Забавна тригонометрична задача

Тригонометрична задача включваща квадратно уравнение.

Получих една задача от Брадли.

Не му знам фамилията.

Предполагам, че е от мъжки пол.

Не знам къде живее.

Но задачата, която ми даде е интересна.

Не мисля, че сме разглеждали това преди.

Мисля, че си заслужава да я разгледаме.

Задачата, която той изпрати, ако чета правилно бележките му, е

следната: 3 синус на квадрат от х е равно на 1 плюс косинус от x.

На пръв поглед това изглежда като трудна задача.

Как да - не може да се реши за x.

Ще има аркуссинус и квадратни корени

и косинус и така нататък.

И така нататък.

Така, че начина, по който разгледах това е--всеки път, когато видя

косинус x тук, но после виждам синус на квадрат x тук, започвам

да мисля с какви тригонометрични идентичности разполагам.

И кои тригонометрични идентичности включват синус на х на квадрат?

Ами най-основните тригонометрични идентичности, а това произлиза

от дефиницията за единична окръжност на тригонометрични функции е, че

синус на квадрат x плюс косинус на квадрат x е равно на 1.

И това произлиза от факта, че уравнението за кръг

е x на квадрат плюс y на квадрат е равно на радиуса на квадрат.

Но това е единичния кръг.

Той е равен на 1 на квадрат.

Но както и да е.

Дано сте запомнили това ако вече сте

гледали тригонометричните видеоклипове.

Така, че какво прави синус на х на квадрат?

Ами, нека го решим.

И така, синус на квадрат x е равно на 1 минус косинус на х на квадрат, нали така?

Можем да заменим този член тук с това.

И какво ни дава това?

Ами просто налучкваме в момента, но поне

по този начин, всичко е по отношение на косинус от x.

Нека да решим това.

Заместваме.

Така получаваме 3 по синус на квадрат от x.

Току-що показахме, че синус на квадрат от x е същото

като 1 минус косинус на квадрат от x.

като 1 минус косинус на квадрат от x.

Е равно на 1 плюс косинус от x.

Може да опростим малко.

3 минус 3 косинус на квадрат от х е равно на 1 плюс косинус от x.

Не знам.

Само за опит, нека да поставим всичко от дясната

страна на уравнението.

И ще видите, че не е само за опит.

0--нали?

Просто ще--е равно на--нека сложим това от

дясната страна--3 косинус на квадрат x.

И тогава--да видим.

Трябва да извадим 3 от тази страна.

Нека просто напишем косинус x.

Плюс косинус x.

И след това 1 минус 3 е минус 2.

Нека да се уверим, че не направих случайна грешка.

Имаме минус 3 тук.

Добавихме 3 косинус x--3 косинус на квадрат от x

от двете страни, нали?

Извадихме 3 от двете страни.

Минус 2 и този косинус x е този косинус x.

Сега какво можем да направим?

Ами ето тук става интересно.

Тъй като това ужасно много прилича на квадратно уравнение

с изключение на факта, че вместо да се сложим ax на квадрат

плюс bx плюс c, имаме косинус на квадрат x.

Така, че вместо просто x на квадрат, имаме цял

косинус от x на квадрат.

И така, какво искам да кажа с това?

Нека да заместим.

И тогава мисля, че ще ви стане ясно.

Нека да заместим, просто избирам

буквата а произволно--е равно на косинус от x.

Така ако вземем косинус х от това и заместим

с а, какво получаваме?

Просто ще разменя страните.

Така, че слагам 0 от тази страна.

Е равно на 0.

Така получаваме 3--добре, косинус на квадрат x.

Това е същото нещо като косинус от x на квадрат, нали?

Така получаваме 3а на квадрат плюс минус 2 е равно на 0.

Добре, сега имаме чисто квадратно уравнение.

Можем да го решим с помощта на квадратното уравнение.

Така, че какво е квадратното уравнение?

Нека да го запишем тук.

Минус b плюс или минус квадратния корен на b

на квадрат минус 4 ac.

Всичко това върху 2а.

Така, че какви са корените на това уравнение?

Ами какво е минус--и не забравяйте това 'а' е

по-различно от това 'а'.

Може би не трябва да използваме буквата 'а'.

Но тези - а, b и c в квадратното уравнение

представляват коефициентите.

Така, че това е 'а'.

b е 1.

А c е просто минус 2.

Така, че какви са корените на това?

Така, 'а' е решението на това. а може да е равно на--

Знам, че ви обърках.

Можех--нека всъщност да го напиша по различен начин.

Нека да направя това, вместо това а е равно на косинус x, нека

кажем, че--не знам.

Да вземем една добра буква, която не участва в

--Например d.

Така, че 3d на квадрат плюс d минус е 2.

Така сега а, b и c определено са коефициентите.

Така, решенията тук са d - защото не искам да

използвам a, b, или c - d е равно на минус b.

Ами, b е 1.

Минус 1.

И ако това е напълно непознато за вас, трябва да

прегледате клиповете за квадратни уравнения.

Минус b на квадрат.

Ами, това е 1 на квадрат.

Минус 4 ac.

Така, минус 4 по а, по 3, по c.

Добре, c е минус 2, нали?

Така получаваме а-- минусът отпада там.

И имаме 2 там.

Всичко това върху 2 по a. А е 3, така че е върху 6.

Това е равно на минус 1 плюс или минус квадратен

корен - какво е това?

4 по 3 по 2.

24 плюс 1.

25.

О.

Това работи много добре.

Върху 6.

Така, че това е равно на минус 1 плюс или минус 5 върху 6.

И така, какви са корените?

Корените са--какво е минус 1 минус 5?

Това е минус 6 върху 6.

Така, че това е минус 1.

Какво е другото?

Минус 1 плюс 5 е 4.

4 върху 6 е 2/3.

Така, че решението е за уравнението--нека

изчистим малко.

Ще разчистя малко тук.

Ще разчистя малко тук.

Да видим.

Какво правех аз?

О.

Може би искате да оставя--мога да се отърва от това.

Знаете идентичността.

И също знаете квадратната формула.

Да видим.

Всъщност нека да се отървем и от това.

Да изчистим повечко място.

Исках да оставя това, защото това показва как това

се превърна в уравнение от втора степен, но вместо да го имаме в членове

на само една променлива, ние го имаме по отношение на косинуса на x.

И след това направихме това d е равно на косинус от x.

Както и да е.

Така решението на това уравнение е това уравнение от втора степен.

d е равно на минус 1 или 2/3, нали така?

Но, разбира се, ние заместихме отдавна

d е равно на косинус от x.

Така, че решението на това уравнение, по отношение на х, е

решение това уравнение.

Косинус от х е равно на минус 1 или косинус от х е равно на 2/3.

Това е лесно, нали?

х е равно на аркускосинуса от минус 1.

Винаги забравям, че аркускосинус се пише с две c.

Както и да е, и така--в каква степен или радианова стойност

косинус от x е равно на минус 1?

Ами това е pi, нали?

Така, х може да е равно на pi, което е също е или 180 градуса.

Така, х може да е равно на pi, което е също е или 180 градуса.

Това не е толкова лесно.

Мисля, че ще трябва да използвате калкулатор за това.

Освен ако не съм--опа.

Може да не осъзнавате, но Гугъл е всъщност

и калкулатор.

И далеч по-добър калкулатор от повечето други.

Така, че бихме могли да използваме Гугъл за да разберем

аркускосинуса на 2/3.

Да направим това.

Аркускосинусът--не знам дали го пиша правилно

--на 2 върху 3.

Гугъл ни показва, че е 0.841 и още куп числа.

Така, че х е равно на аркускосинуса на 2 върху 3.

Така, че х е равно на 0.84106.

Нека да видим дали те вършат работа.

Нека да просто за опит да видим дали това работи.

Да видим ако заменим pi в това уравнение дали

получаваме правилния отговор.

А какво е синус от pi?

Нека изтрием всичко това, така че да можем да го проверим.

Само ще проверя pi.

0.84.

Не знам.

Това не е подредено.

Но можете да направите това някой друг път.

Така, че нека проверим pi.

x е равно на - Не.

Това не е, каквото исках да направя.

Това не е, каквото исках да направя.

Така, че какво е--нека се уверим, че това работи с pi .

3 синус на квадрат от pi е равно на 1 плюс косинус от pi.

Ами какво е синус от pi?

Това е равно на 3 синус от pi на квадрат.

Това е равно на 1 плюс косинус от pi.

Добре, синус от pi е 0, нали?

Стойността на y, когато отидете до 180 градуса е 0.

Така, че това е 0.

И какво е косинус от pi?

Косинусът от pi е минус 1.

Така, 1 плюс минус 1.

Ами, това е вярно.

Pi, работи за това уравнение.

Мисля, че ако заместите това 0841068 или каквото сте имали

можете също да видите, че това върши работа.

Така, че благодаря на Брадли, че изпрати тази задача.

Мислех, че това е ясна задача, защото изглежда

като тригонометрия.

Това беше тригонометрия, но трябваше да научите малко

повече за идентичности.

И после трябваше да го разпознаете като квадратно уравнение.

Ще се видим в следващото видео.