Distributive property with variables exercise

Μας λένε να κάνουμε τις πράξεις
εφαρμόζοντας την επμεριστική ιδιότητα.

Και έχουμε 1/2 επί

2α-6β+8.

Για να το κάνουμε αυτό,

πάμε στο πρόχειρό μας,

και γράφουμε

1/2(2α-6β+8).

Ας το ξανά γράψουμε.

Θα το κωδικοποιήσω με χρώματα

έτσι για να έχει και πλάκα
άρα 1/2,

επί, και θα χρειαστώ και λίγο χώρο ακόμα

1/2 επί

2α

-6β

συν 8.

1

1

Για να εφαρμόσουμε σωστά την επιμεριτική
ιδιότητα

και να πολλαπλασιάσουμε το 1/2
με όλη την παράσταση

χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε
το 1/2 με κάθε ένα όρο της παρένθεσης.

Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν το 1/2
με αυτό,

το 1/2 με αυτό και το 1/2 με αυτό.

1/2 λοιπόν επί 2α

1

1

1

μείον

1/2 επί 6β

1

συν 1/2 επί 8.

1

Και με τι είναι ίσο όλο αυτό;

1/2 επί 2α,

είναι ίσο με 1/2 επί 2 που κάνει 1,
επί α,

δηλαδή α.

1/2 επί 6 β

είναι ίσο με 1/2 επί 6

1

που είναι ίσο με 3

επί β

μας κάνει 3β

και τέλος 1/2 επί 8 που κάνει 4.

1

8 επί 1/2 είναι το ίδιο με 8 μισά
δηλαδή 4 ολόκληρα.

1

α λοιπόν μείον 3β συν 4.

1

Πάμε να απαντήσουμε.

1

1

α - 3β + 4

και παρατηρήστε τελικά
ότι ο πολλαπλασιασμός με το 1/2

δίνει στην ουσία τελικά
το μισό από όλες τις αρχικές ποσότητες που είχαμε.

Το μισό του 2α είναι το α,
το μισό του 6β είναι το 3β

1

και το μισό του 8 που είναι 4.

1

Ελέγχουμε την απάντησή μας
και είναι σωστή.

1

Ας κάνουμε ένα παράδειγμα ακόμα.

Ας πούμε τώρα, ότι θέλουμε
να εφαρμόσουμε το αντίστροφο

της επιμεριστικής ιδιότητας
και να βγάλουμε έξω από την παρένθεση το ΜΚΔ.

Έχουμε λοιπόν το 60m - 40

και πάμε να το δούμε στο πρόχειρο.

Δεν έχουμε χώρο εδώ.

1

Έχουμε λοιπόν 60m - 40

1

1

και ψάχνουμε να βρούμε το μέγιστο
κοινό διαιρέτη του 60 και του 40.

1

Ο πρώτος εύκολος κοινός διαιρέτης
που μας έρχεται στο μυαλό είναι το 10

αφού το 60 m μπορεί να γραφτεί

ως 10 επί 6m

1

1

1

και το 40 γράφεται ως 10 επί 4.

1

Το 10 όμως δεν είναι τελικά
ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους

και πως το ξέρουμε αυτό;

Μα γιατί φυσικά το 6 και το 4
έχουν και άλλο κοινό διαιρέτη.

1

Έχουν κοινό διαιρέτη το 2.

Επομένως όταν θέλουμε να βγάλουμε
έξω από την παρένθεση το μέγιστο κοινό διαιρέτη

τότε δεν θα έχουν άλλο κοινό
διαιρέτη οι αριθμοί μεταξύ τους.

1

Ας ψάξουμε λοιπόν να δούμε
ακόμα καλύτερα

ποιος είναι ο ΜΚΔ του και του 40.

2 επί 10 κάνει 20

άρα θα μπορούσαμε να βγάλουμε και το 20

1

άρα εδώ μας μένει 20 επί 3m

και το 40 θα είναι ίσο με 20 επί 2.

1

Το 3m και το 2 δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη

άρα ξέρουμε τελικά ότι έχουμε ήδη
βρει το μέγιστο κοινό διαιρέτη.

1

Αν τώρα νομίζετε ότι όλο
αυτό που κάναμε

είναι κάποια περίεργη
μορφή τέχνης

ένας καλός τρόπος σκέψης
για να βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη

είναι να κάνουμε ανάλυση
σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

1

Το 60 για παράδειγμα
είναι ίσο με 2 επί 30, το 30 είναι ίσο με 2 επί 15

και το 15 είναι ίσο με
3 επί 5.

Επομένως το 60 αναλύεται
σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ως 2 επί 2 επί 3 επί 5.

Το 40 τώρα γράφεται

2 επί 20, το 20 είναι ίσο με 2 επί 10
και το 10 είναι ίσο με 2 επί 5.

1

Επομένως το 40 αναλύεται
σε 2 επί 2 επί 2 επί 5.

Για να βρούμε τώρα
το μέγιστο κοινό διαιρέτη τους

παίρνουμε το γινόμενο όλων
των κοινών πρώτων παραγόντων τους.

Οι κοινοί λοιπόν παράγοντες
των αριθμών βλέπουμε ότι είναι

δύο δυάρια και ένα πεντάρι.

Δεν μπορούμε να πάρουμε
τρία δυάρια και το 5

γιατί στο 60
δεν έχουμε τρία δυάρια.

Έχουμε λοιπόν 2 δυάρια και
ένα 5 στο 60

και 2 δυάρια και ένα 5
στο 40

άρα ο μέγιστο κοινός
διαιρέτης τους

1

είναι το 2 επί 2 επί 5

που κάνει 20.

Αυτός λοιπόν είναι ο αναλυτικός
τρόπος που έχουμε μάθει

για να βρίσκουμε το ΜΚΔ.

Πάμε τώρα, αφού βρήκαμε
το ΜΚΔ, να κάνουμε το αντίστροφο της επιμεριστικής

και να βγάλουμε έξω από την παρένθεση
το 20.

Επομένως αυτό γράφεται ως
20 επί παρένθεση

εδώ θα μείνει ένα 3m

1

μείον 40 διά 20 που κάνει 2.

1

Μείον δύο λοιπόν.

Πάμε να απαντήσουμε.

20 λοιπόν επί
παρένθεση

3m - 2

και νομίζω ότι είναι μια χαρά.

Εδώ τώρα μπορούμε
πάλι να αναγνωρίσουμε

ότι έχουμε βγάλει σωστά έξω το ΜΚΔ
αφού ξέρουμε ότι το 3 και το 2

είναι πρώτοι μεταξύ τους

δηλαδή δεν έχουν άλλο κοινό
διαιρέτη εκτός από το 1.

1