Basic Trigonometry II

Another example of figuring out the sine, cosine, and tangent of an angle in a right triangle

Привіт! Давайте ще потренуємось, аби переконатись, що ми у достатній мірі засвоїли основи тригонометрії.

Давайте побудуємо ще декілька прямокутних трикутників.

Я хочу, аби ви зрозуміли, що мої визначення працюють лише у прямокутних трикутниках.

Якщо ми хочемо знайти тригонометричні функції кутів, які не є кутами прямокутного трикутника, то побачимо,

що прямокутні трикутники нам все одно тоді потрібно буде створювати.

Але давайте поки сфокусуємось на прямокутних трикутниках.

Припустимо, у мене є трикутник, у якого довжина ось сторони дорівнює 7.

І скажемо, довжина ось цієї сторони ... скажемо, це 4. І давайте з'ясуємо, чому буде дорівнювати гіпотенуза.

Ми знаємо ... давайте назвемо гіпотенузу h. Ми знаємо, що h ² буде дорівнювати 7 ² + 4 ².

Ми це знаємо з теореми Піфагора ... що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, h ² = 7 ² + 4 ², і це дорівнює 49 + 16.

Подивимось ... 49 + 16 = 65 ... 65 ...

Тобто ця h ² ... давайте я запишу ... h ² ... це інший відтінок жовтого. У нас є h ², що дорівнює 65. Правильно я порахувала?

49+10 - це 59, плюс ще 6 - це 65. Або ми можемо сказати, що h дорівнює, якщо добути квадратний корінь з обох сторін, √ 65.

Ми ніяк не можемо нажаль це спростити.

Це те ж саме, що і 13 помножити на 5; ці числа не є точними квадратами, та й до того ж є простими числами, тому ми більше не можемо це спростити. Це дорівнює √ 65.

Давайте знайдемо значення тригонометричних функцій ось цього верхнього кута, назвемо його θ.

Отже, якби ви це не робили, вам завжди варто записати ... принаймні, мені допомагає, якщо перед очима записано - SOH CAH TOA. SOH CAH TOA.

У мене збереглися смутні спогади про мого вчителя з тригонометрії ...

А може, я прочитала це в якійсь книзі. Навіть не знаю.

У книзі про якусь індійську принцесі на ім'я SOH CAH TOA ... Десь вспливає у пам'яті ...

Але це дуже корисний прийом для запам'ятовування ... і ми можемо використовувати SOH CAH TOA ... давайте знайдемо ...

Припустимо, ми хочемо знайти косинус нашого кута.

SOH CAH TOA. Подивимось сюди. Яка сторона є прилеглою до кута θ?

Ну, ми знаємо, що гіпотенуза - це ось ця сторона.

Тому вона не підходить. Інша сторона, яка прилягає до цього кута і не є гіпотенузою - це ось ця сторона 4.

Прилеглий катет ось тут ... знаходиться поруч з кутом. Це одна зі сторін, яка нібито формує кут.

Це 4 розділити на гіпотенузу. Ми вже знаємо, що гіпотенуза дорівнює √ 65.

Тому це дорівнює 4 розділити на √ 65.

Іноді від вас вимагають позбутися ірраціональності у знаменнику, це означає, що небажано мати в знаменнику ірраціональне число, як, наприклад,√ 65.

І якщо б ви хотіли записати це без ірраціонального числа у знаменнику, то могли б помножити чисельник і знаменник на √ 65.

Чисельник дорівнює 4 √ 65, а у знаменнику √ 65 • √ 65, і це буде просто 65.

Давайте подумаємо, чому дорівнює sin θ. Знову ж таки, зверніться до SOH CAH TOA. SOH говорить нам про те, як знайти синус.

Синус - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Тобто синус дорівнює протилежний катет, поділеній на гіпотенузу.

Отже, для цього кута який катет є протилежним?

Ми дивимося напроти ... Куди кут розкривається? Він знаходиться навпроти сторони 7.

Так, протилежний катет дорівнює 7. Це протилежний катет. І гіпотенуза дорівнює √ 65.

І знову ж таки, якби ми хотіли позбутися ірраціональності у знаменнику, то могли б помножити це на √ 65, поділений на √ 65.

У чисельнику ми отримали 7 √ 65. А у знаменнику отримаємо просто 65.

Тепер давайте знайдемо тангенс. Якби я спитала вас про тангенс θ...

Знову ж зверніться до SOH CAH TOA. Частина "ТОА" говорить нам про те, як знайти тангенс.

Вона говорить нам, що тангенс дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого.

Тобто протилежний катет, поділений на прилеглий.

Який катет є протилежний цьому куту? Ми вже це з'ясували. Це 7.

Кут розкривається назустріч 7 - лежить навпроти 7. Тому це 7 розділити на ...

Який катет є прилеглим? Це катет довжиною 4 - прилеглий. Прилеглий катет - це 4. Тому це 7 розділити на 4.

Готово! Ми знайшли значення всіх тригонометричних функцій для кута θ. Давайте вирішимо ще один приклад.

Більш конкретний приклад. Дотепер ми говорили: Чому дорівнює tan x? Чому дорівнює tan θ?

Давайте зробимо більш конкретний приклад. Скажемо ...

Давайте я намалюю ще один прямокутний трикутник.

Ще один прямокутний трикутник, ось тут ... Зараз ми маємо справу тільки з прямокутними трикутниками.

Скажемо, довжина гіпотенузи дорівнює 4. Скажемо, що довжина цієї сторони дорівнює 2. І скажемо, що довжина цієї сторони дорівнює 2 √ 3.

Ми можемо перевірити, що це підходить. Якщо цю сторону піднести до квадрату ...

Давайте я запишу. (2 √ 3) ² + 2 ² … дорівнює чому?

Це 2 ... Це буде дорівнювати 4 • 3 + 4. І це буде дорівнювати 12 + 4, що дорівнює 16.

А 16 - це дійсно 4 ². Значить, теорема Піфагора тут дотримується.

І, якщо ви пам'ятаєте наші з вами вправи з трикутниками з кутами в 30, 60 і 90 градусів, які ми з вами вирішували раніше чи ви,

можливо, пройшли на уроках з геометрії, ви можете дізнатися, що це трикутник з кутами в 30, 60 і 90 градусів.

Ось це наш прямий кут. Цей кут - це наш кут у 30 °.

І цей кут нагорі - це кут в 60 °. І кути рівні 30, 60 і 90 градусів, тому що катет, протилежний куту 30 °, дорівнює половині гіпотенузи.

А катет, протилежний куту 60 °, дорівнює √ 3 помножити на іншу сторону, не гіпотенузу.

Давайте ж знайдемо значення тригонометричних функцій для різних кутів.

Якби хтось запитав би у вас: Чому дорівнює sin 30°?

Гей! .. Ось цей кут дорівнює 30 °. Тому я могла б використовувати цей прямокутний трикутник ...

і нам просто потрібно пам'ятати SOH CAH TOA. Давайте я запишу це ще раз.

SOH CAH TOA. SOH говорить нам про те, як знайти синус, синус - це протилежний катет, поділений на гіпотенузу.

Sin 30 ° - це протилежний катет ... це протилежний катет, що дорівнює 2, поділений на гіпотенузу, гіпотенуза тут - це 4.

Це 2 / 4, або 1 / 2. Ви побачите, що sin 30 ° завжди буде дорівнювати 1 / 2.

Тепер чому дорівнює косинус, чому дорівнює cos 30 °?

Знову ж поверніться до SOH CAH TOA: CAH говорить нам про те, як знайти косинус.

Косинус - це прилеглий катет, поділений на гіпотенузу.

Якщо ми розглядаємо кут у 30 °, то ось це - прилегла сторона, прямо поруч з ним, і при цьому не гіпотенуза.

Це буде дорівнювати відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тобто це 2 √ 3 (прилеглий катет) розділити на гіпотенузу, тобто розділити на 4.

Або якщо ми спростимо це, розділивши чисельник і знаменник на 2, вийде √ 3 / 2.

Нарешті, давайте знайдемо тангенс. Тангенс 30 ° ...

Ми повертаємося до SOH CAH TOA. SOH CAH TOA ... TOA говорить нам про те, як знайти тангенс.

Це відношення протилежного катета до прилеглого. Ми йдемо до кута в 30 °, тому що цікавимося саме їм.

Тангенс 30 ° .. Протилежний катет дорівнює 2.

Протилежний - це 2. А прилеглий - це 2 √ 3. Він знаходиться прямо поруч з кутом - прилеглим катетом.

Прилеглий - значить, той, який знаходиться поруч.

Отже, 2 √ 3. Значить... Двійки скорочуються ... 1 розділити на √ 3.

Ми можемо помножити чисельник і знаменник на √ 3 .. Тобто помножити на √ 3, поділений на √ 3.

Це буде одне і те ж саме ... У чисельнику √ 3, а у знаменнику буде 3.

Ми позбулися ірраціонального знаменника. Добре.

Давайте тепер використаємо той самий трикутник, щоб знайти тригонометричні співвідношення для кута в 60 °, тому що ми його вже намалювали.

Отже, чому дорівнює sin 60 °? Я думаю, ви починаєте розуміти.

Синус - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, згідно SOH CAH TOA.

Отже, це протилежний катет, поділений на гіпотенузу. Або 2 √ 3 розділити на 4.

4 - це гіпотенуза. І це те ж саме, що і скоротити, √ 3 / 2.

Чому дорівнює cos 60 °? cos 60 ° ... Пам'ятайте SOH CAH TOA. Косинус - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Прилеглий катет - це сторона, що дорівнює 2, прямо поруч з кутом у 60 °.

Отже, це дорівнює 2 розділити на гіпотенузу, яка дорівнює 4. Тобто це дорівнює 1/2. І, нарешті ...

Чому дорівнює тангенс? Чому дорівнює тангенс 60 °? Ну, тангенс. SOH CAH TOA.

Тангенс - це відношення протилежного катета до прилеглого. Катет, який дорівнбє 2 √ 3, протилежний куту у 60 °.

2 √ 3, а прилеглий катет дорівнює 2. Катет, прилеглий до кута в 60 ° - це 2.

Це протилежний катет, поділений на прилеглий.

2 √ 3 розділити на 2, що просто дорівнює √ 3. І я тільки хочу ...

Подивіться, як всі ці функції пов'язані. Синус 30 ° - це косинус 60 °.

Косинус 30 ° - це те ж саме, що і синус 60 °. А ось ці два тангенси - взаємно зворотні.

Якщо ви подумаєте трохи про цей трикутник, то стане зрозуміло, чому.

Ми докладніше все це розглянемо і надамо вам можливість попрактикуватися у наступних уроках.

А зараз я з вами прощаюся. До нових зустрічей.