Washer method rotating around non-axis

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0:00 - 0:01
0:01 - 0:03

이제 아주 재미있는 부분입니다
0:03 - 0:05

y=x 그래프와
0:05 - 0:08

y=x²-2x 그래프가 있습니다
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이 두 그래프 사이 공간을
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회전시켜 보겠습니다
0:11 - 0:13

이 빗금 친 부분이죠
0:13 - 0:16

그냥 x축이 아니라
0:16 - 0:19

y=4 를 축 삼아 회전시킵시다
0:19 - 0:21

이렇게 수평으로요
0:21 - 0:24

그러면 이런 물체가 나옵니다
0:24 - 0:27

옆에 미리 그려 두었어요
0:27 - 0:30

보다시피 바닥에 구멍이 있는
0:30 - 0:32

꽃병처럼 생겼습니다
0:32 - 0:35

이걸 이용해서 우리는
0:35 - 0:36

원판법의 일종인
0:36 - 0:38

와셔법을 배울 겁니다
0:38 - 0:40

먼저 와셔 모양을 만듭니다
0:40 - 0:42

임의의 x값을 잡아 봅시다
0:42 - 0:46

이쯤에 두어 보죠
0:46 - 0:48

이 임의의 x를 이용해서
0:48 - 0:48

이 부분을
0:48 - 0:50

회전시키는 겁니다
0:50 - 0:54

회전시키려면 범위가 있어야겠죠
0:54 - 0:55

그 x값의 범위를 dx라 합시다
0:55 - 0:57

이 dx를 y=4를 중심으로
0:57 - 0:58

회전시킵니다
0:58 - 1:03

이 물체에는 이만큼의 깊이가 생깁니다
1:03 - 1:05

이 물체의 안쪽 빈 공간의 반지름은
1:05 - 1:08

와셔의 안쪽 반지름과 같죠
1:08 - 1:09

이렇게 생겼을 겁니다
1:09 - 1:12

이렇게 생겼을 겁니다
1:12 - 1:14

그리고 와셔의 바깥쪽 반지름은
1:14 - 1:17

y = x²-2x 를 따라 바뀌겠죠
1:17 - 1:22

그러면 이렇게
1:22 - 1:24

가능한 열심히 그리고 있답니다
1:24 - 1:25

이렇게 생기게 될 겁니다
1:25 - 1:28

이렇게 생기게 될 겁니다
1:28 - 1:31

그리고 높이도 필요하겠죠
1:31 - 1:32

그것도 그려 봅시다
1:32 - 1:36

dx만큼의 높이가 있겠죠
1:36 - 1:40

최대한 열심히 그렸어요
1:40 - 1:43

분홍색으로 높이를 표현했고요
1:43 - 1:45

좀더 명확히 보이도록
1:45 - 1:47

와셔 단면에 녹색 빗금을 칠게요
1:47 - 1:49

알아보기 쉽고
1:49 - 1:52

설명에 도움이 되게끔요
1:52 - 1:57

임의의 x에 대한 와셔 면적이 중요해요
1:57 - 1:59

만약 주어진 x값에 대한
1:59 - 2:01

와셔의 부피를 구할 수 있다면
2:01 - 2:03

전체 부피를 구하려면 모든 x값에 대한
2:03 - 2:06

와셔 부피들을 더하면 되겠죠
2:06 - 2:08

적분식을 한번 세워봅시다
2:08 - 2:10

그러면 다음 영상에서는
2:10 - 2:14

식에 따라 계산하면 되니까요
2:14 - 2:16

와셔의 부피를 구해봅시다
2:16 - 2:18

부피를 구하려면
2:18 - 2:20

와셔의 단면의 넓이부터
2:20 - 2:22

생각해 봐야겠죠
2:22 - 2:27

와셔의 단면은
2:27 - 2:28

무슨 값과 같을까요?
2:28 - 2:31

윗면은 동전 모양처럼 생겼죠
2:31 - 2:33

바깥쪽의 원 넒이에서
2:33 - 2:35

안쪽 빈 부분의 넓이만큼을
2:35 - 2:36

빼 줘야 합니다
2:36 - 2:39

만약 가운데에
2:39 - 2:41

빈 부분이 없었다면
2:41 - 2:44

그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠
2:44 - 2:48

그저 π × (바깥쪽 원의 반지름)² 이었겠죠
2:48 - 2:51

여기 이만큼을
2:51 - 2:53

바깥쪽 반지름이라고 표현했어요
2:53 - 2:55

그리고 와셔의 빈 안쪽 부분의
2:55 - 2:57

넓이도 빼 줘야겠죠
2:57 - 3:06

-π × (안쪽 반지름)²
3:06 - 3:07

즉 바깥 반지름과 안쪽 반지름
3:07 - 3:11

이 두 반지름을 알아내면 되겠습니다
3:11 - 3:13

생각해 봅시다
3:13 - 3:20

바깥쪽 반지름의 값은 무엇일까요?
3:20 - 3:21

여기서 눈으로 볼 수 있죠
3:21 - 3:24

이만큼이 바깥쪽 반지름이네요
3:24 - 3:28

아래 이 값도 마찬가지고요
3:28 - 3:30

y=4 와 도형 겉 부분을
3:30 - 3:32

정의하는 함수 사이의 길이이죠
3:32 - 3:38

정의하는 함수 사이의 길이이죠
3:38 - 3:41

즉 근본적으로 이 높이는
3:41 - 3:45

4-(x²-2x) 라고 할 수 있습니다
3:45 - 3:48

두 가지 함수값을 사용해
3:48 - 3:49

정의내릴 수 있겠죠
3:49 - 3:52

그러면 바깥 반지름은
3:52 - 3:55

4-(x²-2x)이고
3:55 - 3:59

즉 4-x²+2x 와 같습니다
3:59 - 4:00

그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?
4:00 - 4:05

그럼 안쪽 반지름은 어떨까요?
4:05 - 4:07

어떻게 정의할 수 있을까요?
4:07 - 4:12

안쪽 반지름은 y=4와
4:12 - 4:13

y=x 그래프간의 차이와 같습니다
4:13 - 4:15

그럼 4-x로 표현가능하겠죠
4:15 - 4:19

그럼 4-x로 표현가능하겠죠
4:19 - 4:23

이제 어떤 x값에 대한 와셔 윗면의 넓이를
4:23 - 4:27

이렇게 표현할 수 있겠네요
4:27 - 4:30

이 식들을 이용해서
4:30 - 4:35

π × (바깥쪽 반지름)²을
4:35 - 4:37

위에 정리한 식을 사용해서
4:37 - 4:42

π(4-x²+2x)² 에
4:42 - 4:43

-π × (안쪽 반지름)² 은
4:43 - 4:45

위의 식을 이용해서
4:45 - 4:47

바꾸게 되면
4:47 - 4:52

-π(4-x)² 로 쓸 수 있습니다
4:52 - 4:58

이 식을 이용해서
4:58 - 4:59

와셔들의 단면 넓이를 구할 수 있습니다
4:59 - 5:02

와셔의 부피를 구하고자 한다면
5:02 - 5:05

와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠
5:05 - 5:08

와셔 높이 dx 만큼의 부피를 구하면 되겠죠
5:08 - 5:11

이 물체 전체의 부피를 구하려면
5:11 - 5:14

모든 와셔의 부피를 x에 대해 구하고
5:14 - 5:16

다 더해주면 되겠습니다
5:16 - 5:17

이제 해 봅시다
5:17 - 5:19

x가 0으로 수렴할 때 각 x값들에 대한
5:19 - 5:21

와셔들의 부피를 더할 겁니다
5:21 - 5:23

먼저 적분구간을 정확히 정의해야겠죠
5:23 - 5:26

우리는 이 두 그래프가 서로 만나는
5:26 - 5:29

두 x값 사이 부분을 구하는 거니까
5:29 - 5:31

두 x값 사이가 적분구간이죠
5:31 - 5:32

그러려면 어느 값에서
5:32 - 5:36

y=x 와 y=x²-2x가 만나는지
5:36 - 5:37

구하면 됩니다
5:37 - 5:40

구하면 됩니다
5:40 - 5:42

보기쉽게 다른 색으로 쓸게요
5:42 - 5:44

언제 y=x와 y=x²-2x 그래프가
5:44 - 5:46

서로 만나는지 봅시다
5:46 - 5:49

서로 만나는지 봅시다
5:49 - 5:51

양변에 동일하게 존재하는 값이
5:51 - 5:53

x이므로
5:53 - 5:59

양변에서 x를 빼 주면
5:59 - 6:02

0=x²-3x 네요
6:02 - 6:05

여기서 우변을 x로 묶어 주면
6:05 - 6:10

0=x(x-3) 이 되죠
6:10 - 6:12

x의 해를 구하려면
6:12 - 6:13

둘 중 한 값이 0이어야 하니까
6:13 - 6:18

x나 (x-3)이 0이 되어야겠죠
6:18 - 6:21

그러면 x=0 이거나 x-3=0 이네요
6:21 - 6:24

즉 여기가 x=0 이고
6:24 - 6:26

여기가 x=3 입니다
6:26 - 6:27

이만큼이 적분구간이네요
6:27 - 6:29

그럼 x=0 에서부터
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x=3 까지의 부피를 구하면 되겠네요
6:33 - 6:35

다음 동영상에서
6:35 - 6:36

이 식대로 계산을 해 보겠습니다
6:36 - 6:38

커넥트 번역 봉사단 | 이선진

Title:: Washer method rotating around non-axis
Description:: more » « less
Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 06:37

	dhbot edited Korean subtitles for Washer method rotating around non-axis	Oct 6, 2020, 10:21 AM
	Amara Bot edited Korean subtitles for Washer method rotating around non-axis	Jul 13, 2020, 3:24 PM

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Revision 2 API

dhbot Oct 6, 2020, 10:21 AM
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Amara Bot Jul 13, 2020, 3:24 PM

	Revision Number	Author	Created
	2	dhbot	Oct 6, 2020, 10:21 AM
	1	Amara Bot	Jul 13, 2020, 3:24 PM

Washer method rotating around non-axis

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