Problema Divertente Di Trigonometria

A trig problem involving the quadratic equation.

Ho ricevuto un problema da Bradley.

Non lo so il cognome.

Assumo sia un lui.

Non so dove viva.

Ma il problema che mi ha dato e' interessante.

E non penso di averne gia' parlato.

Quindi penso valga la pena parlarne.

Allora, il problema che mi ha dato, se leggo il suo appunto correttamente, e'

questo: sin^2(x) = 1 + cos(x).

Quindi di primo acchitto sembra un problema difficile.

Come --- non puoi risolvere x.

Avresti arcoseno e radici quadrate

e coseno etc.

Etc.

Quindi il modo in cui mi ci avvicino --- ogni volta che se qui vedo un

coseno di x ma poi qui vedo un seno al quadrato, comincio

a pensare a quali identita' trigonometriche ho a disposizione,

E quali identita' trigonometriche coinvolgono sin^2(x)?

Beh, l'identita' trigonometrica piu' basilare, ed esce fuori

dalla definizione della circonferenza unitaria delle funzioni trigonometriche, e'

sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

E proviene dal fatto che l'equazione di un cerchio

e' x^2 + y^2 = r^2.

Ma e' la circonferenza unitaria.

E' uguale a 1^2.

Ma comunque.

Si spera tu lo abbia memorizzato se hai gia'

guardato i video sulla trigonometria.

Quindi a quant'e' uguale sin^2(x)?

Beh risolviamolo.

Allora, sin^2(x) = 1 - cos^2(x), giusto?

Quindi possiamo sostituire questo termine qui con questo.

E a cosa ci porta?

Beh, stiamo solo giocando a questo punto, ma almeno

in questo modo, sta tutto in termini di cos(x).

Quindi facciamolo.

Sostituiamo.

Quindi otteniamo 3 * sin^2(x).

Abbiamo appena mostrato che sin^2(x) e' la stessa cosa

di 1 - cos^2(x).

E' uguale a 1 + cos(x).

Possiamo semplificare un po'.

3 - 3cos^2(x) = 1 + cos(x).

Non lo so.

E giusto per divertimento, mettiamo tutto sul lato destro

dell'equazione.

E vedrai che non era solo per divertimento.

0 --- giusto?

Lo vado giusto a --- e' uguale a --- questo mettiamolo sul

lato destro --- 3cos^2(x).

E poi --- vediamo.

Dobbiamo sottrarre 3 da questo lato.

Beh scriviamo giusto cos(x).

+ cos(x).

E poi 1 - 3 = -2.

Fammi assicurare di non fare errori di distrazione.

Qui abbiamo -3.

Abbiamo sommato 3cos(x) --- 3cos^2(x)

ad entrambi i lati, giusto?

Abbiamo sottratto 3 da entrambi i lati.

Meno 2 e questo cos(x) e' questo cos(x).

Ora che possiamo fare?

Beh qui e' dove si fa interessante.

Perche' questo sembra terribilmente simile a un'equazione quadratica

eccetto per il fatto che invece di avere una

ax^2 + bx + c, abbiamo a*cos^2(x).

Quindi invece di avere solo x^2, abbiamo tutto un

cos(x) al quadrato.

Che intendo con questo?

Fammi fare una sostituzione.

E poi penso che ti diventera' chiaro.

Facciamo la sostituzione dove a --- e pesco giusto

una lettera a arbitrariamente --- e' uguale a cos(x).

Quindi se dovessi prendere i cos(x) di questo e sostituirli

con a, cosa otterremmo?

E la scambio.

Percio' voglio mettere lo 0 su quel lato.

Uguale 0.

Quindi otteniamo 3 --- beh cos^2(x).

Questo e' come (cos(x))^2, giusto?

Quindi otteniamo 3a^2 + a - 2 = 0.

Beh ora abbiamo una quadratica pura.

E possiamo risolvere usando l'equazione quadratica.

Allora cos'e' l'equazinoe quadratica?

Fammela scrivere qui.

-b ±

√(b^2 - 4ac)

Il tutto fratto 2a.

Allora, quali sono le radici di questa equazione?

Beh quant'e' meno --- e ricordati che questa a e'

differente da questa a.

Magari non avrei dovuto usare questa lettera.

Ma queste --- a, b e c nell'equazione quadratica

rappresentano i coefficienti.

Quindi questo e' a.

b = 1.

E c e' -2.

Quindi quali sono le radici di questa?

Quindi le a che risolvono questo. a puo' essere uguale ---

Lo so che ti sto confondendo.

Potrei --- In realta' fammelo scrivere differentemente.

Rendiamo questo, invece di a = cos(x),

fammi dire --- non lo so.

Fammi pescare una bella lettera che non sia coinvolta

nel --- diciamo d.

Quindi 3d^2 + d - 2.

Percio' adesso le a, b e c sono di sicuro coefficienti.

Quindi le soluzioni di questa sono d --- perche' non volevo

usare a, b o c --- d = -b.

Beh, b = 1.

-1.

E se ti e' completamente estraneo, dovresti

riguardarti i video sull'equazione quadratica.

-b^2.

Beh, e' 1^2.

-4ac.

Allora -4 * a, per 3, per c.

Beh c = -2, giusto?

Quindi otteniamo a --- Questi meno si annullano.

E qui abbiamo un 2.

Tutto questo fratto 2 * a. a = 3, quindi abbiamo fratto 6.

Quindi questo e' uguale a 1 ±

√ --- quant'e'?

4 * 3 * 2.

24 + 1.

25.

Oh.

Funziona bene.

Fratto 6.

Quindi e' uguale a (-1 ± 5) / 6.

E quali sono le radici?

Le radici sono --- quant'e' -1 - 5?

Fa -6/6.

Quindi -1.

Quant'e' l'altro?

-1 + 5 = 4.

4 / 6 = 2/3.

Quindi la soluzione di quest'equazione --- fammi

pulire un po' di spazio.

Si spera mi lasci pulire un po' di spazio qui.

Vediamo.

Che stavo facendo?

Oh.

Magari voglio lasciare --- fammi liberare di questo.

L'identita' la conosci.

E conosci anche la formula quadratica.

Vediamo.

In realta', fammi liberare anche di questo.

Pulisco un po' di spazio.

Volevo lasciare questo qui perche' ti mostrava come e'

diventato una quadratica, ma invece di avercelo in termini

di una variabile, ce l'abbiamo in termini di cos(x).

E poi abbiamo resto questo d un cos(x).

Ad ogni modo.

Quindi la soluzione di questa quadratica.

E' d = -1 oppure 2/3, giusto?

Ma, ovviamente, abbiamo sostituito da parecchio che

d = cos(x).

Quindi la soluzione a questa equazione, in termini di x, e'

la soluzione di questa equazione.

cos(x) = -1 oppure cos(x) = 2/3.

Beh questa e' facile, giusto?

x = arcoseno di -1

Mi scordo sempre se ci vogliono due c quando scrivi arcoseno.

Ad ogni modo, quindi cosa --- a quanti gradi o radianti il

coseno di x e' uguale a meno 1?

Beh, e' a π, giusto?

Quindi x potrebbe essere uguale a π, che e' anche 180°.

Questo non e' cosi' facile.

Penso che dovremo usare una calcolatrice per questo.

A meno che --- ooops.

Potresti non averlo realizzato, ma Google e' in realta'

una calcolatrice.

E una calcolatrice molto piu' avanzata della maggior parte.

Quindi potremmo usare Google per calcolare

l'arcoseno di 2/3.

Facciamolo.

arccos --- e non lo so se lo sto scrivendo

bene --- di 2/3.

Google ci dice che e' 0,841 e un po' di altri numeri.

Quindi x = arccos(2/3).

Quindi x = 0,84106.

Vediamo se funzionano.

Vediamo, giusto per divertimento, vediamo se questo funziona.

Vediamo se sostituiamo π in questa equazione

se otteniamo la risposta esatta.

Beh, quant'e' il sin(π)?

Fammi cancellare tutto questo cosi' possiamo controllare.

Controllo solo π.

Lo 0,84.

Non lo so.

E' incasinato.

Ma potresti farlo nel tuo tempo libero.

Quindi controlliamo π.

x = --- No.

Non era questo che volevo fare.

Quindi quant'e' --- fammi assicurare che con π funziona.

3 sin^2(π) = 1 + cos(π).

Beh quant'e' il sin(π)?

E' uguale a 3sin(π)^2.

Questo e' uguale a 1 + cos(π).

Beh, sin(π) e' 0, giusto?

Il valore di y quando vai a 180° e' 0.

Percio' questo e' 0.

E quant'e' il cos(π)?

Cos(π) = -1.

Quindi 1 + -1.

Beh e' vero.

Quindi π ha funzionato in quest'equazione.

Penso che se sostituisci 0,841068 quel che e',

trovi che funziona anche quello.

Quindi grazie Bradley per avercelo mandato.

Ho pensato fosse un bel problema perche'

sembrava trigonometria.

Ed era trigonometria ma dovevi conoscere un po'

di identita'.

E poi dovevi riconoscere che era un'equazione quadratica.

Ci vediamo in un prossimo video.