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Fun Trig Problem

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    布蘭德利發給了我一個問題
  • 0:03 - 0:04
    我不知道他姓什麽
  • 0:04 - 0:05
    假設他是男的
  • 0:05 - 0:06
    我不知道他住哪
  • 0:06 - 0:08
    但是他給的問題很有趣
  • 0:08 - 0:09
    我想在這之前沒有涉及過
  • 0:09 - 0:10
    所以我認爲這值得研究
  • 0:10 - 0:11
    如果我沒有誤解的話
  • 0:11 - 0:14
    他給的這個問題是:
  • 0:14 - 0:25
    3乘以sinx的平方等於1加上cosx
  • 0:25 - 0:28
    乍一看這好像是個難題
  • 0:28 - 0:29
    你們求不出x
  • 0:29 - 0:31
    你們已經學過反正弦函數 平方根
  • 0:31 - 0:34
    餘弦函數 等等
  • 0:34 - 0:35
    解決這個問題的方法是
  • 0:35 - 0:36
    任何時候 如果看到這邊是個cosx
  • 0:36 - 0:39
    但是那邊是個sinx的平方
  • 0:39 - 0:40
    我就開始想
  • 0:40 - 0:43
    能用什麽三角公式解決
  • 0:43 - 0:46
    什麽三角公式涉及到sinx的平方呢？
  • 0:46 - 0:48
    最基本的三角公式
  • 0:48 - 0:51
    來源於三角函數在單位圓中的定義
  • 0:51 - 0:57
    那就是sinx的平方加上cosx的平方
  • 0:57 - 0:59
    等於1
  • 0:59 - 1:00
    它來源於這樣一個事實 即
  • 1:00 - 1:02
    圓的方程是
  • 1:02 - 1:03
    x平方加上y的平方
  • 1:03 - 1:04
    等於半徑的平方
  • 1:04 - 1:05
    但是這是單位圓
  • 1:05 - 1:07
    所以等於1的平方
  • 1:07 - 1:07
    但無論如何
  • 1:07 - 1:09
    如果你們一直在觀看三角函數的影片
  • 1:09 - 1:11
    希望你們還記得這些
  • 1:11 - 1:13
    sinx的平方等於什麽？
  • 1:13 - 1:18
    讓我們解決這個問題 sinx的平方
  • 1:18 - 1:23
    等於1減去cosx的平方 對嗎？
  • 1:23 - 1:28
    所以我們用這個代替這部分
  • 1:28 - 1:29
    這樣能得到什麽？
  • 1:29 - 1:30
    我們現在隨意展開
  • 1:30 - 1:32
    但是至少
  • 1:32 - 1:35
    每一部分都與cosx有關
  • 1:35 - 1:36
    開始做吧 我們替換一下
  • 1:36 - 1:40
    所以就得到3乘以sinx的平方
  • 1:40 - 1:40
    剛剛說過
  • 1:40 - 1:42
    sinx的平方等於
  • 1:42 - 1:43
    1減去cosx的平方
  • 1:49 - 1:54
    就等於1加上cosx
  • 1:54 - 1:56
    我們可以稍微簡化一下
  • 1:56 - 2:02
    3減去3乘以cosx的平方
  • 2:02 - 2:05
    等於1加上cosx
  • 2:05 - 2:06
    我不知道
  • 2:06 - 2:08
    僅僅爲了好玩 我們把所有的都移到
  • 2:08 - 2:10
    方程的右邊
  • 2:10 - 2:13
    然後你們會發現這不僅僅是爲了好玩 0 對嗎？
  • 2:13 - 2:15
    我將要- 等於 我把這部分
  • 2:15 - 2:20
    放到右邊 3乘以cosx的平方
  • 2:20 - 2:22
    然後 看一下
  • 2:22 - 2:24
    從這邊提出3
  • 2:24 - 2:27
    現在只關於cosx了 加上cosx
  • 2:27 - 2:30
    1減3等於負2
  • 2:30 - 2:32
    確認一下沒有因粗心犯錯
  • 2:32 - 2:33
    這裡是-3
  • 2:33 - 2:35
    兩邊同時加3乘以cosx的平方
  • 2:35 - 2:37
    對嗎？
  • 2:37 - 2:38
    兩邊同時減3
  • 2:38 - 2:41
    負2 這個cosx就是上面那個cosx
  • 2:41 - 2:44
    現在能做什麽呢？
  • 2:44 - 2:46
    從這裡開始變得有趣了
  • 2:46 - 2:48
    因爲這看起來
  • 2:48 - 2:51
    極像一個二次方程式
  • 2:51 - 2:58
    只是不是a乘以x方加上b乘以x加上c的形式
  • 2:58 - 3:02
    我們有a乘以cosx的平方
  • 3:02 - 3:04
    而不是x的平方
  • 3:04 - 3:06
    而是整個cosx的平方
  • 3:06 - 3:07
    我這麽說什麽意思呢？
  • 3:07 - 3:09
    我們做個代換
  • 3:09 - 3:13
    我認爲對你們來說就很清晰了
  • 3:13 - 3:15
    我們做個代換
  • 3:15 - 3:16
    a 我隨便選個子母a
  • 3:16 - 3:21
    等於cosx
  • 3:21 - 3:23
    如果我們用a
  • 3:23 - 3:25
    代換cosx 然後得到了什麽？
  • 3:25 - 3:27
    我轉換一下
  • 3:27 - 3:30
    我把0放到另一邊 等於0
  • 3:30 - 3:33
    然後我們得到- cosx的平方
  • 3:33 - 3:36
    就是等於cosx的平方 對嗎？
  • 3:36 - 3:48
    得到3乘以a方加上a減去2等於0
  • 3:48 - 3:50
    現在我們得到了一個純二次式
  • 3:50 - 3:54
    我們可以用二次方程求解
  • 3:54 - 3:57
    這個二次方程是什麽？
  • 3:57 - 3:59
    我把它寫在這裡
  • 3:59 - 4:03
    負b加或減根下b方減4ac
  • 4:03 - 4:07
    這些全除以2a（注意老師的式子寫錯了）
  • 4:07 - 4:09
    這個方程的根是什麽？
  • 4:09 - 4:09
    減去--
  • 4:09 - 4:11
    記住這個a和這個a不一樣
  • 4:11 - 4:13
    或許我當初不應該用a代換
  • 4:13 - 4:15
    但是這些a b c在這個二次方程中
  • 4:15 - 4:16
    代表係數
  • 4:16 - 4:23
    這是a b等於1 c等於負2
  • 4:23 - 4:26
    所以這個方程的根是什麽？
  • 4:26 - 4:30
    a就解出來了 a等於
  • 4:30 - 4:31
    我知道讓你們困惑了
  • 4:31 - 4:32
    我用另一種方式寫
  • 4:32 - 4:35
    改一下 不用a代換cosx
  • 4:35 - 4:38
    比方說 我不知道
  • 4:38 - 4:41
    讓我選一個這裡面不包含的子母
  • 4:41 - 4:42
    比方說d
  • 4:42 - 4:46
    3乘以d方加上d減2
  • 4:46 - 4:49
    現在a b c清楚地表示了係數
  • 4:49 - 4:52
    方程的解是d
  • 4:52 - 4:55
    因爲我不想用a b c
  • 4:55 - 5:00
    d等於負b b等於1 負1
  • 5:00 - 5:02
    如果你們覺得這完全陌生
  • 5:02 - 5:05
    大家應該複習二次方程的影片
  • 5:05 - 5:12
    b方 等於1方減4ac
  • 5:12 - 5:18
    所以負4乘a 乘3 乘c
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    c等於負2 對嗎？
  • 5:21 - 5:23
    負號消去了
  • 5:23 - 5:24
    得到2
  • 5:24 - 5:26
    所有這些除以2a
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    a是3 所以除以6
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    所以等於負1加減平方根
  • 5:31 - 5:36
    這個等於什麽？ 4乘3乘2等於24 再加1等於25
  • 5:36 - 5:39
    除以6
  • 5:39 - 5:46
    這個等於負1加減5除以6
  • 5:46 - 5:47
    根是什麽呢？
  • 5:47 - 5:52
    根是 負1減5等於什麽？
  • 5:52 - 5:56
    等於負6 除以6 等於負1
  • 5:56 - 5:57
    另一個根呢？
  • 5:57 - 6:04
    負1加5是4 4除以6等於2/3
  • 6:04 - 6:05
    所以方程的解
  • 6:05 - 6:06
    我清出點空間來
  • 6:06 - 6:12
    希望能空出點地方來
  • 6:15 - 6:19
    我看一下 我清除了些什麽？哦
  • 6:19 - 6:22
    或許我想留著 我可以去掉這些
  • 6:22 - 6:24
    你們知道這個方程吧
  • 6:24 - 6:28
    你們也知道這個二次式吧
  • 6:28 - 6:30
    看一下 我把這些也去掉
  • 6:30 - 6:34
    清出一點空間來了
  • 6:34 - 6:35
    我想把這個留著
  • 6:35 - 6:38
    因爲這些表明了怎麽化成二次式的
  • 6:38 - 6:41
    我們並不是用變量a的形式
  • 6:41 - 6:44
    而是用cosx的形式
  • 6:44 - 6:46
    然後讓d等於cosx
  • 6:46 - 6:47
    無論如何
  • 6:47 - 6:51
    方程的解是這個二次式
  • 6:51 - 6:57
    d等於-1或2/3 對嗎？
  • 6:57 - 7:00
    但是 當然 之前我們做了個代換
  • 7:00 - 7:02
    d等於cosx
  • 7:02 - 7:06
    所以用x的形式表示的解
  • 7:06 - 7:08
    就是這個方程的解
  • 7:08 - 7:13
    cosx等於-1
  • 7:13 - 7:18
    或cosx等於2/3
  • 7:18 - 7:19
    這個方程簡單吧？
  • 7:19 - 7:24
    x等於arccos(-1)
  • 7:24 - 7:25
    當計算arccos時 我經常忘了
  • 7:25 - 7:26
    這裡是否有兩個c
  • 7:26 - 7:30
    哪個角或弧度的餘弦
  • 7:30 - 7:33
    等於負1呢？
  • 7:33 - 7:35
    是π 對嗎？
  • 7:35 - 7:40
    所以x可以等於π 也就是180°
  • 7:43 - 7:44
    答案沒那麽簡單
  • 7:44 - 7:47
    我認爲我應該用計算器
  • 7:47 - 7:49
    除非 哎呦
  • 7:49 - 7:52
    大家可能沒有注意到
  • 7:52 - 7:55
    谷歌是個不錯的計算器
  • 7:55 - 8:00
    比大部分計算器都要先進
  • 8:00 - 8:02
    我們可以用谷歌算出
  • 8:04 - 8:06
    開始做吧
  • 8:06 - 8:10
    arccos 不知道我拼寫的是否正確
  • 8:11 - 8:15
    谷歌算出來
  • 8:15 - 8:21
    是0.841 後面一大堆數字
  • 8:21 - 8:27
    所以x等於arccos2/3
  • 8:27 - 8:35
    所以x等於0.84106
  • 8:35 - 8:36
    看一下對不
  • 8:36 - 8:39
    爲了好玩 我們看一下這個結果成立不
  • 8:39 - 8:42
    看一下如果把π帶入方程
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    能不能得到正確結果
  • 8:44 - 8:47
    sinπ等於什麽？
  • 8:47 - 8:49
    我把這些都擦去 以便我們檢查
  • 8:49 - 8:50
    我只檢查π
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    0.84 我不知道 這很亂
  • 8:53 - 8:55
    但你們可以自己用0.84檢驗下
  • 8:55 - 8:59
    讓我們檢驗一下π x等於 不對
  • 8:59 - 9:01
    這不是我要做的
  • 9:07 - 9:09
    確定一下π是合適的
  • 9:09 - 9:18
    3乘以sinπ的平方等於1加cosπ
  • 9:18 - 9:19
    sinπ等於多少？
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    這邊等於3乘sinπ的平方
  • 9:25 - 9:28
    這邊等於1加cosπ
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    sinπ等於0 對嗎？
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    當180度角時 y的值是0
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    所以它等於0
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    cosπ等於什麽？
  • 9:36 - 9:38
    cosπ等於負1
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    所以1加-1(等於0) 這是正確的
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    所以π是這個等式的解
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    我想如果你們把0.841068代入方程
  • 9:47 - 9:48
    會發現它也是方程的解
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    感謝布蘭德利給了這樣一個問題
  • 9:50 - 9:51
    我認爲這是一個很巧妙的問題
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    因爲這看起來像是一個三角學問題
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    它是個三角學問題但是你們還必須知道
  • 9:54 - 9:55
    一些恆等式
  • 9:55 - 9:58
    然後 你們會意識到這是一個二次方程
  • 9:58 - 10:01
    下次影片再見
Title:
Fun Trig Problem
Description:

A trig problem involving the quadratic equation.
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Video Language:
English
Duration:
10:01
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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