Algebra: graphing lines 1

આ પ્રસ્તુતિ માં સ્વાગત છે જે રેખા ચિત્રણ પર આધારિત છે.

ચાલો તો પ્રસ્થાન કરીએ.

તો ધારો ક મારી પાસે એક સમીકરણ છે- મને ખાતરી કરવા દો

કે આ રેખા બૌ જડી ના બની જાય

ધારો કે મારી પાસે એક સમીકરણ છે- કેમ આ બતાવી નથી રહ્યુ?

મને જોવા દો

બરાબર છે

y બરાબર છે ૨x વતા ૧ ને

એટલે આ x અને y વચ્ચે નો સંબંધ છે.

એટલે જો x ૧ હોય, તો y હશે ૨ વાર ૧ વતા ૧ અથવા ત્રણ.

એટલે અપડે જેટલા x વિચારી શકીએ એના માટે

એક y તો રેહવાનો જ.

તો ચાલો અપડે એ કરીએ

જો મે કહ્યું હોત- અહિયાં એક નાનું એવું ટેબલ મુકવા દો

x અને y

અને x માટે મને થોડી ગમે તેમ સંખ્યાઓ મુકવા દો

ધારો કે જો x -૧ હોય તો y ૨ વાર

નેગતીવ ૧ હસે, જે નેગતીવ ૨ ને બરાબર હસે

વતા ૧, જે એને -૧ બનાવી દેશે

જો x ૦ હોત, તો એ બહુ સહેલું બની જાત

એ ૨ વાર ૦ હોત, જે ૦ જ હોત

વતા ૧, જે એને ૧ બનાવી દેશે

જો x ૧ હોત, y ૨ વાર ૧ હોત, જે એને ૨ બનાવી દેત

અને વતા ૧, જે એને ૩ બનાવી દેત

જો x ૨ હોત, તો મને લાગે છે તમને ખ્યાલ આવી રહ્યો છે

y ૫ હોત

અને અપડે આ ચાલુ રાખી શકીએ

વ્યવહારિક રીતે, એવા અગણિત x હસે

જેને અપડે લઇ ને એના માટે એક y મેળવી શકીએ

એટલે તમે જોઈ સકો આપડી પાસે અહિયાં એક નાનું એવું ટેબલ છે

જે x અને y વચ્ચે નું સંબંધ દર્શાવે છે

હવે અપડે શું કરી શકીએ કે અપડે આ બિંદુઓ ને ચીતરી શકીએ

સહનિર્દેશક રેખાઓ પર.

હવે મને જોવા દો કે હું આને થોડું સારી રીતે દોરી શકું છુ કે નહિ.

હું આ રેખા નો ઉપયોગ કરીશ જે થી કરી ને મને સીધી રેખાઓ મળશે.

આ બરાબર છે.

હવે મને થોડા સહનિર્દેશક બિંદુઓ અંકિત કરવા દો.

તો હવે ધારો કે, આ ૧ છે, આ ૨ છે, આ ૩ છે.

આ નેગતીવ ૧ છે, નેગતીવ ૨ છે, નેગતીવ ૩ છે.

હવે આ x-રેખા છે.

આપડી પાસે છે ૧,૨,૩.

ધ્યાન રાખો કે અપડે ચાલ્યા જ રહી શકીએ

૧,૨,૩ અને આ y-રેખા છે.

અને આ થઇ જશે ૧,૨,૩ અને એવી રીતે

આ નેગતીવ ૧ બની જશે.

મને લાગે છે તમને ખ્યાલ આવી રહ્યો છે

હવે અપડે આ બધા બિંદુઓ ને ચીતરી શકીએ

એટલે જો આપડી પાસે એક બિંદુ છે જેનો x નેગતીવ ૧ છે ને y પણ નેગતીવ ૧ છે

એટલે x, અપડે x-રેખા પર જતા રહી શકીએ ત્યાં સુધી જ્યાં સુધી

x -૧ બની જાય

અને પછી અપડે y બરાબર -૧ પર જઈએ અને એ બિંદુ

ત્યાં જ હસે.

મને લાગે છે કે તમને આ સમાજ પાડી રહ્યુ છે.

આ બિંદુ છે.

હું આને નામ આપીશ નેગતીવ ૧, નેગતીવ ૧.

આ થોડું ગૂંચવણ વાળું છે.

આ કહે છે નેગતીવ ૧, નેગતીવે ૧

આ બિંદુ છે જેને મે અહિયાં x કર્યો

ચાલો બીજો એક કરીએ

એ આ બિંદુ છે

હું આ ને આ વખતે કોઈ અલગ રંગ માં કરીશ.

ધારો કે આપડી પાસે એક બિંદુ છે (૦,૧).

હવે x ૦ છે, જે અહિયાં છે.

અને y ૧ છે, જે અહિયાં છે.

ચાલો હજુ એક કરીએ.

જો આપડી પાસે એક બિંદુ હોય ૧,૩.

હવે ૧,૩ એટલે x બરાબર ૧ છે અને y બરાબર ૩ છે.

એટલે આપડી પાસે આ બિંદુ અહિયાં જ છે.

મને આશા છે કે તમને સમજણ પાડી રહી છે.

અને તમે આને દોર્યા જ કરશો , પણ તમે અહિયાં જોઈ સકો છો

અને ખાસ કરી ને જો હું આને થોડું વ્યવસ્થિત રીતે દોરું તો કે

આ બિંદુઓ એક રેખા બનાવી રહ્યા છે.

મને એ રેખા દોરવા દો.

આ રેખા થોડી આવી લાગશે.

આ બરાબર રેખા નથી.

મને આના કરતા પણ સારી કરવા દો.

આ રેખા કંઇક આવી લાગશે.

તમે જોયું?

હવે, મે જે રેખવા દોરી એ બહુ ખરાબ છે

એટલે એ એક રેખા હસે જે જશે- મને સાધનો બદલવા દો

એ એક રેખા હસે જે જશે અહિયાં થી અને

અહિયાં થી.

મને નથી ખબર હું આને બરાબર રીતે બતાવી રહ્યો છુ કે નઈ.

મને આ બિંદુઓ ને થોડું સારી રીતે દર્શાવા દો.

તમે જોઈ સકો છો એક રેખા જે આ બિંદુઓ વડે જય રહી છે

પણ હવે એ બિંદુ ૨, -૫ થી પણ જશે

જે ક્યાય અહિયાં હશે.

તમે કોઈ પણ x વિચારી સકો, જેમ કે જો તમારો x

૧૦,૩૮૦,૦૦૦,૦૦૦ હોત તો પણ તમને એક y મળેત જે આ

રેખા પર તમે મૂકી શકેત.

એટલે આ ગુલાબી રેખા ચાલ્યા જ કરશે અને જે દર્શાવે છે

x અને y ની દરેક મેળવણી જે આ સમીકરણ

ને પૂરી પાડી શકવા સક્ષમ છે.

અને જરૂરી નથી કે x આખી સંખ્યાઓ અથવા પૂર્ણ સંખ્યા

જ હોય.

x, pi-- 3.14159.બરાબર પણ હોઈ સકે

એ સ્થિતિ માં તે ક્યાયક અહિયાં આવેત

અને y હોત ૨pi વતા ૧

એટલે x ની દરેક સંખ્યા માટે આપણ ને y તો મળે જ છે

ચાલો હજુ એક નો પ્રયાસ કરીએ

જો મારે પાસે એક સમીકરણ હોત, y બરાબર છે- આ થોડો કદરૂપો y છે.

y બરાબર છે ૩x વતા ૫ ને.

હવે હું આ વખતે જલ્દી ને ખરાબ દોરવાનો છુ

એટલે આ આપડી x-રેખા છે.

અને આ y-રેખા છે.

મને અહિયાં થોડી સંખ્યાઓ ઉમેરવા દો.

x અને y.

ધારો કે અપડે કહીએ, x બરાબર છે નેગતીવ ૧ ને, તો પછી નેગતીવ ૧ વાર

નેગતીવ ૩ બરાબર ૩ વતા y બરાબર ૮..

એટલે જો x શૂન્ય હોય તો y ૫ હોય.

આ બહુ સહેલું છે.

જો x ૧ હોય તો, નેગતીવ ૩ વાર ૧ બનશે નેગતીવ ૩.

અને y બનશે ૨.

જો x ૨ હોય, તો નેગતીવ ૩ વાર ૨ બરાબર મળશે નેગતીવ ૬.

અને તો y ૧ મળશે.

બરાબર ને?

નેગતીવ ૬- ના ના

નેગતીવ ૧

મને લાગ્યું જ કે અહિયાં કશું ખોટું છે

તો ચાલો આ બિંદુઓ ને દોરી લઈએ

એટલે જો x= -૧, હું થોડું અનુમાન લઉં છુ, એટલે જયારે x =-૧

y =-૮ અને એ બિંદુ ક્યાય અહિયાં આવશે

અને આ એક આખું સંગઠન છે જે હું દોરવાનો છુ

જો તમને એક બિંદુ માટે દોરવું થોડું આકરું

લાગતું હોય તો.

અરે ઉભા રો

મેં અહિયાં ભૂલ કરી

જયારે x નેગતીવ ૧ હોય ત્યારે y ૯ બનશે

નેગતીવ ૮ નહિ બને, એટલે તમે આ બિંદુ ની અવગણના કરી સકો.

જયારે x બરાબર ૧ છે , y બરાબર ૮ મળશે.

એટલે y ક્યાંક અહિયાં મળશે .

જયારે x બરાબર ૦ છે , y બરાબર ૫ મળશે.

એટલે એ ક્યાય અહિયાં મળશે.

જયારે x બરાબર ૧ છે , y બરાબર ૨ મળશે .

એટલે આવું મળશે.

જયારે x બરાબર ૨ છે , y બરાબર -૧ મળશે.

એટલે તમે જોઈ સકો છે કે મેં અનુમાન લીધું છે.

જો મારી પાસે ગ્રાફ પપેર હોત તો હું તમને વધારે સારું

દોરી ને બનાવી સાકેત ને તમે જોઈ સાકેત કે એ એ વાસ્તવિક માં ક્યાં આવે છે.

મને લાગે છે આ રેખા થી કામ ચાલી જશે.

એટલે બધા બિંદુઓ જે આ સમીકરણ ને અનુસરે છે

તે આ રેખા પર છે.

અને અહિયાં થોડી જાણવા જેવી વસ્તુ જે હું બતાવાનો છુ

તમે જોઈ સકો છો કે આ રેખા નીચે ની બાજુ નમેલી છે.

એ ઉપર ની ડાબી બાજુ થી નીચે ની જમણી બાજુ પર જાય રહી છે.

જયારે કે અપડે જે આની પેહલા રેખા દોરી એ નીચે ની ડાબી બાજુ થી

ઉપર ની જમણી બાજુ પર જાય રહી છે.

તમને આ સમીકરણ માં કસુ એવું લાગે છે જે અલગ

છે આની પેહલા વાળી કરતા?

હું તમને થોડી હિન્ટ આપું.

આ સંખ્યા - નેગતીવ ૩, અથવા તમે કઈ સકો x નો કો-એફ્ફીચેઈન્ત

દર્શાવે છે કે રેખા ઉપર ની બાજુ નમશે કે નીચે ની બાજુ

નમશે અને એ પણ કહે છે

કે રેખા કેટલી નમેલી છે.

અને એ નેગતીવ ૩, એ રેખા નો સ્લોપ અથવા જેને કેવાય ઢાળ છે.

અને હું એક આખું અલગ સંગઠન બનવાનો છુ આની પર

અને આ સંખ્યા જે અહિયાં છે એને કેહવાય y-ઇન્ટર્સેપ્ટ.

અને એ તમને કહેશે કે તમે જાય ક્યાં રહ્યા છો

y- રેખા ને છેડવા માટે.

અને અહિયાં એવું છે કે, એ છેડે છે રેખા ને

૦, ૫ પર

ચાલો હજુ એક કરીએ બહુ જ જલ્દી.

y બરાબર છે ૨ ને- અપડે કરી દીધી ૨x.

y બરાબર છે ૧/૨ x વતા ૨ ને. એક્દમ જલ્દી

x અને y.

અને તમારે કોઈ પણ રેખા દોરવા માટે બે જ બિંદુઓ ની જરૂર પડે.

એટલે તમે કહી સકો કે, x બરાબર છે ૦ ને

એ સહેલું છે ને y બરાબર છે ૨ ને..

અને જો x બરાબર છે ૨ ને તો y બરાબર છે ૩ ને .

એટલે અપડે પેહલા જયારે ૩ અને ૪ બિંદુઓ કરી રહ્યા હતા એ

ખાલી તમને બતાવ માટે હતું બાકી કોઈ પણ રેખા દોરવા

માટે તમારે ખાલી બે જ બિંદુઓ જોઈએ.

એટલે ૦, ૧/૨

એ અહિયાં છે.

એના પછી ૧,૨ ,૩.

એ અહિયાં છે.

એટલે આ રેખા કઈ આવી દેખાશે.

અહિયાં ફરી ધ્યાન આપો કે અપડું ઢલાન ઉપર ની બાજુ છે

કેમ કે ૧/૨ પોઈસ્તીવ છે.

પણ અપડે નમતા નથી- અપડે ઉપર જાય રહ્યા છીયે જેટલું જલ્દી

જય શકીએ અને જયારે આપડી પાસે y બરાબર ૨x હતુ, y.બરાબર ૨x.

કઈ આવું લાગેત

એ ઢલાન બહુ બહુ જલ્દી આપતું હ્તું

આશા છે ક હું તમને ગૂંચવણ માં નથી મૂકી રહ્યો

અને y-ઇન્તેર્ચેપ્ત સ્વાભાવિક રીતે આપણ ને મળેત ૦,૨ પર .

જે અહિયાં છે

એટલે જો તમારે ક્યારે પણ રેખા ચીતરવી હોય, એ બહુ સહેલું છે

તમારે ખાલી થોડા બિંદુઓ ને ચકાસવાના છે ને તમે દોરી સક્સો.

અને આવતા વખત ની પ્રસ્તુતિ માં હું તમને થોડું

વધારે સમજાવીશ x-ઇન્તેર્ચેપ્ત અને y-ઇન્તેર્ચેપ્ત વિષે અને

ત્યારે તમારે આ કરવાની જરૂર પણ નઈ પડે

પણ મને લાગે છે આ તમને વિચારવા માં મદદ કરે છે કે

અપડે રેખા દોરી કેવી રીતે શકીએ

મને આશા છે કે તમને મજા આવી રહી છે.