Die Onbepaalde Integraal of Anti-afgeleide

'n Inleiding tot onbepaalde integrasie van polinome.

...

Welkom by die voorlegging oor onbepaalde integrale,

ook bekend as die anti-afgeleide.

So kom ons begin met n bietjie hersiening van die

normale afgeleide

So as ek die afgeleide d/dx sou neem.

Dit is net die afgeleide simbool.

As ek die afgeleide sou neem van die uitdrukking

x kwadraat-- hierdie is n maklike een as jy die

afgeleide voorlegging onthou.

Wel, dis heel eenvoudig.

Jy neem net die eksponent.

Dit word die nuwe koeffisient, ne.

Jy maal dit eintlik met die ou koeffisient, maar in

hierdie geval is die ou koeffisient 1, so 2 maal 1 is 2.

En jy neem die veranderlike 2x.

En dan sal die nuwe eksponent een minder wees as

die ou eksponent.

So dit sal 2x to die mag 1 wees, of net 2x.

So dit was maklik.

As ek y is gelyk aan x kwadraat gehad het, weet ons nou wat die die helling by enige

punt op daardie kurwe sou wees, dit sou 2x wees.

So wat as ons anderkant om wil gaan?

Kom ons se ons wou begin met 2x, en ek wou vra

waarvan is 2x die afgeleide.

Wel, ons weet nou wat die antwoord daarop is, ne?

Omdat ons nou net die afgeleide van x kwadraat geneem het

en uitgewerk het dat dit 2x is.

Maar wat as ons nog nie dit geweet het nie?

Mens kon dit waarskynlik intuitief uitwerk, hoe kan mens

die tipe bewerking what ons hier gedoen het, hoe

kan mens dit agteruit doen.

So in die geval die notasie-- wel, ons weet dis x kwadraat--

maar die notasie om uit te werk dat 2x die afgeleide is

waarvan, kon ons se dat-- kom ons se 2x is die

afgeleide van y.

So 2x is die afgeleide van y.

Kom ons raak ontslae hiervan, of wat.

Dan kan ons hierdie se.

Ons kan se dat y gelyk is aan-- en ek gaan nou

nogal ingewikkelde notasie gee en verduidelik hoekom ons

hierdie notasie gebruik so n paar voorleggings verder aan.

Maar op hierdie punt hoef jy net te weet wat die notasie

beteken of wat dit vir jou vertel om te doen, wat eintlik maar

net die anit-afgeleide of die onbepaalde integraal is.

So ons kon se dat y gelyk is aan die onbepaalde

integraal van 2x dx.

En ek gaan verduidelik wat hierdie s-vormige lyn hier is en

dx, maar al wat jy hoef te weet wanneer jy die s-vormige lyn sien

saam met so 'n dx en dan iets tussen in, is al wat hulle vra

dat jy uitwerk wat is die anti-afgeleide

van hierdie uitdrukking.

En ek sal later verduidelik hoekom hierdie die

onbepaalde integraal genoem word.

En eintlik sal hierdie notasie baie meer sin maak

sodra ek jou wys wat n bepaalde integraal is.

Maar kom ons aanvaar net vir nou dat n

onbepaalde integraal-- wat ek nou net hier geteken het, dis soort van

soos n klein wikkel dingetjie-- is net die anti-afgeleide.

So y is eintlik gelyk aan die anti-afgeleide,

of die onbepaalde integraal van die uitdrukking 2x.

So wat is y gelyk aan?

Wel, y is natuurlik gelyk aan x kwadraat.

Laat ek jou n vraag vra.

Is y net gelyk aan x kwadraat?

Omdat ons die afgeleide geneem het, en die afgeleide

van x kwadraat gelyk is aan 2x.

Maar wat is die afgeleide van x kwadraat-- wat is die

afgeleide van x kwadraat plus 1?

...

Wel, die afgeleide van x kwadraat is nogsteeds 2x.

Wat is die afgeleide van 1?

Ja, die afgeleide van 1 is 0, so dis 2 plus

0, of nogsteeds net 2x.

Soortgelyk daaraan, wat is die afgeleide van x kwadraat plus 2?

Wel, die afgeleide van x kwadraat plus 2 is weereens

2x plus 0.

So sien ons dat die afgeleide van x kwadraat plus

enige konstante gelyk is aan 2x.

So y kan eintlik x kwadraat plus enige konstante wees.

En vir enige konstante sit ons a hoofletter C daar.

So x kwadraat plus C.

En jy sal baie calculus dosente teekom wat hierdie probleem verkeerd

sal merk as jy vergeet om die plus C by te sit as jy

n onbepaalde integraal doen.

So nou se julle, ok, Sal, jy het my nou bietjie notasie gewys,

jy't my herrinder dat die afgeleide van enige konstante

getal 0 is, maar hierdie help jou rerig nie om

n onbepaalde integraal op te los nie.

Wel, kom ons dink oor n manier-- 'n stelselmatige manier vir wanneer ek dit

nog nie reeds vir jou gedoen het nie -- dat ons n

onbepaalde integraal kon bereken.

Laat ek hierdie skoonmaak.

...

A helderder kleur, dink ek, om hierdie meer interresant te maak.

...

Kom ons se dat ons se y is gelyk aan die onbepaalde integraal van--

laat ek hier iets interresant bygooi.

Kom ons se die onbepaalde integraal van x tot die mag 3 dx.

So ons wil n funksie uitwerk wat se afgeleide

gelyk is aan x tot die derde.

Wel, hoe kan ons dit uitwerk?

Wel, net van jou intuisie af, dink jy waarskynlik, sal ons se

dat dit seker iets maal x tot die iets is, ne?

So kom ons se dat y gelyk is aan x tot die n.

So wat is dy/dx, of die afgeleide van y is n.

Wel, ons het hierdie in die afgeleides module geleer.

Jy vat die eksponent, maal die met die koeffisient.

So dis a maal n.

...

En dan is dit x tot die n minus 1.

Wel in die situasie se ons dat x tot die derde

hierdie uitdrukking is, dis die afgeleide van y.

Dit is gelyk aan x tot die derde.

So as dit gelyk is aan x tot die derde, wat is a en wat is n?

Wel, n is maklik om uit te werk.

n minus 1 is gelyk aan 3.

So dit beteken dat n gelyk is aan 4.

En waaraan is a dan gelyk?

Wel, a maal n is gelyk aan 1, ne, want ons het net n 1

in hierdie koeffisient, hierdie het n begin koeffisient van 1.

So a maal n is 1.

As n gelyk is aan 4, moet a gelyk wees aan 1/4.

...

So as ons net hierdie definisie van n afgeleide gebruik, dink ek het ons nou

uitgewerk waaraan y gelyk is.

y is gelyk aan 1/4 x tot die vierde.

Ek dink julle sal dalk n patroon hier begin sien.

Wel, hoe het ons van x tot die derde tot

1/4x tot die vierde gegaan?

Wel, ons het die exponent groter gemaak met 1, en watookal die nuwe

eksponent is, maal ons dit met 1 gedeel deur daardie nuwe eksponent.

So kom ons kyk of ons hier n veralgemeende reel kan doen.

...

Oh, en natuurlik, plus C.

Ek sou hierdie eksamen gedop het.

So kom ons maak n algemene reel dat as ek die integraal het

van-- wel, siende dat ons reeds a gebruik het, kom ons se-- b

maal x tot die n dx.

Wat is hierdie integraal?

Hierdie is die integraal teken.

Wel, my nuwe reel is, ek vermeerder die eksponent van x met 1, so dit

gaan x tot die n plus 1 wees.

En dan maal ek x met die inverse van hierdie getal.

So dis 1 oor n plus 1.

En natuurlik het ek daardie b heeltyd daar.

En eendag sal ek n meer opgewekte-- meer korrekte bewys

en dalk sal dit ook meer opgewek wees-- oor hoekom hierdie b

net bly verminigvuldig.

Eintlik hoef ek nie n te deeglike beweys te doen nie, as jy net

onthou hoe n afgeleide gedoen word, maal jy net hierdie

met die eksponent minus 1.

So hier maal ons die koeffisient maal 1 oor

die eksponent plus 1.

Dis net die inverse bewerking.

So kom ons doen n paar voorbeelde soos die rerig vinnig.

Ek het min tyd oor.

Ek dink die voorbeelde, vir my ten minste, het

rerig die punt tuisgebring.

So kom ons se ek wou uitwerk wat die integraal is

can 5x tot die sewende dx.

Wel, ek neem die eksponent, vermeerder dit met een.

So ek kry x tot die agtste, en maal dit dan met die koeffisient

maal 1 oor die nuwe exponent.

So dis 5/8 x tot die agtste.

En as jy my nie wil vertrou nie, neem hiervan die afgeleide.

Neem die afgeleide, d/dx, van 5/8 x tot die agtste.

Wel, jy maal 8 met 5/8.

Wel dis gelyk aan 5x tot die-- en nou sal die nuwe eksponent

8 minus 1-- 5 x tot die sewende wees.

Oh, en natuurlik, plus C.

Wil nie die plus C vergeet nie.

So ek dink jy moet n idee he van hoe hierde werk.

In die volgende voorlegging gaan ek nog n klomp voorbeelde

doen, en ook vir jou wys hoe om soort van

die ketting reel om te keer.

En dan sal ons faktor integrasie leer, wat

eintlik net die omgekeerde van die produk reel is.

Sien jou in die volgende voorlegging.

...