La Integral Indefinida o Anti-derivada.

Introducción a la integración indefinida de polinomios.

Bienvenido a la presentación
de la Integral Indefinida

ó Anti-derivada.

Comencemos examinando un poco de la

derivada común.

Si fuese a tomar la derivada (d/dx).

Sólo es el operador de la derivada.

Si fuese a tomar la derivada de la expresión

(x cuadrado) -esto es fácil si recuerdas la

presentación de la derivada.-

Bien, esto es bastante sencillo.

Sólo tomas el exponente.

Este se convierte en el nuevo
coeficiente, bien.

Multiplicas las veces que indica el anterior coeficiente, pero en

este caso el anterior coeficiente es 1, así 2 veces 1 es 2.

Y tendrías la variables (2x).

Ahora el nuevo exponente será una unidad menos que

el anterior exponente.

Así será (2x a la 1), o sólo (2x).

Eso fue fácil.

Si tengo (y) igual a (x cuadrado) sabremos que la pendiente de cualquier

punto en esa curva, debería ser (2x).

¿Si buscamos hacerlo de otra manera, de la manera inversa?

Si comenzamos con (2x), y decimos:

¿(2x) es la derivada de?

Sabemos la respuesta ¿Bien?

Porque solo tomamos la derivada de (x al cuadrado)

y determinamos que es 2x.

Supongamos que no lo hemos hecho.

Probablemente podrias pensar intuitivamente, como se puede

hacer la operación que hicimos aquí ¿cómo

puede hacer al revés?

En este caso la notación -bien sabemos es (x al cuadrado)-

pero la notación para intentar determinar de que es derivada (2x),

podemos decir qué - (2x) es la

derivada de (y)-.

Entonces (2x) es la derivada de (y).

A ver, pensemos de nuevo acerca de esto.

Entonces podemos decir.

Decimos: (y) es igual a -y voy a mostrar cierta notación

muy elegante, en la que voy a explicar por qué

usamos esta notacion de aquí en adelante.

Pero solo tienes que saber en este momento lo que esta notación

significa o que hace realmente, es

solo la antiderivada o la integral indefinida.-

Asi decimos que (y es igual a la

integral indefinida de 2x dx).

Y voy a explicar que es esta linea que parece una serpiente y el

dx, pero todo lo que tienes que saber es que cuando tu ves esta extraña linea

y el dx, con algo entre ambas, te están preguntando

la antiderivada de la

expresión que está entre ellos.

Luego explicaré porque
esto es llamado

integral indefinida.

Y ahora esta notación tendrá algo más de sentido

cuando muestre que es una integral indefinida.

Pero vamos a dar por sentado en este momento que una

integral indefinida -lo que acabo de dibujar acá, como una especie de

pequeña ardilla- solo es la anti-derivada.

Así (y es igual a) la anti-derivada esencialmente,

o la integral indefinida de la expresión (2x).

Así que ¿(y es igual a)?

Bien (y) es obviamente igual a (x al cuadrado).

Déjame hacerte una pregunta.

¿Es (y) solo igual a (x al cuadrado)?

Porque tomamos la derivada, y claramente la derivada

de (x al cuadrado) es (2x).

Pero ¿Cuál es la derivada de (x al cuadrado) -¿Cuál es la

derivada de (x al cuadrado más 1)?-?

Bien, la derivada de (x al cuadrado) sigue siendo (2x).

¿Cuál es la derivada de 1?

Bien, la derivada de 1 es 0, así 2x más

0, o sigue siendo (2x).

Similarmente ¿Cuál es la derivada de (x al cuadrado más 2)?

Bien, la derivada de (x al cuadrado más 2)

de nuevo es (2x más 0).

Así nota que la derivada de (x al cuadrado) más

cualquier constante es (2x)

Realmente (y) podría ser (x al cuadrado) más cualquier constante.

Y en lugar de ubicar la constante, pondremos una gran C.

Así (x al cuadrado más C).

Y encontraras muchos profesores de calculo que marcaran

un problema como malo si olvidas poner el (más C) cuando haces

una integral indefinida.

Así, tu estas diciendo Sal, Ok, me mostraste alguna notación,

tu tienes que recordarme que la derivada de cualquier constante

es 0, pero realmente no lo es realmente, resolvamos

una integral indefinida.

Bien, permiteme pensar en una manera -Una manera sistematica, si es que no lo hice

ya- con la que podríamos resolver una

integral indefinida.

Déjame limpiar esto.

Un color más fuerte debería hacer esto más llamativo.

Hemos dicho que (y) es igual a la Integral Indefinida de-

déjame mostrar algo interesante aquí.

Dijimos la Integral Indefinida de (x al cubo dx).

Imaginamos alguna función cuya derivada

es (x a la tres).

Bien ¿cómo podemos imaginarlo?

Bien, intuitivamente probablemente piensas,

algunas veces (x a la algo) ¿Bien?

Digo que (y es igual a x a la n)-

Entonces es (dy/dx), o la derivada de (y) es (n).

Bien, aprendimos esto en los vídeos sobre derivadas.

Tomas el exponente, lo multiplicas por el coeficiente.

Asi es (a veces n)

Y entonces es (x para la n menos 1).

Bien, en esta situación decimos que (x a la tres es)

esta expresión, es la derivada de (y).

Esto es igual a (x a la tres).

Así, si esto es (igual a x a la tres), que es (a) y que es (n).

Bien, (n) es fácil de imaginar.

(n menos 1 es igual a 3).

Eso significa que (n es igual a 4).

¿Entonces a es igual a?

Bien (a veces n es igual a 1), perfecto, porque solo tiene un 1

en este coeficiente, este tiene un coeficiente inicial de 1.

Así (a veces n es 1).

Si (n es 4), entonces (a) debe ser (1/4).

Así solo usaremos esta definición de una derivada, yo pienso que

imaginamos que (y es igual a).

(y es igual a 1/4x a la cuarta).

Puedes estar viendo un patrón aquí.

¿Cómo hicimos para obtener desde (x a la tres) hasta

(1/4x a la cuarta)?

Bien, incrementamos el exponente en 1, y cualquiera

sea el nuevo exponente, multiplicamos una vez sobre el nuevo exponente.

Así, permiteme pensar si podemos generalizar la regla aquí.

Oh, y por supuesto, (más c).

Yo debería fallar en este examen.

Así, haré una regla general que si tengo la integral

de- bien, desde que comenzamos a usar (a), digo- (b

veces x a la n dx).

¿Cuál es esta integral?

Este es un signo de integral.

Bien mi nueva regla es, elevaremos el exponente de (x en 1), así

es (x a la n más 1).

Y luego multiplicar x veces el inverso de este número.

Lo tiempos 1 sobre n + 1.

Y por supuesto tuve que b allí todo el tiempo.

Y un día voy a hacer una prueba más vigorosa, más rigurosa

y tal vez será vigorosa así--qué este b

sólo queda multiplicar.

Realmente no tengo que hacer demasiado rigurosa de la prueba si usted solamente

Recuerde cómo se realiza un derivado, simplemente multiplicas esto

veces el exponente menos 1.

Así que aquí multiplica el coeficiente 1 sobre

el exponente más 1.

Es simplemente la operación inversa.

Así que vamos a hacer un par de ejemplos como este realmente rápido.

Tengo un poco tiempo.

Creo que los ejemplos, al menos para mí, realmente

Golpee el punto de inicio.

Así que vamos a decir que quería averiguar la integral

de 5 x al séptimo dx.

Bueno, tome el exponente, aumentarlo por uno.

Para obtener x a la octava, y luego multiplique el coeficiente

veces 1 sobre el nuevo exponente.

Así que es de 5/8 x a la octava.

Y si no confía en mí, tomar la derivada de esto.

Lleve los derivados d/dx de 5/8 x a la octava.

Bien multiplicas veces 8 5/8.

Pues eso es igual a 5 x para el--y ahora la nueva voluntad exponente

8 menos 1--5 x a la séptima.

Ah y por supuesto, además de c.

No quiero olvidar el c plus.

Así que creo que tiene un sentido de cómo funciona esto.

En la próxima presentación que voy a hacer un montón de más

ejemplos y yo también mostraré cómo tipo de

Invierta la regla de la cadena.

Y, a continuación, aprenderemos a integración por partes, que es

esencialmente sólo invertir la regla del producto.

Nos vemos en la próxima presentación.