Typer af diskontinuitet

Når en funktion er kontinuert i et punkt, betyder det, at den to-sidede grænseværdi i det punkt eksisterer og er lig med funktionsværdien. Ved en hævelig diskontinuitet eksisterer den to-sidede grænseværdi, men den er ikke lig med funktionsværdien i det punkt. Ved en spring diskontinuitet eksisterer den to-sidede grænseværdi ikke, fordi de ensidede grænseværdier ikke er ens. Ved en uendelig diskontinuitet eksisterer den to-sidede grænseværdi ikke, fordi de en-sidede grænseværdier er ubegrænset.

I emnet grænseværdier og kontinuitet vil vi udforske begreberne grænseværdier og kontinuitet. Vi vil starte med at lære den notation som bruges til at udtrykke grænseværdier, og så vil vi øve os i at bestemme grænseværdier ud fra grafer og tabeller. Vi vil også arbejde med at bestemme grænseværdier algebraisk. Derfra vil vi gå videre til at forstå kontinuitet og diskontinuitet, og hvordan mellemværdisætningen kan hjælpe os med at forstå funktioner i denne sammenhæng.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

I denne video skal vi snakke om
forskellige typer af diskontinuiteter,

som du måske allerede har hørt om før,

men vi skal se på dem i relation til

både tosidede grænseværdier og
ensidede grænseværdier.

Lad os først gennemgå
typerne af diskontinuiteter.

Her til venstre er en kurve,

som ligner y = x²

indtil vi kommer til x er lig 3.

I stedet for at være 3²,

så har vi i dette punkt et hul og

i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.

Så fortsætter den og ser
igen ud til at være y = x².

Dette kaldes en hævelig eller
punkt diskontinuitet.

Og det kaldes den af indlysende årsager.

Den er diskontinuert i et punkt.

Du kan forestille dig, hvordan funktionen
kan defineres i det punkt,

så den er kontinuert,

så denne diskontinuitet

hæves eller fjernes.

Men hvad har det at gøre
med definitionen af kontinuitet?

Lad os se på definitionen af kontinuitet.

Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis

eller lad mig, skrive f er kontinuert,

når x er lig c, hvis og kun hvis

grænseværdien, når x nærmer sig c,

for f(x) er lig med værdien af funktionen,
når x er lig c.

Hvorfor fejler den her?

Den tosidede grænseværdi eksisterer.

Hvis vi siger, c er 3,

så synes grænseværdien,
når x nærmer sig 3, for f(x),

som du kan se grafisk er y = x²,
bortset fra denne diskontinuitet,

at være lig 9.

Men problemet er, når grafen er
tegnet på denne måde,

så er det ikke det samme
som funktionsværdien.

For denne funktion, så er f(3),

når den er tegnet således,

så er f(3) lig 4.

I dette tilfælde eksisterer
den tosidede grænseværdi,

men den er ikke lig funktionsværdien.

Du kan have andre tilfælde, hvor
funktionen slet ikke er defineret der,

så den her er der ikke.

Altså, grænseværdi eksisterer,

men funktionen er muligvis
ikke defineret der.

Uanset, så opfylder du ikke dette
kriterie for kontinuitet.

Derfor vil en hævelig diskontinuitet
give en diskontinuert funktion,

når vi bruger grænseværdi
som en definitionen af kontinuitet.

Lad os se på dette andet eksempel.

Hvis vi tester for kontinuitet
ved blot at følge kurven,

så skal vi, ved x er lig 2, løfte
blyanten for at fortsætte.

Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.

Det ser vi også herover.

Hvis jeg følger denne kurve,
så skal jeg løfte min blyant

for at komme til dette punkt.

Jeg skal hoppe herned og
så fortsætte heroppe.

I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

så vi kan fornemme, den er diskontinuert.

For denne type af diskontinuitet,

hvor jeg laver et spring fra et
punkt og fortsætter derfra,

så kaldes det helt logisk for
en spring diskontinuitet.

Dette var en hævelig diskontinuitet.

Hvordan relaterer den her
til grænseværdier?

Her eksisterer den venstre-
og højresidede

grænseværdi,

men de er ikke det samme,

så du har ikke en tosidet grænseværdi.

For eksempel med denne graf

for alle x-værdier til og med x lig 2,

der er det grafen for y = x².

Og for x større end 2,

der er det grafen for √2.

Når du i dette tilfælde finder
grænseværdien for f(x),

når x nærmer sig 2 fra venstre,

så er den lig 4,
da du nærmer dig denne værdi.

Og det er faktisk funktionsværdien.

Men når du finder grænseværdien,

når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),

hvad er den så lig?

Når vi nærmer os fra højre,

så er den √x

så den nærmer sig √2.

Du kan ikke se, det er √2
ved blot at se på den.

Jeg ved det er √x,

fordi det er den funktion, jeg definerede
på Desmos, da jeg lavede grafen.

Men visuelt er det tydeligt,

at du nærmer dig to forskellige værdier,

når du nærmer dig fra venstre
og når du nærmer dig fra højre.

Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer,
så nærmer de sig ikke det samme,

så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke

og kan derfor ikke være
lig funktionsværdien,

selv hvis funktionen er defineret.

Det er derfor en spring diskontinuitet
dumper i dette kriterie.

Det er igen ret intuitivt.

Du kan se, at jeg skal springe.

Jeg skal løfte min blyant.

Disse to kurver er ikke
forbundet med hinanden.

Til sidst kan du se det, der hedder en

uendelig eller asymptote diskontinuitet.

Du kan her se en asymptote.

Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

Hvis jeg forsøger at følge
grafen fra venstre,

så vil jeg blot fortsætte nedad uendeligt,

da den er den er ubegrænset,

når jeg kommer tættere og
tættere på x er lig 2 fra venstre.

Hvis jeg forsøger at komme
til x er lig 2 fra højre,

så vil jeg forsætte ubegrænset opad.

Når jeg siger ubegrænset,

så går den mod uendelig,

så det er jo faktisk umuligt for et

almindeligt dødeligt menneske
at følge den hele vejen.

Men du ser, at jeg ikke kan tegne den
herfra og dertil uden at løfte min blyant.

Du kan relatere det til grænseværdier

ved at sige at både venstre- og
højresidet grænseværdi er ubegrænset,

så de eksisterer ikke.

Hvis de ikke eksisterer, så kan
vi ikke opfylde disse betingelser.

Vi kan sige, at grænseværdien,
når x nærmer sig 2 fra venstre side,

for f(x) er ubegrænset
i den negative retning.

Du kan nogle gange se det
skrevet som minus uendelig,

men så er man lidt løs med matematikken.

Det er mere korrekt,
at sige den er ubegrænset.

På samme måde kan vi sige,
at grænseværdien,

når x nærmer sig 2 fra højre,
for f(x) er ubegrænset mod plus uendelig.

Da den er ubegrænset,

så eksisterer denne grænseværdi ikke
og kan ikke opfylde disse betingelser.

Den er diskontinuert.

Dette er en hævelig diskontinuitet.

En spring diskontinuitet, jeg springer.

Og her har vi en lodret asymptote,

så det er en uendelig diskontinuitet.