Izvod trigonometrijske implicitne jednačine -- Primer

Primer izvoda implicitne jednačine koja ima u sebi trigonometrijsku funkciju

Traženo mi je da nadjem izvode implicitne jednačine

tangens od x kroz y je jednak x plus y.

I uradio sam nekoliko videa sa implicitnim izvodima, ali

ovo ume da bude jedan od najvećih izvora traume za

učenike koji se prvi put sreću sa analizom.

Zato sam mislio da dam bar još jedan primer.

Nikad nije na odmet videti što više moguće.

Dakle da uradimo ovaj primer.

Da bi našli izvod implicitne jednačine, samo primenimo

operator izvoda po x, na obe strane

jednačine.

Izvod po x -- izvod

leve strane po x je isti kao i

izvod desne strane po x.

Desna strana je jednostavna, ali

leva strana je malo zaguljena.

Dakle hajde da uradimo ovde sa strane.

Napisaću levu stranu malo drugačije.

Koristiću drugu boju.

Ako kažemo da je a jednako tangensu od b.

I ako kažemo da je b jednako x podeljeno sa y.

Onda je jasno da je a ista stvar.

Ono što hoću da kažem je ako zamenim b nazad ovde, a, ovaj

ceo deo ovde mogu da zamenim sa a.

Dakle ako uradimo izvod

po x, to je baš ono što želimo da uradimo ovde.

Hajde da uradimo izvod obe strane ovoga.

Ovo će biti izvod od a po x i biće jednak

izvodu od x po x.

To je prilično jednostavno, to je 1

plus izvod od y po x.

Hajde na napišem ovako.

Napisaću operator izvoda, izvod

od y po x.

To je sve što smo uradili.

Samo smo primenili operator izvod na y, i mi

ne znamo koliko je to tačno, mi ćemo da nadjemo rešavajući.

Ali očigledno, ne mogu samo da ostavim ovako, izvod

od a po x.

Upravo smo našli a, i a je ovo ovde.

jel tako?

a je tangens od b, a b je y kroz x.

Razlog zašto sam napisao ovako je jer sam želeo da pokažem

da kada nedjete izvod ovoga, to jednostavno

proizilazi iz izvoda složene funkcije.

To nije neka nova vrsta vudu magije koju

niste do sada već naučili.

Dakle izvod -- napisaću

izvod složene funkcije ovde.

Izvod od a po x je jednak

izvodu od a po b pomnoženo sa izvodom

od b po x.

To je izvod složene funkcije i veoma je jednostavno zapamtiti,

zato što delta b se poništava i ostali ste samo sa

izvodom od a po x, ako posmatrate ovo

kao obične razlomke.

Dakle šta je izvod od a po b?

E pa, to je samo 1 kroz kosinus na kvadrat od b.

I ako niste do sada to zapamtili, zapravo nije

toliko teško pokazati, samo ako napišete ovo kao sinus

od b kroz kosinus od b, a ovo je jedan od onih trigonometrijskih

izvoda koji najveći broj ljudi zapamti.

Mislim da sam već napravio video gde sam ovo pokazao.

I neke knjige još uvek zapisuju ovo kao kosekant na kvadrat od b, ali mi

znamo da je kosekant na kvadrat isto što i 1 kroz

kosinus na kvadrat.

Volim da zapisujem u osnovnim trigonometrijskim funkcijama,

ili trigonometrijskim razlomcima, za razliku od funkcija tipa sekant

i kosekant.

Sada šta je izvod od b po x?

Ovo je prilično interesantno.

Hajde da napišem b malo drugačije.

Hajde da napišemo b kao x puta y na minus 1.

Dakle za izvod od b po x, možemo da

upotrebimo malo izvod složene funkcije.

Možemo da kažemo -- hajde da napišemo ovo -- ovaj izvod od b

po x je jednak izvodu po x puta

y na minus 1.

Izvod od x je 1.

Puta y na minus 1 plus izvod od y -- dakle

hajde da napišem ovako.

Plus izvod po x od y na

minus 1 puta prvi član, puta x.

Dakle baš ovde, i očigledno nisam skroz

uprostio izraz.

Još uvek moram da pronadjem ovaj deo ovde.

Ja sam jednostavno primenio pravilo za izvod proizvoda.

Izvod prog člana, izvod od x je 1

puta drugi član plus izvod drugog

člana puta prvi.

To je sve što sam uradio.

Dakle izvod od b po x je samo

ovaj deo ovde.

Dakle jednako je -- hajde da napišem sa žutim -- dakle to je puta --

ooo, koristiću plavu, pošto sam već napisao.

Ovo je plava, izvod od b po x je y na

minus 1, ili 1 kroz y plus izvod po

x od 1 kroz y puta x.

Hajde da napišem to ovde.

Dakle upravo smo našli, ili skoro pa smo našli,

šta je izvod od a po x, i možemo

da ubacimo ovde.

Ali još nismo gotovi.

Koliki je izvod od 1 kroz y po x?

Pa, uradi izvod složene funkcije.

I želim da bude jasno.

Znam da ovo može da bude malo nezgrapno ovo što radim

ovde, ali mislim da će vam malo razjasniti.

Staviću da je c jednako 1 kroz y.

Dakle izvod od c po x, samo koristeći

izvod složene funkcije, je jednak izvodu od c

po y puta izvod od y po x.

Koliki je izvod od c po y?

Pa to je isto kao i -- mogu da napišem

kao y na minus 1.

Dakle to je minus y na minus 2. stepen.

Toliki je izvod.

Ovaj deo je taj deo baš ovde

I ja ne znam koliki je izvod od y

po x.

To je ono što pokušavamo da nadjemo.

Dakle to je ovo puta izvod od y

po x.

To proizilazi iz izvoda složene funkcije.

Dakle ovaj deo ovde, to je izvod od ovog ovde

po x, što je isto kao i izvod

od c po x.

Dakle mogu da napišem ovaj mali deo ovde, mogu

da ga napišem kao minus y na minus 2, dy

dx, i onda, naravno, ovo tamo je puta x.

I onda imamo plus 1 kroz y, i sve ovo je puta

1 kroz kosinus na kvadrat od b.

Dakle sada smo dosta pojednostavili.

Nadam se da izvod složene funkcije te nije zbunio,

jer stvarno želim da vam pokažem da svi ovi

problemi implicitnih izvoda, ovi dy-i i dx-ovi

nisu neko pravilo koje treba zapamtiti.

Oni proizilaze is izvoda složene funkcije.

Dakle našli smo da i dx, to je jednako ovom

izrazu ovde.

Hajde da zapišem, ovo je jednako 1 kroz kosinus na kvadrat od b.

A šta je b?

Napisao sam da je to kosinus od x kroz y.

Kosinus na kvadrat od x kroz y puta sve ovo ovde,

puta sav ovaj haos.

1 kroz y plus, ili bi trebalo da kažem minus, minus -- ako ja

pojednostavim ovo, ovo je x kroz y na kvadrat puta dy dx.

Onda je ovo jednako desnoj strani.

To je jednako 1 plus dy kroz dx.

I sada sve što treba da uradimo je da nadjemo dy dx

Hajde da ponovim kako samo stigli dovde.

Koristio sam izvod složene funkcije u svakom koraku, ali

jednom kada savladate, bukvalno ćete ići

direktno dovde.

Način na koji vidite ovo -- desna strana

mislim da shvatate.

Izvod od x je 1, izvod od y

po x, pa to je samo dy dx.

Ali leva strana, možete naći izvod od

celog izraza po x kroz y.

Izvod od tangensa je 1 kroz

kosinus na kvadrat.

Dakle 1 kroz kosinus na kvadrat od x kroz y, i pomnožite

sa izvodom od x kroz y po x.

I izvod od x kroz y po x je

izvod od -- i postaje komplikovano, zato je

dobro da uradite sa strane -- ali to je izvod od

x, što je 1 puta 1 kroz y.

Što je onaj član plus izvod od 1 kroz Z

po X, što je minus 1 kroz y na kvadrat dy dy, iz

izvoda složene funkcije, puta dx.

Zato je dobro da uraditi sa strane, da ne bi

napravili neku očiglednu grešku.

Ali jednom kada se naviknete, moći ćete da radite

napamet, naravno, to je jednako desnoj strani.

Odavde na dalje je čista algebra.

Rešiti po dy dx

Dobro mesto za početi je da pomnožimo obe strane ove

jednačine puta kosinus na kvadrat od x kroz y.

Očiglesno, to će postati 1 na ovoj strani.

A leva strana će postati 1 kroz y minus x kroz y na kvadrat

dy dx je jednako -- moram da pomnožim obe strane

jednačine puta ovaj imenioc --je jednako

kosinus na kvadrat od x kroz y plus kosinus na kvadrat od

x kroz y dy dx.

Sada šta možemo da uradimo.

Možemo da oduzmemo ovaj kosinus na kvadrat od x kroz y od obe

strane jednačine, i dobićemo 1 kroz y minus kosinus

na kvadrat od x kroz y.

Sve što sam uradio je da sam oduzeo ovo od obe strane

jednačine, u stvari prebacio sam na

levu stranu.

Šta pokušavam da uradim je da razdvojim

članove koji nemaju dy dx od dy dx članova.

Dakle hoću da prebacim dy dx član na

desnu stranu.

Hajde da dodam x kroz y na kvadrat dy dx obem stranama.

Onda će ovo da bude jednako x kroz y -- hajde da zapišem u

boji koju sam originalno koristio, malčice

drugačija boja.

Dakle to je x kroy y na kvadrat -- zapisaću dy dx narandžasto.

dydx, i onda imate ovaj član, plus kosinus na kvadrat

od x kroz y dy dx.

Mislim da smo blizu cilja.

Hajde da izvučemo ispred zagrade dy dx na desnoj strani.

To je jednako dydx puta x kroz y na kvadrat plus

kosinus na kvadrat od x kroz y.

I to je jednako ovome ovde, to je jednako

1 kroz kosinus na kvadratod x kroz y.

Sada rešimo po dy dx, samo trebamo da podelimo obe strane

jednačine ovim izrazom ovde.

I onda šta dobijemo?

Dobijemo, ako podelimo obe strane sa ovim, dobijemo 1 kroz y

minus kosinus na kvadrat od x kroz y podeljeno sa ovom celom

rabotom ovde.

x kroz y na kvadrat plus kosinus na kvadrat od x kroz y je

jednako našem dy dx.

I gotovi smo.

Samo smo upotrebili pravilo izvoda složene funkcije više puta i uspeli smo

da nadjemo izvod implicitne jednačine, tangens od y kroz x je

jednako x plus y.

Zapravo najteži deo je uraditi ovaj korak ovde.

Posle ovog koraka, sve je bukvalno čista algebra, samo rešiti

po dy dx-u, i onda dobijete rešenje ovde.

Nadam se da je bilo korisno.