Algebra: graphing lines 1

그래프 그리기 수업에 오신 것을 환영합니다.

지금부터 시작해 볼게요.

자 여기 방정식을 세워 보겠습니다.

굵기는 너무 두껍지 않은 걸로 갑시다.

자 다시 방정식을 세워보겠습니다.-- 음 왜 보이지 않죠?

아 됐네요.

y는 2x + 1과 같다는 식이 있습니다.

x와 y의 관계를 보여주죠.

x가 1이라면 y는 2에 1을 곱하고 또 1을 더한 3이 됩니다.

그렇기 때문에 우리가 생각할 수 있는 모든 x는

y와 상응하게 될 겁니다.

그럼 해봅시다.

여기에 작은 표를 그려보겠습니다.

x와 y.

그리고 x에 아무 숫자나 넣어보겠습니다.

x를 -1이라고 했을 때, y는 -1의 2배인

-2가 됩니다.

그 값에 1을 더하면 -1이 되지요.

x가 0이라면 쉽게 풀립니다.

0에 2를 곱하면 0이 됩니다.

여기에 1을 더하면 y는 1이 되겠지요.

x가 1이면 y는 1에 2를 곱하여 2가 된 것에

1을 더하여 3이 됩니다.

이젠 여러분께서 할 수 있으실 것 같은데, 만약 x가 2이면

y는 5가 되지요.

그리고 계속할 수 있습니다.

x에 넣을 수 있는 값은 분명 무한하고,

이에 대응하는 y를 찾을 수 있다는 걸 알 수 있지요.

그럼 여러분은 이제 x와 y의 관계를 알려주는

작은 표를 볼 수 있겠네요.

이제 우리는 이 좌표를 찍은

그래프를 그려야 해요.

깔끔하게 그려보죠.

곧은 직선을 그리기 위해 이 선을 사용할 거예요.

좋군요.

이제 좌표를 그려 볼게요.

여기를 1, 여기는 2, 여기는 3이라고 합시다.

여기는 -1, 여기는 -2, 여기는 -3이고요.

여기가 x축입니다.

그리고 1, 2, 3

계속할게요.

1,2,3 그리고 여기가 y축입니다.

1,2,3, 그리고 계속갑니다.

여기는 -1이 되겠네요.

이제 감이 오시나요?

우리는 이 점들을 각각 그래프에 그릴거에요.

먼저 x가 -1, y가 -1인 점을 가지고 해 볼게요.

x축을 따라가서, 여기 x값인 -1에

점을 찍어줍니다.

그리고 y값인 -1에도

점을 찍어볼게요.

이해가 되시나요?

이게 바로 그 점입니다.

이 점을 (-1,-1)이라고 표시하겠습니다.

좀 지저분 해 보이네요.

(-1,1)

아까 제가 x표시한 자리의 그 좌표입니다.

다른 것도 해보죠.

이게 이 점이에요.

이번에는 다른 색을 사용해 봅시다.

(0, 1)로 해볼까요?

x는 0이니까 여기,

y는 1, 따라서 점이 여기에 찍히겠죠.

하나 더 해 봅시다.

(1,3)가 있습니다.

여기서 x는 1이고 y는 3이죠.

따라서 여기에 점이 찍힙니다.

이제 이해가 되셨죠?

그리고 계속 그래프를 그릴 수 있는데, 보이는 것처럼

만약 제가 이걸 더 깔끔하게 그렸다면

이 점들은 선으로 그려질 거예요.

그 선을 그려보죠.

선은 이런 식으로 그려집니다.

음, 선이 마음에 들지 않군요.

더 잘 그려보도록 하죠.

선은 이렇게 그려집니다.

보이시나요?

여전히 제가 그린 선이 마음에 들지 않네요.

어쨌든 이 선은 여기를 지나가고-- 도구를 바꿔보죠.

이 선은 여기를 지나가고, 또

여기, 그리고 여기를 지나가지요.

제가 잘 그리고 있는지는 모르겠네요.

점들을 조금 바꿀게요.

이제 선이 이 점들을 지나간다는 게 보이시죠?

이 선은 또 (2, 5)를 지나가는데

그 점은 이 부분에 나타나겠지요.

여러분이 생각할 수 있는 모든 x는, 심지어는 x가

10,380,000,000이라도 이에 상응하는 y가

이 선에 나타날 거예요.

즉 이 분홍색 선이 끝없이 뻗어가는데

그건 이 방정식을 만족하는

x와 y의 결합이 어떤 것이든 다 가능하다는 거예요.

그래서 x가 꼭 자연수나 정수여야 될

필요는 없어요.

x가 파이 -3.14159....- 가 될 수도 있습니다.

어떤 경우든 여기에 찍힐 수 있고,

y는 어떤 경우에서도 2파이+1 이 될 거에요.

따라서 모든 x는 y와 상응됩니다.

다른 예를 하나 들어볼게요.

y는 --음 못생긴 y네요.

y= -3x + 5 라는 방정식이 있다고 가정해봅시다.

음, 이번엔 빠르지만 더럽게 그려질 듯 하네요.

여기가 x축입니다.

여기는 y축이고요.

여기에 값을 넣어주도록 합시다.

x 그리고 y.

x가 -1이라면 (-1) 에 (-3)을 곱하고 +5, 즉 8이지요.

x가 0이면 y는 5고요.

아주 쉽네요.

x가 1이면 1*(-3)=-3입니다.

(-3에 5를 더해주면) y는 2가 되지요.

x가 2면 2에 (-3)을 곱한 -6이고,

(-6에 5를 더하면) y는 1이 됩니다.

맞나요?

-6일 때 , 아니아니,

-1이 되네요.

뭔가 잘못되었네요.

어쨌든 이 점들을 가지고 그래프를 그려봅시다.

x= -1일 때, (그냥 좀 대략적으로 하고 있을 뿐이에요)

y= -8이고 그럼 그 점은 이 주위에 나타나겠네요.

제가 좌표를 그래프로 나타내고 있는 구성이 있는데,

여러분이 그래프를 그릴 때

좀 헷갈릴 수도 있겠네요.

아, 잠깐.

제가 실수를 했군요.

x가 -1이면 y는 8이지요.

-8이 아닙니다. 잊어버리세요.

x가 -1일 때 y는 8입니다.

y는 이 주위에 나타나겠네요.

x가 0일 때 y는 5이죠.

점이 이 쯤 찍히겠네요.

x가 1일 때 y는 2이고요.

그럼 여기 찍히네요.

x가 2일 때 y는 -1입니다.

보시는 것 처럼, 음, 대충 그려볼게요.

만약 제가 그래프 종이나 더 좋은 그래프가 있었다면

좀 더 좋고 정확하게 볼 수 있으셨을 거에요.

제 생각엔 이 선이 맞는 듯 하네요.

방정식을 만족시키는 모든 점이

사실 모두 이 선 위에 있는 거예요.

그리고 지금 짚는 곳에 재미있는 사실이 있어요.

이 선이 아래쪽으로 미끄러진다는 것을 알아차릴 수 있을 거예요.

이 선은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려갑니다.

우리가 전에 그린 선이

왼쪽 밑에서 오른쪽 위로 올라간 형태인 반면에 말이지요.

이제 이 방정식에서 전과 좀 달라보이는

것이 있나요?

힌트를 조금 드릴게요.

이 숫자, 즉 -3, 또는

x의 계수라고도 부를 수 있는데, 이 숫자가 선이

위로 기울지, 아래로 기울지 결정짓습니다.

그리고 그 직선이 얼마나 기울어졌는지도 알려주지요.

네, 사실 -3 자체가 그래프의 기울기입니다.

그리고 저는 제 모듈을 이 기울기에 적용해 볼게요.

여기 있는 이 숫자는 y절편이라고 부릅니다.

y절편은 이 선이 어디에서

y축과 만나는 지 알려주지요.

즉, 이 축은 (0, 5)에서

만나게 됩니다.

하나를 더 빨리 해봅시다.

y는 2와 같습니다. --우리가 이미 2x를 했으니까

y= 1/2x + 2 입니다. 좀 빠르네요.

x와 y.

그리고 선을 그리기 위해 두 점이 필요합니다.

x는 0과 같다고 말할 수 있겠군요.

쉽네요. y는 2입니다.

만약 x가 2와 같다면 y는 3과 같고요.

여러분에게 보여주기 위해 세 개 또는 네 개의 점을 찍었지만

선을 그리기 위해서는

2개의 점이면 된답니다.

0, 1, 2

이렇게 표시하고요.

그리고 1, 2, 3

이렇게요.

따라서 선은 이렇게 나타날 거예요.

1/2가 양수이기 때문에

위를 향해 비슴듬히 움직이고 있다는 것을 알 수 있습니다.

하지만 y= 2x일 때 만큼 빠르게 움직이지는 않아요.

y= 2x는

이렇게 보이지요.

이건 더 더 더 빨리 움직이지요.

제가 여러분을 헷갈리게 한 것이 아니었으면 좋겠네요.

이 길의 y절편은 (0,2)네요.

바로 여기지요.

그래프를 그리는 것은 매우 쉬운 일이예요.

여러분이 점을 몇 개 골라서 그래프에 그리면 되는 겁니다.

다음 모듈에서는 여러분께

경사와 y절편에 대해 좀 더 알려줄 텐데,

여러분은 이것들을 할 필요조차가 없어집니다.

하지만 그건 여러분에게 직관력을 줄 거예요.

선의 그래프가 어떤 것인지에 대해 말이지요.

오늘 수업이 즐거웠길 바래요!