Интересная тригонометрическая задача

Тригонометрическая задача с применением квадратного уравнения

Я получил задачу от Бредли.

Не знаю его фамилии.

Думаю, что это парень.

Не знаю, где он живет.

Но он дал интересную задачу.

Кажется, я не разбирал такие,

поэтому, стоит решить.

Итак, задача, которую он дал (если я
правильно прочитал записку):

3 sin²x = 1 + cos x

На первый взгляд это кажется
трудной задачей.

Трудно решать относительно х.

У вас были бы и арксинусы,
и квадратные

корни, и косинусы, и т.д., и т.п.

И т.д.

Каким бы методом я воспользовался?
Если я вижу

здесь cos x, а затем здесь вижу sin²x,
то начинаю вспоминать,

какие тригонометрические
тождества есть в моем распоряжении.

Какие тригонометрические тождества
содержат sin²x?

Ну, самое основное тождество,
которое следует из

определения тригонометрических
функций на единичной окружности –

это sin²x + cos²x = 1.

Следует оно также из того, что для
всех точек на окружности

х² + y² равно радиусу в квадрате.

Но это единичная окружность.

Это равно единице в квадрате.

Итак…

Надеюсь, вы это усвоили, если

проходили уроки по тригонометрии.

Итак, чему равен sin²x?

Давайте вычислим.

sin²x = 1 – cos²x, правильно?

Итак, можно здесь вместо sin²x
подставить это выражение.

Что это даст?

Ну, сейчас мы просто экспериментируем,
но так,

по крайней мере, все будет выражено

через cos x.

Подставим.

Получим 3, умножить на sin²x…

Мы только что выяснили, что sin²x –

то же самое, что (1 - cos²x)…

Равно 1 + cos x.

Можно немного упростить.

3 – 3 cos²x = 1 + cos x

Не знаю…

Так, для эксперимента, давайте все

перенесем в правую часть.

И вы увидите, что это было не
экспериментом.

Ноль, правильно?...

переносим это в правую часть

3 cos²x…

Затем…

Нужно из этой части вычесть 3.

Давайте просто напишем: cos x…

+ cos x

Затем 1 - 3 = -2

Проверьте, чтоб я не ошибся.

Здесь у нас -3.

Добавили 3 cos²x

к обеим частям, правильно?

Из обеих частей вычли 3.

- 2 и этот cos x остается.

А теперь что мы можем сделать?

Вот здесь начинается самое интересное.

Потому что это выглядит как
квадратное уравнение,

за исключением того, что вместо
ах² + bx + c

у нас a*cos²x.

Т.е. вместо х²

у нас целый cos²x.

Что я имею в виду при этом?

Давайте я сделаю замену.

Тогда, думаю, вам все станет понятно.

Сделаю замену: а (букву я выбираю
произвольно)

равно cos x.

Итак, если в этом уравнении заменить cos x

на а, что получится?

Поменяю местами части уравнения.

Хочу перенести ноль в эту сторону.

Равно нулю.

Итак, получим 3… cos²x –

это то же самое, что и (cos x)²,
правильно?

Получим 3а² + а – 2 = 0

У нас теперь полное
квадратное уравнение.

И можно решить его, используя формулу
нахождения корней квадратного уравнения.

Что это за формула?

Напишу ее здесь.

- b ± √ (b² – 4ac)…

- b ± √ (b² – 4ac)…

И все это разделить на 2а.

Итак, какие корни у этого уравнения?

И помните, что это а отлично от

этого а.

Может, не стоило использовать букву а…

Но эти а, b и с в квадратном уравнении

являются коэффициентами.

Итак, это а.

b = 1.

c = -2.

Так какие же корни у этого уравнения?

Итак, А, которое есть корнем этого
уравнения... А может равняться...

Да, запутал я вас.

Давайте возьмем другую букву.

Вместо а = cos x обозначим…

давайте, скажем... Не знаю…

Подберу подходящую букву, которая

здесь не используется… Допустим, d.

Итак, 3d² + d -2

Так что теперь a, b и c определенно
являются коэффициентами.

А решением этого уравнения является d,
т.к. я не хотел

использовать a, b или c. d = - b,

b = 1, тогда

-1

Если это вам совсем незнакомо,

стоит пересмотреть уроки
по квадратным уравнениям.

-b²...

Это единица в квадрате...

Минус 4ac...

Т.е. 4 умножить на а (умножить на 3),
умножить на с.

с = -2, правильно?

Эти минусы сокращаются.

И умножаем на 2.

И все это разделить на 2а.
а = 3, поэтому делим на 6.

Итак, это равно -1 ± √ …
Чему равно выражение

под корнем?

4 • 3 • 2

24 + 1

25

Ах

Легко будет извлечь корень.

Разделить на 6.

Итак, это равно -1 ± 5/6.

И какие же корни уравнения?

Чему равно -1-5 ?

Это -6/6.

И равно это -1.

А другой корень?

-1 + 5 = 4

4 разделить на 6 равно 2/3.

Итак, решение этого уравнения

Я освобожу немного места…

Надеюсь, можно вот это стереть…

Посмотрим...

Что я делал?

Ой.

Это я хочу оставить, но можно
стереть вот это.

Вы знаете это тождество.

Также знаете формулу решения
квадратного уравнения.

Посмотрим…

Давайте и это тоже сотру.

Освобожу много места.
А это выражение я

хотел бы оставить,
т.к. оно показывает,

как это выражение стало
квадратным уравнением,

только вместо простой переменной
у нас cos x.

А затем мы cos x обозначили через d.

Тем не менее. Решением этого

квадратного уравнения

является d = -1 или d = 2/3, правильно?

Но, конечно, перед этим мы провели замену,

обозначив cos x = d.

Т.е. решением этого уравнения
с переменной х является

решение этого уравнения.

cos x = -1 или cos x = 2/3

Ну это легко найти, правда?

x = arccos (-1)

Всегда забываю, что в арккосинусе
две буквы «с».

Ну да ладно. Для угла в градусах
или радианах

cos x = -1 ?

Это π, правильно?

Т.е. x может быть равен π,
что также равно 180°.

Ну а здесь не так просто. Думаю,

для этого мне придется
воспользоваться калькулятором.

Может, вы не знали,

но Google, как ни странно,

является калькулятором.

И более продвинутым калькулятором,
чем большинство.

Поэтому можно использовать Google,

чтобы найти arccos(2/3).

Давайте найдем.

Arccos (2/3)

не знаю, правильно ли написал.

Google нам говорит, что это 0,841
(и еще куча цифр).

Итак, x = arccos (2/3).

x = 0,84106

Проверим, подходят ли они.

Так, для интереса, проверим,
подходит ли вот этот корень,

Посмотрим, если подставим π в уравнение,

получим ли мы правильный ответ.

Чему равен синус π?

Давайте я все сотру, тогда и
сможем проверить.

Проверю только π.

0,84.

И не знаю.

Это сложно.

Но вы могли бы это проверить
сами.

Итак, проверим π.

х равно… Нет, это не то,

что я хотел сделать.

Итак, проверим, подходит ли корень π.

3 sin²π = 1 + cos π

Чему равен sin π?

Это равно 3 (sin π)²,

и равно 1 + cos π.

sin π = 0, правильно?

Значение Y, если пройти 180°, равно 0.

Поэтому это равно 0.

А чему равен cos π?

cos π = -1

значит, 1 + (-1).

Итак, все правильно.

π - корень этого уравнения.

Думаю, если бы вы подставили 0,841,
в любом случае оказалось бы,

что равенство соблюдается.

Спасибо Бредли за задачу.

Это была забавная задача,
потому что

выглядит как тригонометрическая.

Она и была тригонометрической,
только нужно было

знать тождества.

А затем нужно было распознать
это как квадратное уравнение.

До встречи на следующем уроке!