Typer af diskontinuitet

I denne video skal vi snakke om
forskellige typer af diskontinuiteter,

som du måske allerede har hørt om før,

men vi skal se på dem i relation til

både tosidede grænseværdier og
ensidede grænseværdier.

Lad os først gennemgå
typerne af diskontinuiteter.

Her til venstre er en kurve,

som ligner y = x²

indtil vi kommer til x er lig 3.

I stedet for at være 3²,

så har vi i dette punkt et hul og

i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.

Så fortsætter den og ser
igen ud til at være y = x².

Dette kaldes en hævelig eller
punkt diskontinuitet.

Og det kaldes den af indlysende årsager.

Du er diskontinuert i et punkt.

Du kan forestille dig, hvordan funktionen
kan definereres i det punkt,

så den er kontinuert,

så denne diskontinuitet

hæves eller fjernes.

Men hvad har det at gøre
med definitionen af kontinuitet?

Lad os se på definitionen af kontinuitet.

Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis

eller lad mig, skrive f er kontinuert,

når x er lig c, hvis og kun hvis

grænseværdien, når x nærmer sig c,

for f(x) er lig med værdien af funktionen,
når x er lig c.

Hvorfor fejler den her?

Den tosidede grænseværdi eksisterer.

Hvis vi siger, c er 3,

så synes grænseværdien,
når x nærmer sig 3, for f(x),

som du kan se grafisk er y = x²,
bortset fra denne diskontinuitet,

at være lig 9.

Men problemet er, når grafen er
tegnet på denne måde,

så er det ikke det samme
som funktionsværdien.

For denne funktion, så er f(3),

når den er tegnet således,

så er f(3) lig 4.

I dette tilfælde eksisterer
den tosidede grænseværdi,

men den er ikke lig funktionsværdien.

Du kan have andre tilfælde, hvor
funktionen slet ikke er defineret der,

så den her er der ikke.

Altså, grænseværdi eksisterer,

men funktionen er muligvis
ikke defineret der.

Uanset, så opfylder du ikke dette
kriterie for kontinuitet.

Derfor er en hævelig diskontinuitet

diskontinuert med grænseværdi
definitionen af kontinuitet.

Lad os se på dette andet eksempel.

Hvis vi tester for kontinuitet
ved blot at følge kurven,

så skal vi, ved x er lig 2, løfte
blyanten for at fortsætte.

Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.

Det ser vi også herover.

Hvis jeg følger denne kuve,
så skal jeg løfte min blyant

for at komme til dette punkt.

Jeg skal hoppe herned og
så fortsætte heroppe.

I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

så vi kan fornemme, den er diskontinuert.

For denne type af diskontiuitet,

hvor jeg laver et spring fra et
punkt og fortsætter derfra,

så kaldes det helt logisk for
en spring diskontinuitet.

Dette var en hævelig diskontinuitet.

Hvordan relaterer den her
til grænseværdier?

Her eksisterer den venstre-
og højresidet grænseværdi,

men de er ikke det samme,

så du har ikke en tosidet grænseværdi.

For eksempel med denne graf

for alle x-værdier til og med x lig 2,

der er det grafen for y = x².

Og for x større end 2,

der er det grafen for √2.

Når du i dette tilfælde finder
grænseværdien for f(x),

når x nærmer sig 2 fra venstre,

så er den lig 4,
da du nærmer dig denne værdi.

Og det er faktisk funktionsværdien.

Men når du finder grænseværdien,

når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),

hvad er den så lig?

Når vi nærmer os fra højre,

så der den √x

så den nærmer sig √2.

Du kan ikke se, det er √2
ved blot at se på den.

Jeg ved det er √x,

fordi det er den funktionen jeg definerede
på Desmos, da jeg lavede grafen.

Men visuelt er det tydeligt,

at du nærmer dig to forskellige værdier,

når du nærmer dig fra venstre
og når du nærmer dig fra højre.

Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer,
så nærmer de sig ikke det samme,

så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke

og kan derfor ikke være
lig funktionsværdien,

selv hvis funktionen er defineret.

Det er derfor en spring diskontinuitet
dumper i dette kriterie.

Det er igen ret intuitivt.

Du kan se, at jeg skal springe.

Jeg skal løfte min blyant.

Disse to kurver er ikke
forbundet med hinanden.

Til sidst kan du se det, der hedder en

uendelige eller asymptote diskontinuitet.

Og du har her en asymptote.

Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

Hvis jeg forsøger at følge grafen fra

vense

så vil jeg blot fortsætte

Jeg vil følge den uendeligt

da den er udendelig

den er ubegrænset så når jeg

kommer tættere og tættere på x er lig 2 fra vensre

og hvis jeg forsøger at komme til x er lig 2 fra højre

så vil jeg igen forsætte ubegrænset opad.

NÅr jeg siger ubegrænset

så går den mod uendlig

og det er jo faktisk umuligt

i et almindeligt dødeligt menneske at følge den hele vejen.

Men du kan fornemme, at je

ikke kan tegne den herfra og dertil
uden at løfte min blyant.

Du kan relaterer det til grænseværdier

ved at sige

at både venstre og højresidet grænseværdier er ubegrænset

så de eksistere officielt ikke.

Hvis de ikke eksiterr, så kan vi ikke opfylde disse betingelser.

SÅ vi kan sige at

grænseværdien

når x nærmer sig 2 fra vesntre sie for f(x)

er ubegrænset i den negative retning.

Du kan nogle gange se man skirver det som

minus uendelig

men så er man lidt løs med matematikken.

Det er mere korrekt at sige den er ubegrænset

s

På samme måde kan vi sige at grænseværdien

når x nærmer sig 2

fra øjre

for f(x)

er ubegrænset mod plus uendlig.

Og igen,

dette er også ubegrænset.

s

s

og fordi den eer ubegrænset, så eksiterr denne grænseværdi ikke

og kan ikke opfylde disse betindler

SÅ vi er diskontinuert.

Dette er en punkt eller hævelig diskontinuitet

en spring diskontinuitet, jeg springer

og her har vi disse asymptotoer, en lodret asypmtote

Det er en asymptotisk diskontinuitet.