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Fun Trig Problem

  • 0:01 - 0:03
    布兰德利发给了我一个问题
  • 0:03 - 0:04
    我不知道他姓什么
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    假设他是男的
  • 0:05 - 0:06
    我不知道他住哪
  • 0:06 - 0:08
    但是他给的问题很有趣
  • 0:08 - 0:09
    我想在这之前没有涉及过
  • 0:09 - 0:10
    所以我认为这值得研究
  • 0:10 - 0:11
    如果我没有误解的话
  • 0:11 - 0:14
    他给的这个问题是:
  • 0:14 - 0:25
    3乘以sinx的平方等于1加上cosx
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    乍一看这好像是个难题
  • 0:28 - 0:29
    你们求不出x
  • 0:29 - 0:31
    你们已经学过反正弦函数 平方根
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    余弦函数 等等
  • 0:34 - 0:35
    解决这个问题的方法是
  • 0:35 - 0:36
    任何时候 如果看到这边是个cosx
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    但是那边是个sinx的平方
  • 0:39 - 0:40
    我就开始想
  • 0:40 - 0:43
    能用什么三角公式解决
  • 0:43 - 0:46
    什么三角公式涉及到sinx的平方呢？
  • 0:46 - 0:48
    最基本的三角公式
  • 0:48 - 0:51
    来源于三角函数在单位圆中的定义
  • 0:51 - 0:57
    那就是sinx的平方加上cosx的平方
  • 0:57 - 0:59
    等于1
  • 0:59 - 1:00
    它来源于这样一个事实 即
  • 1:00 - 1:02
    圆的方程是
  • 1:02 - 1:03
    x平方加上y的平方
  • 1:03 - 1:04
    等于半径的平方
  • 1:04 - 1:05
    但是这是单位圆
  • 1:05 - 1:07
    所以等于1的平方
  • 1:07 - 1:07
    但无论如何
  • 1:07 - 1:09
    如果你们一直在观看三角函数的视频
  • 1:09 - 1:11
    希望你们还记得这些
  • 1:11 - 1:13
    sinx的平方等于什么？
  • 1:13 - 1:18
    让我们解决这个问题 sinx的平方
  • 1:18 - 1:23
    等于1减去cosx的平方 对吗？
  • 1:23 - 1:28
    所以我们用这个代替这部分
  • 1:28 - 1:29
    这样能得到什么？
  • 1:29 - 1:30
    我们现在随意展开
  • 1:30 - 1:32
    但是至少
  • 1:32 - 1:35
    每一部分都与cosx有关
  • 1:35 - 1:36
    开始做吧 我们替换一下
  • 1:36 - 1:40
    所以就得到3乘以sinx的平方
  • 1:40 - 1:40
    刚刚说过
  • 1:40 - 1:42
    sinx的平方等于
  • 1:42 - 1:43
    1减去cosx的平方
  • 1:49 - 1:54
    就等于1加上cosx
  • 1:54 - 1:56
    我们可以稍微简化一下
  • 1:56 - 2:02
    3减去3乘以cosx的平方
  • 2:02 - 2:05
    等于1加上cosx
  • 2:05 - 2:06
    我不知道
  • 2:06 - 2:08
    仅仅为了好玩 我们把所有的都移到
  • 2:08 - 2:10
    方程的右边
  • 2:10 - 2:13
    然后你们会发现这不仅仅是为了好玩 0 对吗？
  • 2:13 - 2:15
    我将要- 等于 我把这部分
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    放到右边 3乘以cosx的平方
  • 2:20 - 2:22
    然后 看一下
  • 2:22 - 2:24
    从这边提出3
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    现在只关于cosx了 加上cosx
  • 2:27 - 2:30
    1减3等于负2
  • 2:30 - 2:32
    确认一下没有因粗心犯错
  • 2:32 - 2:33
    这里是-3
  • 2:33 - 2:35
    两边同时加3乘以cosx的平方
  • 2:35 - 2:37
    对吗？
  • 2:37 - 2:38
    两边同时减3
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    负2 这个cosx就是上面那个cosx
  • 2:41 - 2:44
    现在能做什么呢？
  • 2:44 - 2:46
    从这里开始变得有趣了
  • 2:46 - 2:48
    因为这看起来
  • 2:48 - 2:51
    极像一个二次方程式
  • 2:51 - 2:59
    只是不是a乘以x方加上b乘以x加上c的形式
  • 2:59 - 3:02
    我们有a乘以cosx的平方
  • 3:02 - 3:04
    而不是x的平方
  • 3:04 - 3:06
    而是整个cosx的平方
  • 3:06 - 3:07
    我这么说什么意思呢？
  • 3:07 - 3:09
    我们做个代换
  • 3:09 - 3:13
    我认为对你们来说就很清晰了
  • 3:13 - 3:15
    我们做个代换
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    a 我随便选个子母a
  • 3:18 - 3:21
    等于cosx
  • 3:21 - 3:23
    如果我们用a
  • 3:23 - 3:25
    代换cosx 然后得到了什么？
  • 3:25 - 3:27
    我转换一下
  • 3:27 - 3:30
    我把0放到另一边 等于0
  • 3:30 - 3:32
    然后我们得到3乘以...
  • 3:32 - 3:36
    cos²x就是等于cosx的平方 对吗？
  • 3:36 - 3:48
    得到3乘以a方加上a减去2等于0
  • 3:48 - 3:50
    现在我们得到了一个纯二次式
  • 3:50 - 3:54
    我们可以用二次方程求解
  • 3:54 - 3:57
    这个二次方程是什么？
  • 3:57 - 3:59
    我把它写在这里
  • 3:59 - 4:03
    负b加或减根下b方减4ac
  • 4:03 - 4:07
    这些全除以2a（注意老师的式子写错了）
  • 4:07 - 4:09
    这个方程的根是什么？
  • 4:09 - 4:09
    减去--
  • 4:09 - 4:11
    记住这个a和这个a不一样
  • 4:11 - 4:13
    或许我当初不应该用a代换
  • 4:13 - 4:15
    但是这些a b c在这个二次方程中
  • 4:15 - 4:16
    代表系数
  • 4:16 - 4:23
    这是a b等于1 c等于负2
  • 4:23 - 4:26
    所以这个方程的根是什么？
  • 4:26 - 4:30
    a就解出来了 a等于
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    我知道让你们困惑了
  • 4:31 - 4:32
    我用另一种方式写
  • 4:32 - 4:35
    改一下 不用a代换cosx
  • 4:35 - 4:38
    比方说 我不知道
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    让我选一个这里面不包含的子母
  • 4:41 - 4:42
    比方说d
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    3乘以d方加上d减2
  • 4:46 - 4:49
    现在a b c清楚地表示了系数
  • 4:49 - 4:52
    方程的解是d
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    因为我不想用a b c
  • 4:55 - 5:00
    d等于负b b等于1 负1
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    如果你们觉得这完全陌生
  • 5:02 - 5:05
    大家应该复习二次方程的视频
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    b方也就是1方减4ac
  • 5:12 - 5:18
    所以减去4乘a 乘3 乘c
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    c等于负2 对吗？
  • 5:21 - 5:23
    负号消去了
  • 5:23 - 5:24
    得到正2
  • 5:24 - 5:26
    所有这些除以2a
  • 5:26 - 5:29
    a是3 所以除以6
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    所以等于负1加减平方根
  • 5:31 - 5:36
    这个等于什么？ 4乘3乘2等于24 再加1等于25
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    除以6
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    这个等于负1加减5除以6
  • 5:46 - 5:47
    根是什么呢？
  • 5:47 - 5:52
    根是 负1减5等于什么？
  • 5:52 - 5:56
    等于负6 除以6 等于负1
  • 5:56 - 5:57
    另一个根呢？
  • 5:57 - 6:04
    负1加5是4 4除以6等于2/3
  • 6:04 - 6:05
    所以方程的解
  • 6:05 - 6:06
    我清出点空间来
  • 6:06 - 6:12
    希望能空出点地方来
  • 6:15 - 6:19
    我看一下 我清除了些什么？哦
  • 6:19 - 6:22
    或许我想留着 我可以去掉这些
  • 6:22 - 6:24
    你们知道这个方程吧
  • 6:24 - 6:28
    你们也知道这个二次式吧
  • 6:28 - 6:30
    看一下 我把这些也去掉
  • 6:30 - 6:34
    清出一点空间来了
  • 6:34 - 6:35
    我想把这个留着
  • 6:35 - 6:38
    因为这些表明了怎么化成二次式的
  • 6:38 - 6:41
    我们并不是用变量a的形式
  • 6:41 - 6:44
    而是用cosx的形式
  • 6:44 - 6:46
    然后让d等于cosx
  • 6:46 - 6:47
    无论如何
  • 6:47 - 6:51
    方程的解是这个二次式
  • 6:51 - 6:57
    d等于-1或2/3 对吗？
  • 6:57 - 7:00
    但是 当然 之前我们做了个代换
  • 7:00 - 7:02
    d等于cosx
  • 7:02 - 7:06
    所以用x的形式表示的解
  • 7:06 - 7:08
    就是这个方程的解
  • 7:08 - 7:13
    cosx等于-1
  • 7:13 - 7:18
    或cosx等于2/3
  • 7:18 - 7:19
    这个方程简单吧？
  • 7:19 - 7:24
    x等于arccos(-1)
  • 7:24 - 7:25
    当计算arccos时 我经常忘了
  • 7:25 - 7:26
    这里是否有两个c
  • 7:26 - 7:30
    哪个角或弧度的余弦
  • 7:30 - 7:33
    cosx 会等于负1呢？
  • 7:33 - 7:35
    是π 对吗？
  • 7:35 - 7:40
    所以x等于π ，也可以是180°
  • 7:43 - 7:44
    这个的答案没那么简单
  • 7:44 - 7:47
    我认为我应该用计算器
  • 7:47 - 7:49
    除非 哎呦
  • 7:49 - 7:52
    大家可能没有注意到
  • 7:52 - 7:55
    谷歌是个不错的计算器
  • 7:55 - 8:00
    比大部分计算器都要先进
  • 8:00 - 8:02
    我们可以用谷歌算出
  • 8:02 - 8:04
    arccos (2/3)
  • 8:04 - 8:06
    开始做吧
  • 8:06 - 8:10
    arccos 不知道我拼写的是否正确
  • 8:11 - 8:15
    谷歌算出来
  • 8:15 - 8:21
    是0.841 后面一大堆数字
  • 8:21 - 8:27
    所以x等于arccos2/3
  • 8:27 - 8:35
    所以x等于0.84106
  • 8:35 - 8:36
    看一下对不
  • 8:36 - 8:39
    为了好玩 我们看一下这个结果成立不
  • 8:39 - 8:42
    看一下如果把π带入方程
  • 8:42 - 8:44
    能不能得到正确结果
  • 8:44 - 8:47
    sinπ等于什么？
  • 8:47 - 8:49
    我把这些都擦去 以便我们检查
  • 8:49 - 8:50
    我只检查π
  • 8:50 - 8:53
    0.84 我不知道 这很乱
  • 8:53 - 8:55
    但你们可以自己用0.84检验下
  • 8:55 - 8:59
    让我们检验一下π x等于 不对
  • 8:59 - 9:01
    这不是我要做的
  • 9:07 - 9:09
    确定一下π是合适的
  • 9:09 - 9:18
    3乘以sinπ的平方等于1加cosπ
  • 9:18 - 9:19
    sinπ等于多少？
  • 9:19 - 9:25
    这边等于3乘sinπ的平方
  • 9:25 - 9:28
    这边等于1加cosπ
  • 9:28 - 9:30
    sinπ等于0 对吗？
  • 9:30 - 9:32
    当180度角时 y的值是0
  • 9:32 - 9:34
    所以它等于0
  • 9:34 - 9:36
    cosπ等于什么？
  • 9:36 - 9:38
    cosπ等于负1
  • 9:38 - 9:40
    所以1加-1(等于0) 这是正确的
  • 9:40 - 9:42
    所以π是这个等式的解
  • 9:42 - 9:47
    我想如果你们把0.841068代入方程
  • 9:47 - 9:48
    会发现它也是方程的解
  • 9:48 - 9:50
    感谢布兰德利给了这样一个问题
  • 9:50 - 9:51
    我认为这是一个很巧妙的问题
  • 9:51 - 9:53
    因为这看起来像是一个三角学问题
  • 9:53 - 9:54
    它是个三角学问题但是你们还必须知道
  • 9:54 - 9:55
    一些恒等式
  • 9:55 - 9:58
    然后 你们会意识到这是一个二次方程
  • 9:58 - 10:01
    下次视频再见
Title:
Fun Trig Problem
Description:

A trig problem involving the quadratic equation.
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Video Language:
English
Duration:
10:01
cdheath.xmw edited Chinese, Simplified subtitles for Fun Trig Problem
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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