Neurčitý integrál nebo Primitivní funkce

Úvod do hledání neurčitého integrálu polynomů.

.

Vítejte na prezentaci na téma neurčitý integrál

neboli primitivní funkce - antiderivace.

Začněme s trochou opakování o

derivacích.

Takže pokud bych měl brát derivaci d/dx.

Je to jen operátor derivování.

Pokud bych měl brát derivaci výrazu

x na druhou – to je snadné, pokud si pamatujete

prezentaci o derivacích.

No je to velice jednoduché.

Prostě vezmete exponent.

Ten se stává novým koeficientem, že.

Ve skutečnosti násobí starý koeficient, ale v

tomto případě je starý koeficient 1, takže 2 krát 1 je 2.

A budete mít proměnnou 2 x.

A pak nový exponent bude o jedničku menší než

starý exponent.

Tak to bude 2 x na 1, nebo-li jen 2 x.

Tak to bylo snadné.

Když budu mít y rovno x na druhou tak víme, že sklon v každém

bodě na křivce, bude 2 x.

Takže co kdyby jsme chtěli jít druhou stranou?

Řekněme, že pokud bychom chtěli začít s 2 x a já jsem chtěl říct

2 x je derivace čeho.

No, my známe odpověď na tuto otázku, že?

Protože jsme právě udělali derivaci x na druhou

a zjistili jsme, že to je 2x.

Ale Dejme tomu, že jsme to ještě nevěděli.

Mohli bysta na to pravděpodobně přijít intuitivně, stejným

způsobem, jako jsme provedli tuto operaci, tak byste

to dokázali zpětně.

Tak v tomto případě zápis – dobře, víme, že to je x na druhou -

ale zápis toho, že chceme nalézt čeho že je derivace 2x,

mohli bychom říci, že – Pojďme říci, 2x je

derivace y.

Takže 2 x je derivace y.

Pojďme se zbavit toho, "čeho".

Pak můžeme říci toto.

Můžeme říci, že y se rovná – a já na vás

vytáhnu velmi efektní zápis, a vlastně i vysvětlím proč budeme

používat tento zápis v několika následujících prezentacích.

Ale v tuto chvíli jen musíte vědět co ten zápis

znamená, nebo co to říká, že máte opravdu udělat, což je opravdu

jen nalezení primitivní funkce nebo neurčitého integrálu.

Takže bychom mohli říct, že y je roven neurčitému

integrálu 2x dx.

A já vám nyní vysvětlím, co tato klikatá čára zde je a

dx, ale vše, co musíte vědět, je, když vidíte klikatou čáru

a toto dx a pak něco mezi, vše, tak vše co se žádá

je, že chcete zjistit, co je primitivní funkce

k tomuto výrazu.

A já to vysvětlím později důvod, proč se toto nazývá

neurčitý integrál.

A ve skutečnosti tento zápis bude mít mnohem větší smysl

když vám ukáži, co určitý integrál je.

Ale pojďme prostě to brát za samozřejmost právě teď, že

neurčitý integrál – což jsem nakreslil zde, je to trochu

jako podivná věc – je prostě primitivní funkce.

Takže y se rovná v podstatě primitivní funkce,

nebo neurčitý integrál výrazu 2 x.

Čemu se tedy y rovná?

No y je zřejmě rovná x na druhou.

Dovolte mi položit vám otázku.

Rovná se y jen x na druhou?

Protože jsme si udělali derivaci a jasně derivace

x na druhou je 2 x.

Ale co je derivace x na druhou – co je

derivace x na druhou plus 1?

.

No derivace x na druhou je stále 2 x.

Co je derivace 1?

Právě, derivace 1 je 0, takže je to 2x plus

0, nebo právě jen 2x.

Stejně tak co je derivace x na druhou plus 2?

Dobrá derivace x na druhou plus 2 ještě

jednou je 2x plus 0.

Všimněte si, že derivace x na druhou plus

jakákoliv konstanta je 2x.

Takže opravdu y může být x na druhou plus jakákoli konstanta.

A za všechny konstanty tam připíšeme velké c.

Tak x na druhou plus c.

A potkáte mnoho učitelů analýzy, kteří označí tento

problém za špatně vyřešený, pokud zapomenete dát plus c, když budete hledat

neurčitý integrál.

Takže říkáš Sale, OK, ukázal jsi mi nějaký zápis,

připomněl jsi mi, že derivace libovolné konstanty

je 0, ale to mi opravdu nepomůže vyřešit

neurčitý integrál.

Dobře, pojďme přemýšlet o způsobu – systematickém způsobu pokud jsem to pro vás

již neudělal– že bychom mohli řešit

neurčitý integrál.

Dovolte mi to vyjasnit.

.

Tlustší barva to udělá zajímavější.

.

Dejme tomu, že jsme řekli, že y je roven neurčitý integrál z –

Udělejme si zde něco zajímavého.

Řekněme, že hledáme neurčitý integrál z x na třeí dx.

Tak chceme přijít na nějakou funkci, jejíž derivace

je x na třetí

Dobře, jak na to můžeme přijít?

Dobře jen z vaší intuice, pravděpodobně přemýšlíte, no to je

asi něco krát x na něco, že?

Takže řekněme, že y je roven a x na n.

Tak potom co je dy/dx, nebo derivace y je n.

Dobře, to jsme se naučili v modulu derivace.

Vezmete exponent, vynásobíte ho koeficiente,.

Tak to je a krát n.

.

A pak je to x na n mínus 1.

I v této situaci říkáme, že x na třetí je

tento výraz, a je derivací y.

To se rovná x na třetí.

Takže pokud se toto rovná x na třetí, co je a a co je n?

No n je snadno zjistitelné.

n mínus 1 se rovná 3.

Takže to znamená, že n se rovná 4.

A pak čemu se rovná a?

No a krát n je rovno 1, že, protože máme 1

v tomto koeficientu, to má počáteční koeficient 1.

Takže a krát n je 1.

Pokud je n 4, pak a musí být 1/4.

.

Tak právě jen použitím této definice derivace, myslím jsme teď

zjistili čemu se rovná y.

y je rovno 1/4 x na čtvrtou.

Myslím, že zde můžete začít vidět vzor.

Dobře, jak jsme se dostali od x na třetí k

1/4 x na čtvrtou?

No, zvýšili jsme exponent o 1 a z toho co byl nový

exponent, jsme udělali jeho převrácenou hodnotu a vynásobili.

Tak pojďme popřemýšlet, jestli z toho můžeme udělat obecné pravidlo.

.

Jo a samozřejmě plus c.

Já bych tuto zkoušku neudělal.

Tak udělejme obecné pravidlo, které když budu mít integrál

z – No, protože jsme již a použili, dejme tomu – b

krát x na n dx.

Co je tento integrál?

Toto je znaménko integrálu.

Dobře, moje nové pravidlo je, zvedám exponent x o 1, takže to

bude x na n plus 1.

A pak vynásobím x krát převrácenou hodnotu tohoto čísla.

Takže krát 1 nad n plus 1.

A samozřejmě jsem zde měl b po celou dobu.

A jednoho dne budu dělat silnější – vědečtější důkaz

a možná bude i silný - toho, proč toto b

jen zůstává násobit.

Vlastně nemusím dělat příliš rigorózní důkaz, pokud ji prostě

vzpomenete, jak se dělá derivace, prostě vynásobíte toto

krát exponent mínus 1.

Tak tady násobíme koeficientem krát 1 nad

exponentem plus 1.

Je to jen inverzní operace.

Takže pojďme si promrskat několik takových příkladů.

Zbývá mi málo času.

Myslím, že příklady, alespoň pro mě, opravdu

jsou to podstatné.

Tak dejme tomu, že jsem chtěl přijít na integrál

5 x na sedmou dx.

No, tak vezmu si exponent, zvýším o jedničku.

Dostávám x na osmou, a pak jsem vynásobím koeficient

1 krát děleno novým exponentem.

Je to tedy 5/8 x na osmou.

A pokud mi nedůvěřuje, udělejte si derivaci.

Uděláme si d/dx 5/8 x na osmou.

Dobře vynásobíte 8 krát 5/8.

No to se rovná 5 x na – a teď nový exponentu bude

8 mínus 1 – 5 x na sedmou.

Jo a samozřejmě plus c.

Nechci zapomínat plus c.

Takže myslím, že už víte jak to funguje.

V další prezentaci budu dělat spoustu dalších

příkladů a také vám ukážu něco jako

inverzní řetízkové pravidlo.

A pak se budeme učit integraci per partes(po částech), která je

v podstatě jen obrácení pravidla derivace násobku.

Na shledanou v další prezentaci.

.