Excel está entendendo que é
para dividir apenas 6 por 2,
-
veja que, nesse caso, o resultado
vai dar 7, 4 + 3 vai dar 7.
-
E veja que está incorreto, porque,
no caso aqui, a moda não é 7,
-
na verdade, a moda é
a média entre o 4 e o 6,
-
então quando a gente
digita isso aqui no Excel,
-
é importante que você note
-
a necessidade de incluir
esses parênteses
-
para que o software entenda
que você vai dividir por 2,
-
não apenas os 6,
-
o que você vai dividir por 2
é o resultado dessa soma,
-
portanto, esses parênteses
são necessários,
-
assim, o Excel entende
que é para somar primeiro,
-
vai dar 10, e depois dividir por 2
e, aí sim, o resultado é 5.
-
Portanto, a gente diz
que a moda aqui é 5.
-
Se você quiser incluir
uma casa decimal,
-
veja que, na parte
superior do Excel,
-
próximo do símbolo
de porcentagem,
-
é possível acrescentar
uma casa decimal,
-
e, aqui, nós podemos
complementar
-
informando a unidade
de medida do problema.
-
Como é nota, são pontos.
-
Então, a gente diz que esse aqui
é o valor modal da base de dados.
-
A moda é 5,0 pontos, essa
aqui é a chamada moda bruta.
-
Vamos ver, agora, como a gente
calcula a moda de King
-
para uma tabela de dados.
-
Nesse exemplo, vamos
considerar a mesma tabela
-
que nós analisamos
no exemplo anterior
-
e, agora sim, projetar
a chamada moda de King.
-
A primeira etapa é você realmente
identificar qual é a classe modal,
-
ou seja, a classe que possui
a maior frequência absoluta.
-
Analisando aqui a tabela,
você vai perceber que a classe modal
-
é a classe
onde os valores variam de 4 a 6 pontos.
-
Então, dessa forma, aqui
-
nós conseguimos notar
que a maior frequência absoluta é 12.
-
É onde eu tenho a maior concentração de
alunos e na faixa que vai de 4 a 6 pontos.
-
Então a classe modal
é a classe que varia de 4 a 6 pontos.
-
Uma vez que você definiu a classe modal,
-
aí você vai para uma segunda etapa
calcular a chamada moda de quinta.
-
Podemos deixar assim.
-
Veja que aqui
-
eu vou na próxima etapa
aplicar agora essa fórmula
-
que nós estamos observando aqui,
esse algoritmo aplicando a fórmula.
-
Então nós vamos fazer o limite inferior
da classe, que é o quatro
-
adicionado.
-
Vou deixar isso aqui entre parênteses
da frequência posterior à classe modal.
-
Veja que a classe modal é a classe
que varia de 4 a 6 pontos.
-
A gente diz que
a frequência posterior é dez,
-
então eu vou fazer o dez dividido
-
e aí veja que eu vou ter que somar
-
a frequência anterior
com a frequência posterior.
-
Eu vou deixar essa soma entre parênteses
-
para que o Excel entenda que é
para dividir o dez pelo resultado da soma.
-
Então aqui no denominador
eu vou deixar a frequência anterior
-
somada a frequência anterior,
-
que é nove, somada
com a frequência posterior, que é dez.
-
Vou fechar aqui os parênteses.
-
Assim, nessa etapa nós fizemos
a frequência posterior, que é dez,
-
dividida pela frequência anterior ao 12,
-
que é nove, somada
com a frequência posterior a 12 que a dez.
-
Vou deixar isso aqui entre parênteses
e o resultado aqui
-
eu vou multiplicar no Excel e o asterisco
-
pela amplitude da classe,
-
a amplitude de classe é o limite
-
superior da classe,
menos o limite inferior da classe.
-
Se você observar aqui,
a classe varia de 4 a 6 pontos.
-
Se você fizer seis -4, o resultado é dois
-
e a gente diz que dois é o valor do Aqui
é a amplitude da classe
-
seis -4 dois.
-
Dessa forma a gente vai dar o enter aqui
agora e vamos observar então o resultado.
-
O valor da moda de 15
para essa tabela de dados aqui,
-
dando o enter.
-
Então para a gente ver o resultado,
o resultado é 5,05263.
-
Vamos achar o resultado aproximado
aqui com duas casas decimais
-
5,05 pontos.
-
Portanto, nós dizemos que a moda de Qing
-
para essa base de dados
aqui é de 5,05 pontos.
-
Observe que na moda de Qing,
então nós consideramos a frequência
-
posterior
a classe modal e a frequência absoluta.
-
Um anterior a classe modal.
-
São essas duas frequências
que são utilizadas
-
e que acabam interferindo
no valor da moda de Qing.
-
Complementando então esses exemplos
de moda para distribuições de frequências
-
com classes, vamos observar como a gente
calcula a chamada moda, diz Amber.
-
Consideremos então a mesma tabela de dados
-
e agora para a gente
verificar como vai ficar o valor da moda.
-
No caso de você
projetar a chamada moda de saber.
-
Para isso, nós começamos mais uma vez
aqui,
-
observando na tabela
qual é a classe que apareceu mais
-
vezes, ou seja, a classe
que tem a maior concentração de dados.
-
Observando a tabela que a gente percebe
que a classe
-
que tem a maior concentração de alunos
é a classe que vai de 4 a 6 pontos,
-
essa faixa de notas aqui,
Então a gente diz que essa faixa de notas
-
aqui é a faixa de notas modal,
-
ou seja, é a classe modal.
-
Uma vez que você definiu a classe modal,
-
aí sim é que você tem condições
agora de calcular a chamada moda de B.
-
Podemos deixar assim.
-
Então,
-
para calcular a moda, dizer
nós vamos usar o seguinte recurso aqui
-
o limite inferior
da classe, no caso é o quatro
-
somado com.
-
Agora entre parênteses,
vamos organizar essa operação aqui.
-
Nós vamos ter que fazer a frequência
absoluta máxima, que é o 12.
-
Esse F aqui representa a frequência
-
da classe modal,
frequência absoluta da classe modal.
-
Então vou fazer agora o 12 menos
a frequência
-
anterior, a classe modal, que é O92 -9.
-
Isso aqui
representa esse numerador da fração.
-
Vou deixar isso aqui entre parênteses.
-
Então
isso aqui vai ter que dividir por aí.
-
Nós vamos fazer a frequência máxima,
-
que é 12 menos
-
a frequência anterior, que é nove, somado
com a frequência máxima,
-
que é 12 menos
a frequência anterior, que é nove.
-
Corrigindo aqui é a frequência posterior
-
A, então na verdade é dez.
-
Agora sim 12 -10,
-
ou seja, 12 menos a frequência posterior
-
somado com 12 menos a frequência anterior.
-
Veja que aqui, por enquanto,
eu escrevi essa fração que aparece aqui.
-
Frequência máxima
menos frequência anterior
-
dividido por frequência máxima
menos frequência posterior
-
Somado com frequência
máxima Menos frequência anterior.
-
Agora eu
vou acrescentar um outro parênteses aqui,
-
porque esse resultado
que fica entre parênteses
-
aqui deve ser multiplicado pela amplitude
tude da classe,
-
que no caso é dois seis -4 dois.
-
A diferença
aqui dois é o H e a amplitude da classe.
-
Eu vou dar um inteiro, então aqui,
para que a gente possa observar
-
o resultado gerado por meio desse modelo
matemático aqui, desse modelo estatístico.
-
Veja que, na perspectiva de exame, a moda
então é o valor aproximado
-
aqui de 5,2 pontos.
-
Como nós podemos notar
-
comparando a moda bruta
que gerou cinco pontos
-
à moda de 15 que gerou 5,05 pontos
-
e a moda diz que gerou 5,20 pontos.
-
Há uma ligeira diferença
entre os valores de denotando
-
então algumas diferentes perspectivas
para a projeção do valor modal.
-
Nessa aula nós vimos
então como é que a gente projeta,
-
como é que a gente calcula essa ferramenta
de estatística que é chamada de moda.
-
Vimos que
-
essa ferramenta
pode ser classificada em distribuição
-
a modal, distribuição, uni modal,
bimodal ou multimodal
-
e ainda é possível você projetar a moda
-
para distribuições de frequências
com classes por meio de três perspectivas
-
A moda bruta à moda de Kim
e a moda de saber.
-
Dessa maneira, você conhece aqui
mais uma ferramenta estatística
-
que vai permitir
que você possa aprofundar um pouco mais
-
a pesquisa que você está
analisando naquele momento.
