Typer af diskontinuitet

I denne video skal vi

snakke om forskellige typer af diskontinuiteter.

som du sikkert allerede har hørt om før.

men vi skal se på dem i relation til

både tosidede grænseværdier og
ensidede grænseværdier.

Lad os først gennemgå typerne af diskontinuiteter.

Her til venstre er en kuver

som ligner y er lig x

indtil vi kommer til x er lig 3.

I stedet for at være 3

så har vi i dette punkt et hul

og istedet er funktionen ved 3 defienret som 4.

Men så fortsætter dem

og ser igen ud til at være y er lig x.

Dette kaldes en hævelig diskontinuitet.

s

Og det kaldes den af indlysende årsager.

Du ahr et diskontinuitetspunkt.

Du kan forestille dig hvorda du defienrer funktion

i dette punkt, så den er kontinuert

så denne diskontinuitet hæves eler fjernes.

Men hvad har det at gøre med definertion af

kontinuitet?

Lad os se på definitionen af kontinuitet.

Vi siger f er kontinuert

s

hvis og kun hvis

eller lad mig f er kontinuert

når x er lig c hvis og kun hvis

grænseværdien, når x nærmer sig c

for f(x) er lig med værdien af funktionen

når x er lig c.

Hvorfor fejler den her?

Den tosidede grænseværdi eksisterer faktisk.

Hvis vi siger c er 3,

så er grænseværdien, når x nærmer sig 3

s

for f(x)

som du kan se grafisk

synes den at være y = x

bortset fra denne diskontinuitet.

hvor den er lig 9.

Men problemet er den måde grafen er tegnet

det er ikke det samme som funktionsværdien.

Denne funktion f(3),

når den er tegnet således

så er f(3) lig 4.

dette er et tilfælde, hvor den tosidede grænseværdi

eksister, men den er ikke lig funktionsværdien.

Du kan se andre tilfæde, hvor funktione

slet ikke er defineret der,

s

OG igen, denne grænseværdi eksiter muligvis,

men funktione er mulivis ikke defiernerr der.

Uanset, så opfylder du ikke disse kriterier

for kontinuuitet.

Det er derfor enhævelig diskontinuirer

er diskontinuer

med hensn til grænseværdi definere af kontinuitet.

Lad os se på dette andet eksempel.

Hvis tester for kontinuitet ved blot at kigge

så kan vi følge den

og vi ser at ved x er lig 2,

så skal jeg løfte blyanden for at fortsætte.

Det er et ret godt tegn på at diskontinuitet.

Det ser vi også herover.

hvis jeg følger denne funktion så skal jeg løfte min blyant

jeg kan ikke gå til dette punkt.

Jeg skal hoppe herned

og så fortsætte herover.

I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

så vi kan fornemme den er diskontinuert.

Men for denne type af dikskontnuitet,

hvor jeg laver et spring fra et punkt

og jeg laver et spring herned til fr at forsætte

så kaldes det helt naturligt for en spring diskontinuitet.

s

s

Og dette er naturligvis en hævelig diskontinuitet.

Hvordan relatirere det til grænseværdier?

Her eksisterer den venstre og højresidet
grænseværdi

men de er ikke det samme,

så du har ikke en tosidet grænseværdi.

For eksempel med denne her

for alle x-værdier til og med x lig 2

der er det grafen for y er lig x

Og for x større end 2

der er det grafen for √2.

I dette tilfælde

hvis du finder grænseværdien af

f(x)

når x nærmer sig 2

fra

venstre

s

så bliver den lig 4,

du nærmer dig dinne værdi,

Og det er faktisk funktionsværdien.

Men når du bestemmer grænseværdien når x nærmser sig 2

fra højre for f(x),

hvad er den så lig?

Når vi nærmser os fra højre,

så der den faktisk √x

så den næemwe aif √2

Du kan ikke se det er √2 blot ved at se på den,

s

jeg ved det er det, fordi

jeg det er den funktion jeg definerede inde på Desmos

da jeg lavede funktionen.

Men visuelt er det tydeligt

at du nærmer dig to forskellige værdier

når du nærmer dig fra venstre

og når du nærmer dig fra højre.

Så selv om de ensidet grænseværdier eksisterer,

så nærmer de sig ikke det samme,

så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke.

Og hvis den tosidet grænseværdi ikke eksiteer,

så kan den med sikerhed ikke være

lig funktionsværdien, selv hvis funktionen er defineret.

Det er derfor en spring diskontinuitet dumper prøven.

Igen det er ret intuitivt.

Du kan se her, jeg skal springe

jeg skal løfte min blyant.

Disse to ting er ikke forbundet med hinanden.

Filsidst, så kan du se her,

når du lærte om

det der hedder en asymptotisk diskontinuitet

s

s

ss

s

Og du har her en asymptote.

Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

Hvis jeg forsøger at følge grafen fra

vense

så vil jeg blot fortsætte

Jeg vil følge den uendeligt

da den er udendelig

den er ubegrænset så når jeg

kommer tættere og tættere på x er lig 2 fra vensre

og hvis jeg forsøger at komme til x er lig 2 fra højre

så vil jeg igen forsætte ubegrænset opad.

NÅr jeg siger ubegrænset

så går den mod uendlig

og det er jo faktisk umuligt

i et almindeligt dødeligt menneske at følge den hele vejen.

Men du kan fornemme, at je

ikke kan tegne den herfra og dertil
uden at løfte min blyant.

Du kan relaterer det til grænseværdier

ved at sige

at både venstre og højresidet grænseværdier er ubegrænset

så de eksistere officielt ikke.

Hvis de ikke eksiterr, så kan vi ikke opfylde disse betingelser.

SÅ vi kan sige at

grænseværdien

når x nærmer sig 2 fra vesntre sie for f(x)

er ubegrænset i den negative retning.

Du kan nogle gange se man skirver det som

minus uendelig

men så er man lidt løs med matematikken.

Det er mere korrekt at sige den er ubegrænset

s

På samme måde kan vi sige at grænseværdien

når x nærmer sig 2

fra øjre

for f(x)

er ubegrænset mod plus uendlig.

Og igen,

dette er også ubegrænset.

s

s

og fordi den eer ubegrænset, så eksiterr denne grænseværdi ikke

og kan ikke opfylde disse betindler

SÅ vi er diskontinuert.

Dette er en punkt eller hævelig diskontinuitet

en spring diskontinuitet, jeg springer

og her har vi disse asymptotoer, en lodret asypmtote

Det er en asymptotisk diskontinuitet.